北師大版初中九下14船有觸礁危險嗎教案

1、課 題1.4 船有觸礁的危險嗎課型新授課教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.教學(xué)重點1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.教學(xué)方法自主探索法教學(xué)后記教 學(xué) 內(nèi) 容 及 過 程備注一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課問題直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后

2、，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個問題(多媒體演示).海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.二、講授新課我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的?答：應(yīng)該是“上

3、北下南，左西右東”.請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.答：首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?答：根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作ADBC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較.這位同學(xué)分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.

4、下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢?答：已知BC°20海里，BAD55°，CAD25°.在示意圖中，有兩個直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢?答：在RtACD中，只知道CAD=25°，不能求AD.在RtABD中，知道BAD=55°，雖然知道BC20海里，但它不是RtABD的邊，也不能求出AD.那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮?答：我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BCBD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD

5、、CD和邊AD都有聯(lián)系.有何聯(lián)系呢?在RtABD中，tan55°，BD=ADtan55°；在RtACD中，tan25°，CDADtan25°.利用BCBD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°20.總結(jié)：太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之 下面我們一起完整地將這個題做完.多媒體展示解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到RtABD和RtACD，從而BD=AD，tan55°，CDADtan

6、25°，由BD-CDBC，又BC20海里.得ADtan55°-ADtan25°20.AD(tan55°-tan25°)20，AD=20.79(海里).這樣AD20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險.接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.多媒體演示想一想你會更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到

7、1 m)我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?答：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指DAC，60°的仰角指DBC.很好!請同學(xué)們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答.(教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo))答：首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形RtADC和RtBDC的公共邊，在RtADC中，tan30°=，即AC在RtBDC中，tan60°=,即BC，又AB=AC-BC50 m，得-=50.解得CD43(m)，即塔CD的高度約

8、為43 m.我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應(yīng)考慮小明的身高.這位同學(xué)能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離.如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?示意圖如圖所示，由前面的解答過程可知CC43 m，則CD43+1.644.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m.同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下.多媒體演示：某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40

9、6;減至35°，已知原樓梯長為4 m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m)請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法)在這個問題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量.根據(jù)題意可畫示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.ACB是原樓梯的傾角，ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為：如圖，ABDB，ACB40°，ADB35°，AC4m.求AD-AC及DC的長度.這位同學(xué)把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧!解：由條件可知，在RtABC中,sin40°，即AB4sin40°m，原樓梯占地長BC4cos40°m.調(diào)整后,在RtADB中，sin35°，則ADm.樓梯占地長DB=m.調(diào)整后樓梯加長AD-AC-40.48(m)，樓梯比原來多占DCDB-BC= -4cos40°