解三角形知識題型歸納

1、 解三角形常用知識點歸納與題型總結1、三角形三角關系：A+B+C=180°；C=180°(A+B)；.角平分線性質定理:角平分線分對邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比.銳角三角形性質：若A>B>C則.2、三角形三邊關系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本關系： （1）和角與差角公式 ; .（2） 二倍角公式 sin2 = 2cossin.（3）輔助角公式（化一公式） 其中4、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有5、正弦定理的變形公式：化角為邊：，；化邊為角：，；=2R6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其

2、他的兩邊及一角. 已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、三角形面積公式：=2R2sinAsinBsinC=(海倫公式)8、余弦定理：在中，有，9、余弦定理的推論：，注明：余弦定理的作用是進行三角形中的邊角互化，當題中含有二次項時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應用：10、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設、是的角、的對邊，則：若，則；若，則；若，則12、三角形的五心：垂

3、心三角形的三邊上的高相交于一點 重心三角形三條中線的相交于一點 外心三角形三邊垂直平分線相交于一點 內心三角形三內角的平分線相交于一點 旁心三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點題型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題1 （15北京理科）在中，則試題分析：2.（2005年全國高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設E為BC的中點，連接DE，則DE/AB，且，設BEx

4、在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，在ABC中，已知a2，b，C15°，求A。答案：題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀1. (2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(

5、如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)題型之三：解決與面積有關問題主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題1. 2在中，求的值和的面積。答案：3. （07浙江理18）已知的周長為，且（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以題型之四：三角形中求值問題1. (2005年全國高考天津卷) 在中，所對的邊長分別為，設滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應用

6、正弦定理解得從而2的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。3在銳角中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的值。解析：（1）因為銳角ABC中，ABCp，所以cosA，則（2），則bc3。將a2，cosA，c代入余弦定理：中，得解得b。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結果即可。4在中，內角對邊的邊長分別是，已知，（）若的面積

7、等于，求；（）若，求的面積本小題主要考查三角形的邊角關系，三角函數(shù)公式等基礎知識，考查綜合應用三角函數(shù)有關知識的能力 解：（）由余弦定理及已知條件得，又因為的面積等于，所以，得4分聯(lián)立方程組解得，6分（）由題意得，即，8分當時，當時，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積12分題型之五（解三角形中的最值問題）1.（2013江西理）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知 .（1）求角B的大??；(2)若，求b的取值范圍答案：（1）60°(2)12，1）2（2013新課標）在內角的對邊分別為,已知.()求;()若,求面積的最大值.答案：（1）45°(2)2+

8、15.(2014新課標理)已知分別為的三個內角的對邊，=2，且，則面積的最大值為 3 .6.在內角的對邊分別為,且bsinB=3aCOSA(1)求角A的大小(2)若a=4,求3b-c的最大值答案：（1）60°(2)87.（2007全國1理） 設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA. （）求B的大??；（）求cosA+sinC的取值范圍.解析：（）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三角形得（）由為銳角三角形知，解得 所以，所以由此有，所以，的取值范圍為8. 三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，22（sin2A-sinC2）=(a-b)s

9、inB,三角形外接圓的半徑為2(1)求角C的大小(2)求面積的最大值.答案：（1）60°(2)3329，的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。題型之六（圖形中的解三角形）注意靈活利用圖形來分析2. 題型之七：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問

10、題圖1ABCD1. 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標記物C，測得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、CAB、CBA，這個三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險問題2 某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內有暗礁，問此

11、艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？西北南東ABC30°15°圖2解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時后到達B點，測得S在東30°北的方向上。 在ABC中，可知AB=30×0.5=15，ABS=150°，ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，分清已知與所求，

12、尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；（3）分析與所研究問題有關的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題圖3ABC北45°15°3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設ABC=，BAC=。=180°45°15°=120