大創(chuàng)答辯-地震波場高精度有限差分算子研究

1、“自主創(chuàng)新科研計劃項目自主創(chuàng)新科研計劃項目”結(jié)題答辯結(jié)題答辯答辯人：答辯人：xxx項目名稱：地震波場高精度有限差分算子研究項目名稱：地震波場高精度有限差分算子研究簡介指導(dǎo)老師：指導(dǎo)老師：xx小組成員：小組成員：xxx 地震波場數(shù)值模擬在地震勘探中具有重要作用。有限差分法是地震正演模擬中應(yīng)用較廣的一種方法，它具有計算速度快, 占用內(nèi)存小的優(yōu)勢,我們通過小組的共同推演，從2階、4階逐漸增加到12階，最后得出遞推公式的通式，并編制相應(yīng)程序, 通過程序正演模擬得到波場快照，一步步的對比，一步步的優(yōu)化，最終得到了比較精確的差分算子。簡介 認識與結(jié)論認識與結(jié)論公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)程序編寫編寫研究進程結(jié)結(jié)果分析

2、22222221uuuxzvt波動方程詳盡描述了均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中各質(zhì)點在不同時刻的位移位（或者相對體變）情況和縱波在該介質(zhì)中的傳播規(guī)律。公式推導(dǎo)二維均勻各向同性介質(zhì)的縱波波動方程：二維均勻各向同性介質(zhì)的縱波波動方程：為了利用波動方程進行數(shù)值模擬，必須將公式進行離散化，利用差分代替微分，從而方便編制程序。下面介紹如何利用差分算子來近似計算函數(shù)的微分的。232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 2211221()(2)O()jjjjuuuuxx

3、x1j j1j xxj x()juu j x令兩式相加整理得到二階差分算子的公式：公式推導(dǎo)二階差分算子的推導(dǎo)：二階差分算子的推導(dǎo)：2022-2-21232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 232312311(1)()()()()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx 1j j1j x高階差分算子的推導(dǎo)：2j 2j 232322311(2)(2)2()2()2()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx232322311(2)(2)2()2()2()26jjjjjjuuuuujxu xxuxxxxxx公式推導(dǎo)（1）（

4、2）（3）（4）2022-2-2112111222242244121224212()2()12jjjjjjjccucuucuuuuccxccxxx1j j1j x2j 2j 其矩陣形式為：根據(jù)待定系數(shù)法： 系數(shù)=1， 的系數(shù)=0，則可得如下方程組：22ux44ux2124122120cccc2142112012cc 或：12221112120cc 將求得系數(shù)c1和c2帶回（5）式，即可得到的差分格式：2412111222221()2()jjjjjjuccucuucuuOxxx對1、2式3、4式分別相加并且整理得：公式推導(dǎo)公式推導(dǎo) 利用相同的方法，我們逐漸推出了六階、八階、十階、十二階的差分算子

5、公式，然后帶入波動方程，得出遞推公式：11,11,1,22,2,122022202,1,12,2,22nnnnnnnni ji ji ji jijijijijnnnnni ji ji ji ji juuuucuucuuucuucuuvtcxvtcz公式推導(dǎo)雖然，通過使用高階的差分算子，數(shù)值頻散現(xiàn)象已經(jīng)明顯改善，但是，仍雖然，通過使用高階的差分算子，數(shù)值頻散現(xiàn)象已經(jīng)明顯改善，但是，仍然存在比較明顯的數(shù)值頻散，為了進一步減少數(shù)值頻散，我們又對算子進行然存在比較明顯的數(shù)值頻散，為了進一步減少數(shù)值頻散，我們又對算子進行了一定的優(yōu)化：了一定的優(yōu)化：傳統(tǒng)的二階空間分化函數(shù)傳統(tǒng)的二階空間分化函數(shù)f基本上是一

6、個在基本上是一個在x=0被截斷的泰勒級數(shù)，如公式被截斷的泰勒級數(shù)，如公式 其中偶數(shù)其中偶數(shù)N按順序排列，按順序排列， 是沿是沿x均勻的時間間隔，均勻的時間間隔， 是一個二項式系是一個二項式系數(shù)公式定義的常系數(shù)數(shù)公式定義的常系數(shù) 如公式如公式 我們可以通過使用優(yōu)化公式的常數(shù)系數(shù)來減小數(shù)值頻散，多數(shù)以前的工我們可以通過使用優(yōu)化公式的常數(shù)系數(shù)來減小數(shù)值頻散，多數(shù)以前的工作希望設(shè)計一個適當(dāng)?shù)拇白飨ＭO(shè)計一個適當(dāng)?shù)拇?得到優(yōu)化差分算子，這可概況為以下形式，如得到優(yōu)化差分算子，這可概況為以下形式，如公式：公式：22222/212cos()NnnnNfanfxn22222212cos()fNnnnNwnfx

