大學(xué)物理簡諧運(yùn)動（課堂PPT）

1、第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動14 14 1 1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動機(jī)械振動機(jī)械振動與機(jī)械波與機(jī)械波第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動14 14 1 1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動振動和波動是物質(zhì)的基本運(yùn)動形式，是自然界振動和波動是物質(zhì)的基本運(yùn)動形式，是自然界的普遍現(xiàn)象，在力學(xué)中有機(jī)械振動和機(jī)械波，的普遍現(xiàn)象，在力學(xué)中有機(jī)械振動和機(jī)械波，在電磁學(xué)中有電磁振蕩和電磁波，聲是機(jī)械波，在電磁學(xué)中有電磁振蕩和電磁波，聲是機(jī)械波，光是電磁波，近代物理研究表明，一切微觀粒光是電磁波，近代物理研究表明，一切微觀粒子都具有波動性子都具有波動性 盡管在物質(zhì)不同的運(yùn)動形式中，振盡管在物質(zhì)不同的運(yùn)動形式中，振動與波動的具體

2、內(nèi)容不同，本質(zhì)不同，但在形動與波動的具體內(nèi)容不同，本質(zhì)不同，但在形式上它們具有相似性，都遵循相同的運(yùn)動規(guī)律，式上它們具有相似性，都遵循相同的運(yùn)動規(guī)律，都能用相同的數(shù)學(xué)方法描述，這說明不同的振都能用相同的數(shù)學(xué)方法描述，這說明不同的振動與波動之間具有共同的特性。動與波動之間具有共同的特性。本篇討論機(jī)械振動和機(jī)械波的基本規(guī)律，它是本篇討論機(jī)械振動和機(jī)械波的基本規(guī)律，它是其它振動與波動的基礎(chǔ)其它振動與波動的基礎(chǔ) 第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動14 14 1 1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動振動和波動振動和波動物質(zhì)的基本運(yùn)動形式物質(zhì)的基本運(yùn)動形式機(jī)械振動和機(jī)械波機(jī)械振動和機(jī)械波電磁振蕩和電磁波電磁振蕩和電磁波聲

3、（機(jī)械波）聲（機(jī)械波）光（電磁波）光（電磁波）微觀粒子的波動性微觀粒子的波動性機(jī)械振動：機(jī)械振動：物體在一定物體在一定的位置附近做來回往復(fù)的位置附近做來回往復(fù)的運(yùn)動。的運(yùn)動。振動：振動：任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近作周期性的變化。作周期性的變化。波動：波動：振動狀態(tài)在空間振動狀態(tài)在空間的傳播。的傳播。第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動14 14 1 1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動 任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化 振動振動. . 機(jī)械振動：機(jī)械振動： 物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動. . 例如一切發(fā)聲體、心臟、

4、海浪起伏、地震例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動等以及晶體中原子的振動等. . 簡諧運(yùn)動：簡諧運(yùn)動： 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. .本章研究：簡諧運(yùn)動本章研究：簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動復(fù)雜振動復(fù)雜振動合成合成分解分解第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動14 14 1 1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動3-1 3-1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動3-1-1 3-1-1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動一、何為簡諧運(yùn)動？一、何為簡諧運(yùn)動？如果一個物體的運(yùn)動方程的形式為如果一個物體的運(yùn)動方程的形式為)cos(tAx二、簡諧運(yùn)動的分析二、簡諧運(yùn)動的分析最典型的簡諧運(yùn)動最典型的簡諧運(yùn)動彈簧振子的振動彈簧振子的

5、振動kl0 xmoAA 彈簧振子的振動彈簧振子的振動00FxmakxFxxFmo1 1、受力特征、受力特征線性恢復(fù)力，諧振特征力線性恢復(fù)力，諧振特征力xmktx22ddmk2令令xtx222dd)cos(tAx2 2、動力學(xué)方程、動力學(xué)方程xmkax2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa3 3、運(yùn)動方程、運(yùn)動方程)cos(tAx4 4、速度、速度5 5、加速度、加速度AvmAam26 6、運(yùn)動圖線、運(yùn)動圖線tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa)cos(tAx

