解三角形知識(shí)題型歸納

1、 解三角形常用知識(shí)點(diǎn)歸納與題型總結(jié)1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°(A+B)；.角平分線性質(zhì)定理:角平分線分對(duì)邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比.銳角三角形性質(zhì)：若A>B>C則.2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系： （1）和角與差角公式 ; .（2） 二倍角公式 sin2 = 2cossin.（3）輔助角公式（化一公式） 其中4、正弦定理：在中，、分別為角、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有5、正弦定理的變形公式：化角為邊：，；化邊為角：，；=2R6、兩類(lèi)正弦定理解三角形的問(wèn)題：已知兩角和任意一邊，求其

2、他的兩邊及一角. 已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.(對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、三角形面積公式：=2R2sinAsinBsinC=(海倫公式)8、余弦定理：在中，有，9、余弦定理的推論：，注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：10、余弦定理主要解決的問(wèn)題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)、是的角、的對(duì)邊，則：若，則；若，則；若，則12、三角形的五心：垂

3、心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn) 重心三角形三條中線的相交于一點(diǎn) 外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn) 內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn) 旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)題型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題1 （15北京理科）在中，則試題分析：2.（2005年全國(guó)高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx

4、在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，在ABC中，已知a2，b，C15°，求A。答案：題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀1. (2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(

5、如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)題型之三：解決與面積有關(guān)問(wèn)題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題1. 2在中，求的值和的面積。答案：3. （07浙江理18）已知的周長(zhǎng)為，且（I）求邊的長(zhǎng)；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以題型之四：三角形中求值問(wèn)題1. (2005年全國(guó)高考天津卷) 在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應(yīng)用

6、正弦定理解得從而2的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。3在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的值。解析：（1）因?yàn)殇J角ABC中，ABCp，所以cosA，則（2），則bc3。將a2，cosA，c代入余弦定理：中，得解得b。點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。4在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積

7、等于，求；（）若，求的面積本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力 解：（）由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得4分聯(lián)立方程組解得，6分（）由題意得，即，8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積12分題型之五（解三角形中的最值問(wèn)題）1.（2013江西理）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知 .（1）求角B的大??；(2)若，求b的取值范圍答案：（1）60°(2)12，1）2（2013新課標(biāo)）在內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.()求;()若,求面積的最大值.答案：（1）45°(2)2+

8、15.(2014新課標(biāo)理)已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，=2，且，則面積的最大值為 3 .6.在內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且bsinB=3aCOSA(1)求角A的大小(2)若a=4,求3b-c的最大值答案：（1）60°(2)87.（2007全國(guó)1理） 設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2bsinA. （）求B的大?。唬ǎ┣骳osA+sinC的取值范圍.解析：（）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三角形得（）由為銳角三角形知，解得 所以，所以由此有，所以，的取值范圍為8. 三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，22（sin2A-sinC2）=(a-b)s

9、inB,三角形外接圓的半徑為2(1)求角C的大小(2)求面積的最大值.答案：（1）60°(2)3329，的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。題型之六（圖形中的解三角形）注意靈活利用圖形來(lái)分析2. 題型之七：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測(cè)量問(wèn)

10、題圖1ABCD1. 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、CAB、CBA，這個(gè)三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題”。（二.）遇險(xiǎn)問(wèn)題2 某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此

11、艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？西北南東ABC30°15°圖2解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30°北的方向上。 在ABC中，可知AB=30×0.5=15，ABS=150°，ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，

12、尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問(wèn)題圖3ABC北45°15°3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=180°45°15°=120