7、n 是我們已使用的優(yōu)化的最終形式，我們下一步是確定是我們已使用的優(yōu)化的最終形式，我們下一步是確定bnbn的優(yōu)化方案在的優(yōu)化方案在本文中，我們通過檢查波數(shù)域和分析波數(shù)中優(yōu)化有限差分算子的絕對誤差來直本文中，我們通過檢查波數(shù)域和分析波數(shù)中優(yōu)化有限差分算子的絕對誤差來直接優(yōu)化系數(shù)。我們應(yīng)用模擬退火算法優(yōu)化下面的目標(biāo)函數(shù)。接優(yōu)化系數(shù)。我們應(yīng)用模擬退火算法優(yōu)化下面的目標(biāo)函數(shù)。公式推導(dǎo) 事實上，我們可以直接搜索優(yōu)化的系數(shù)的最終形式。也就是說，窗事實上，我們可以直接搜索優(yōu)化的系數(shù)的最終形式。也就是說，窗與公式（與公式（3）的其他部分相結(jié)合。如公式）的其他部分相結(jié)合。如公式 222221NnnNNfbfx 2

8、22max2maxcos()0NxnnnNnxkbnkTkk 程序編寫 for(it=0;itNt;it+)遞推公式加載震源數(shù)據(jù)替換震源子波生成記錄單炮數(shù)據(jù)生成波場快照記錄文件結(jié)果分析 利用不同階數(shù)的高階有限差分算法進行了數(shù)值模擬，得到相應(yīng)的波場快利用不同階數(shù)的高階有限差分算法進行了數(shù)值模擬，得到相應(yīng)的波場快照。圖中可以看出，在階數(shù)較低時，出現(xiàn)很多同相軸，說明數(shù)值頻散現(xiàn)象嚴(yán)照。圖中可以看出，在階數(shù)較低時，出現(xiàn)很多同相軸，說明數(shù)值頻散現(xiàn)象嚴(yán)重；隨著算子階數(shù)的增加，數(shù)值頻散現(xiàn)象逐漸減弱。對于高階差分算子來說，重；隨著算子階數(shù)的增加，數(shù)值頻散現(xiàn)象逐漸減弱。對于高階差分算子來說，算子階數(shù)越高，壓制數(shù)值

9、頻散效果越好，精度越高。算子階數(shù)越高，壓制數(shù)值頻散效果越好，精度越高。二階 四階 十階 十二階 結(jié)果分析 我們求出bn的得數(shù)后，替換程序中原有的Cn，得到優(yōu)化之后的程序，同 時，得到相應(yīng)的波場快照，并進行對比：優(yōu)化前優(yōu)化后優(yōu)化前優(yōu)化前優(yōu)化后優(yōu)化后結(jié)果分析 圖中可以看出，對于相同階數(shù)的算子，優(yōu)化有限差分模擬的波場快照對比高階差分算子的結(jié)果，優(yōu)化算子壓制數(shù)值頻散效果更好，精優(yōu)化算子壓制數(shù)值頻散效果更好，精度更高，度更高，說明優(yōu)化算子優(yōu)于高階差分算子。我們?nèi)〕鰞煞N算子模擬時，得到模型中間測線的波形曲線圖如圖所示，通過兩個圖對比可以更加清楚地看到波尾附近的數(shù)值頻散明顯減小。結(jié)果分析 我們建立了一個均勻

10、介質(zhì)模擬，其縱波速度為v=3000m/s。模型大小為200200，空間采樣間隔為dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作為震源子波，震源位于模型中心處，時間采樣間隔為1ms。利用優(yōu)化有限差分算子進行數(shù)值模擬，波場快照如圖3-6所示。圖中可以看出，波場快照中的同相軸是圓形的，說明在均勻各向同性介質(zhì)中，點源激發(fā)的波前面是一個圓，這與理論也是吻合的。并且隨著時間的增大，波前面的面積逐漸增大，說明地震波從震源中心向外傳播。均勻介質(zhì)模型均勻介質(zhì)模型 x結(jié)果分析 (a)50ms （b）100ms (c)150ms(d)200ms (e)250ms (f)300ms結(jié)果分析結(jié)果分析 層狀介質(zhì)模型層狀介質(zhì)

11、模型 我們建立了一個兩層介質(zhì)模擬，其上層縱波速度為v=2000m/s，下層縱波速度為v=4000m/s。如圖3-7所示。模型大小為200200，空間采樣間隔為dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作為震源子波，震源位于模型(70,100)處，時間采樣間隔為1ms。利用優(yōu)化有限差分算子進行數(shù)值模擬，不同時刻波場快照如圖所示。圖中可以看出，在未遇到界面前，地震波在均勻介質(zhì)中的波前面一個圓。當(dāng)遇到地層界面之后，在界面處發(fā)生了反射、透射和折射現(xiàn)象。層狀介質(zhì)模型結(jié)果分析 (a)50 (a)50msms （b）100100msms (c)(c)150ms 150ms (d)(d)200ms 200ms

12、 (e)(e)250ms 250ms (f)(f)300ms 300ms (g)(g)350ms 350ms (h)(h)400ms 400ms 結(jié)果分析 反射波反射波透射波透射波直達波直達波結(jié)果分析 層狀介質(zhì)模型層狀介質(zhì)模型 沿測線方向的單炮記錄如圖所示。記錄中存在兩條直線狀的同相軸和一條近似雙曲線的同相軸。由于直達波的時距曲線是直線，因此兩條直線同相軸對應(yīng)直達波；由于反射波的時距曲線是近似雙曲線，因此近似雙曲線同相軸對應(yīng)的是反射波。直達波直達波反射波反射波認識與結(jié)論 本課題研究了一種高精度有限差分算子，該算子能夠有效的減小數(shù)值頻散。在此基礎(chǔ)上，對建立的模型進行網(wǎng)格化，用該差分算子按時間步長迭代計算波場，獲得地震波