6、一一 振幅振幅maxxA 二二 周期、頻率周期、頻率2T 周期周期)(cosTtAtx圖圖AAxT2Tto3-1-2 3-1-2 簡諧運(yùn)動的特征量簡諧運(yùn)動的特征量)cos(2tAkmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2Tmk2)cos(tAx周期和頻率僅與振動周期和頻率僅與振動系統(tǒng)系統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)的物理性質(zhì)有關(guān)有關(guān)注意注意21T 頻率頻率T22 圓頻率圓頻率“固有周期固有周期”“固有頻率固有頻率”1 1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同無相同的的運(yùn)動狀態(tài)；運(yùn)動狀態(tài)； 三三 相位相位t3 3）初）初相位相位 描述質(zhì)點(diǎn)

7、描述質(zhì)點(diǎn)初始初始時刻的時刻的運(yùn)動狀態(tài)運(yùn)動狀態(tài). . )0( t)sin(tAv)cos(tAxt 相位一定，振動狀態(tài)唯一確定相位一定，振動狀態(tài)唯一確定tx圖圖AAxT2Ttovvv22020vxA00tanxv四四 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定決定，振幅和初相由初始條件決定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto)

8、cos(tAx3-1-3 3-1-3 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動為簡諧運(yùn)動動. .xAoxoA當(dāng)當(dāng) 時時0t0 x)cos(tAx 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動為簡諧運(yùn)動動. .xAoxoAtt t)cos(tAx時時)cos(tAx 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量矢量 的的端點(diǎn)在端點(diǎn)在 軸上的投軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧動為簡諧運(yùn)動運(yùn)動. .xAxy0At)cos(tAx例題例題14 14 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量例例.一彈簧振子作簡諧振動，

9、振幅為一彈簧振子作簡諧振動，振幅為A，周期為，周期為T，其運(yùn)動方程用余弦函數(shù)表示若其運(yùn)動方程用余弦函數(shù)表示若t = 0時，時， (1) 振子在負(fù)的最大位移處，則初相為振子在負(fù)的最大位移處，則初相為_； (2) 振子在平衡位置向正方向運(yùn)動，則初相為振子在平衡位置向正方向運(yùn)動，則初相為_； 振子在位移為振子在位移為A/2處，且向負(fù)方向運(yùn)動，則初處，且向負(fù)方向運(yùn)動，則初相為相為_ 振子在位移為振子在位移為-A/2處，且向正方向運(yùn)動，則處，且向正方向運(yùn)動，則初相為初相為_ (3)寫出以上四種情況的運(yùn)動方程寫出以上四種情況的運(yùn)動方程6.214 14 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量xoA)tTcos(Ax232

10、-34433232)2)1 或或）或或 )114 14 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量例例2 2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 的物體作簡諧運(yùn)動，振幅的物體作簡諧運(yùn)動，振幅為為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0 處，向處，向 軸負(fù)方向運(yùn)動（如圖）軸負(fù)方向運(yùn)動（如圖）. .試求試求 Ox（1 1） 時，物體所處的位置和所受的力時，物體所處的位置和所受的力 s0 . 1t （2 2）由起始位置運(yùn)動到由起始位置運(yùn)動到 處所需處所需要的最短時間要的最短時間. .m04. 0 xo08. 004. 004. 008. 0m/xv例例2 2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 的

11、物體作簡諧運(yùn)動，振幅的物體作簡諧運(yùn)動，振幅為為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0 處，向處，向 軸負(fù)方向運(yùn)動（如圖）軸負(fù)方向運(yùn)動（如圖）. .試求試求 Ox（1 1） 時，物體所處的位置和所受的力時，物體所處的位置和所受的力 s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解（1）先求運(yùn)動方程先求運(yùn)動方程 m08. 0 A1s22T設(shè)設(shè))cos(tAxo08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt3tcos).(x32080m08. 0A1s22TAo08. 004. 004. 0

