《對(duì)稱不等式》word版

1、 一道值得探究的對(duì)稱不等式摘 要：本文主要對(duì)一個(gè)對(duì)稱不等式（已知a，b都為正數(shù)，且滿足a+b=1，則有a進(jìn)行變式探究，并利用均值不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V關(guān)鍵詞：探究；對(duì)稱不等式；變式題目：已知a，b都為正數(shù)，且滿足a+b=1，則有a+b+分析：初看不等式，大家一定都會(huì)有一種似曾相識(shí)的感覺，因?yàn)椴坏仁阶筮叺膬蓚€(gè)因式都是兩互倒數(shù)之和 而當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，a+2=2，這是中學(xué)數(shù)學(xué)必須掌握的重要不等式 若用這種思路發(fā)現(xiàn)左邊是大于等于4的，原不等式不能得到證明 原因何在？我們注意到對(duì)原不等式左邊兩項(xiàng)直接用均值不等式取等號(hào)的條件為a=和b=，即a=b=1 而條件限制了a+b=1，故原不等式左邊兩項(xiàng)用均值不等式不能

2、同時(shí)取上等號(hào) 因此，此路不通！我們知道當(dāng)面對(duì)變量少而形式又簡(jiǎn)潔的不等式證明束手無(wú)策時(shí)，可以拿出此類不等式證明的通法分析法 分析法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明不等式的基本而又重要的方法 下面我們用分析法證明此不等式證：欲證原不等式，只需證4（a2+1）（b2+1）25ab展開，移項(xiàng)得4a2b2+4a2+4b2+425ab0又因?yàn)閍+b=1，即a2+b2=12ab，故只要證4a2b233ab+80又0設(shè)f（x）=4x233x+80而函數(shù)f（x）=x+（x>0）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，+）上單調(diào)遞增顯然原式當(dāng)ab=時(shí)取得最小值，易求得最小值為變式2：已知a，b，c都為正數(shù)，且滿足a+b+c=1，

3、求a+b+c+的最小值分析：此時(shí)，顯然用分析法和轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值法已經(jīng)顯得非常復(fù)雜了，那么我們能否有新的證明方法呢？我們知道變式1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取上最小值，可以猜測(cè)變式了應(yīng)該是a=b=c=取上最小值 于是，我們考慮利用拆項(xiàng)法結(jié)合均值不等式取等號(hào)的條件進(jìn)行證明解：由于a，b，c都為正數(shù)，故對(duì)該式第一項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)后運(yùn)用均值不等式可得，a+=，當(dāng)且僅當(dāng)a2=即a=時(shí)取上等號(hào)；同理可得b+，當(dāng)且僅當(dāng)b2=即b=時(shí)取上等號(hào)；c+=，當(dāng)且僅當(dāng)c2=即c=時(shí)取上等號(hào)又因?yàn)閍bc3=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立將以上三個(gè)不等式相乘可得a+b+c+?=1000×3-3=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)以上所有不等式等號(hào)成立故所求式子的最小值為類似變式2的求解可以推廣得到如下：定理：已知a1，a2，an都為正數(shù)，且滿足a1+a2+an=1，則有a1+?a2+an+n+n，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an=等號(hào)成立證：原不等式等價(jià)于n+n由于a1，a2，an都為正數(shù)，故有= ，當(dāng)且僅當(dāng)a=即a1=時(shí)上式等號(hào)成立；同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)a2=時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)a3=時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)an=時(shí)等號(hào)成立又a1a2ann=n，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an=時(shí)等號(hào)成立，于是將以上n個(gè)不