12、08. 0m/xv32cos)08.0( txs0 . 1t代入上式得代入上式得m069.0 xxmkxF2)069.0()2)(01.0(2 N1070. 13kg01. 0mo08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置運(yùn)動到由起始位置運(yùn)動到 處所需處所需要的最短時間要的最短時間. .m04. 0 x 法一法一 設(shè)由起始位置運(yùn)動到設(shè)由起始位置運(yùn)動到 處所處所需要的最短時間為需要的最短時間為m04. 0 xttcos).(.32080m040s23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二，由解法二，由旋轉(zhuǎn)矢量判

13、斷旋轉(zhuǎn)矢量判斷 33起始時刻起始時刻 時刻時刻tt3ts667. 0s32t1s2 例例1 1 如圖，一輕彈簧連著一物體，彈簧的勁如圖，一輕彈簧連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)度系數(shù) ，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量 . . （1 1）把物體從平衡位置拉到把物體從平衡位置拉到 處停處停下再釋放，求簡諧運(yùn)動方程；下再釋放，求簡諧運(yùn)動方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 x10sm30.0vm05.0 x（3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于處時速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求其運(yùn)動方程求其運(yùn)動方程. .2A （2 2）求物體從初位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過求物體從初位

14、置運(yùn)動到第一次經(jīng)過 處時的速度；處時的速度；m/ xo0.05ox解解 （1）1s0 . 602. 072. 0 mk m05. 0022020 xxAvA由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知 0)cos(tAx)m)(t.cos(.06500)cos(tAxoxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA2Ax A3t由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知tAsinv1sm26. 0（負(fù)號表示速度沿（負(fù)號表示速度沿 軸負(fù)方向）軸負(fù)方向）Ox2A（2 2）求物體從初位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過求物體從初位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過 處時處時的速度；的速度；)sin(ddtAtxv解解 m0707. 022020vxAox

15、A4)cos(tAx)SI(4t0 . 6cos)0707. 0( m05. 0 x10sm30. 0v（3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于處時速度不等于零，而是具有向右的初速度零，而是具有向右的初速度 ，求，求其運(yùn)動方程其運(yùn)動方程. .因?yàn)橐驗(yàn)?，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知400v 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定決定，振幅和初相由初始條件決定. 相位差：兩個簡諧運(yùn)動的相位之差相位差：兩個簡諧運(yùn)動的相位之差 . .對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運(yùn)動，相位差表示它們的簡諧運(yùn)動，相位差表示它們步調(diào)步調(diào)上的上的

16、差異差異. .)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt120 xto同步同步txo反相反相xto為其它為其它超前超前落后落后14 14 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量精析精析6.8 已知兩個簡諧振動曲線如圖所示已知兩個簡諧振動曲線如圖所示x1的相位比的相位比x2的相位超前的相位超前_ Oxx1tx2/2O -AA12例例，兩個質(zhì)點(diǎn)各自作簡諧振動，它們的振幅相同、，兩個質(zhì)點(diǎn)各自作簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同第一個質(zhì)點(diǎn)的振動方程為周期相同第一個質(zhì)點(diǎn)的振動方程為x1 = Acos( t + a a)當(dāng)?shù)谝粋€質(zhì)點(diǎn)從正位移處回到當(dāng)?shù)谝粋€質(zhì)點(diǎn)從正位移處回到平衡位置時，第二個質(zhì)點(diǎn)正在最大

17、正位移處求平衡位置時，第二個質(zhì)點(diǎn)正在最大正位移處求第二個質(zhì)點(diǎn)的振動方程第二個質(zhì)點(diǎn)的振動方程 )21cos(2atAx精析精析6.114 14 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量)312cos(1042txs81s61s41s31s21精析精析 6.66.6一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x x軸作簡諧振動，振動方程為軸作簡諧振動，振動方程為 (SI)(SI) 從從t t = 0= 0時刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在時刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在x x = -2 cm = -2 cm處，且向處，且向x x軸正方向運(yùn)動的最短時間間隔為軸正方向運(yùn)動的最短時間間隔為 例例，兩個彈簧振子的周期都是兩個彈簧振子的周期都是0.4 s， 設(shè)開始時設(shè)開始時第

18、一個振子從平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動，經(jīng)過第一個振子從平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動，經(jīng)過0.5 s 后，第二個振子才從正方向的端點(diǎn)開始運(yùn)動，后，第二個振子才從正方向的端點(diǎn)開始運(yùn)動，則這兩振動的相位差為則這兩振動的相位差為_ 14 14 3 3 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運(yùn)動的系統(tǒng)運(yùn)動的系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能守恒守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學(xué)意義）（振幅的動力學(xué)意義）3-1-4 簡諧運(yùn)動的能量簡諧運(yùn)動的能量簡

19、簡 諧諧 運(yùn)運(yùn) 動動 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21簡諧運(yùn)動勢能曲線簡諧運(yùn)動勢能曲線簡諧運(yùn)動能量守恒，振幅不變簡諧運(yùn)動能量守恒，振幅不變kEpEx221kAE EBCAApExO例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運(yùn)動，其最大加速度為作簡諧運(yùn)動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物

20、體在何處其動能和勢能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max, kEE J100 . 23（4）pkEE 時，時，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動14 14 5 5 簡諧運(yùn)動的能量簡諧運(yùn)動的能量.45第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動例例1、底面積為底面積為 S 的長方形木塊，浮于水面，水的長方形木塊，浮于水面，水下部分高度為下部分高度為 a，用手按下，用手按下 b b 后后釋放，釋放

21、，1 1）證明若不計阻力，木塊的運(yùn)動為簡諧振動）證明若不計阻力，木塊的運(yùn)動為簡諧振動2 2）求振動周期。）求振動周期。 一個物體的運(yùn)動形式是由它的受力決定一個物體的運(yùn)動形式是由它的受力決定的，關(guān)鍵是看它的受力是否是簡諧振動的特征的，關(guān)鍵是看它的受力是否是簡諧振動的特征力即線性恢復(fù)力。力即線性恢復(fù)力。kxFab分析：分析：如何判斷一個物如何判斷一個物體是否做簡諧振動？體是否做簡諧振動？第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動對物體進(jìn)行受力分析，若符合對物體進(jìn)行受力分析，若符合線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力的形式，則物體一定做簡諧振動的形式，則物體一定做簡諧振動以物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿運(yùn)動方以物體的平衡位置

22、為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿運(yùn)動方向建立坐標(biāo)向建立坐標(biāo)列出動力學(xué)方程，求出通解列出動力學(xué)方程，求出通解 x根據(jù)根據(jù) ，確定，確定和和T，根據(jù)初始條，根據(jù)初始條件確定件確定A和和，最終確定運(yùn)動方程，最終確定運(yùn)動方程mk2.48a1 1）證明：證明：平衡時平衡時浮FmggaS 任意位置任意位置x 處處，合力，合力浮浮FmgFxogSxagaS)( gxSkx以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建坐標(biāo)木塊運(yùn)動為諧振動木塊運(yùn)動為諧振動x第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動maFmgF浮浮kx2 2）木塊的運(yùn)動微分方程為）木塊的運(yùn)動微分方程為 gxSgxSdtxdm22agmgSmk2gaT2xdtxd222一質(zhì)點(diǎn)按如下規(guī)律沿一質(zhì)點(diǎn)按如下規(guī)律沿x軸作簡諧振動：軸作簡諧振動： (SI) 求此振動的周期、振幅、初