微積分總復(fù)習(xí)

1、精品微積分總結(jié)第一部分函 數(shù)函數(shù)是整個高等數(shù)學(xué)研究的主要對象，因而成為考核的對象之一。 特別是一元函數(shù)的定義和性質(zhì)，其中包括反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、初等函數(shù)和分段函數(shù)的定義和性質(zhì)。一、重點(diǎn)內(nèi)容提要1 、函數(shù)定義中的關(guān)鍵要素是定義域與對應(yīng)法則，這里要特別注意兩點(diǎn)：兩個函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)法則都相同時，才能說它們是相同的函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)。求函數(shù)的定義域： （答案只要求寫成不等式的形式，可不用區(qū)間表示）對于用數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，它的定義域就是使這個式子有意義的自變量x 的取值范圍（集合）主要根據(jù)：分式函數(shù)：分母0偶次根式函數(shù)：被開方式0對數(shù)函數(shù)式：真數(shù)式0反正（余）

2、弦函數(shù)式：自變量x1感謝下載載精品例1求函數(shù) yxx的定義域。例 2求函數(shù)ln ( x2y)的定義域。4x 2y2例 3y =2x 的定義域1- 2x例 4y ln( x23x)arccos x在上述的函數(shù)解析式中，上述情況有幾種就列出幾個不等式組成不等式組解之。2 、關(guān)于反函數(shù)定義，我們僅要求掌握變量反解法。3 、函數(shù)的簡單性質(zhì)，重點(diǎn)掌握奇偶性、單調(diào)性。4 、關(guān)于復(fù)合函數(shù)定義將復(fù)合函數(shù)拆成基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算形成的函數(shù)，這在求導(dǎo)和積分類型題中是不可避免的。1指出 y sin earctanx的復(fù)合過程5 、隱函數(shù)：主要在后面求導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用中用到6 、注意初等函數(shù)的定義。 注意

3、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。二、典型例題類型題 1 、求函數(shù)定義域4x例 1求函數(shù)f (x)lg( x1)的定義域 .解要使函數(shù)表達(dá)式有意義，x 要滿足：感謝下載載精品4x0x4x10即x1lg( x1) 0x2所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?， 2）（2，4 .例 21,0x1求函數(shù) f(x)=1x的定義域 .1,2解函數(shù) f(x) 的定義域是 0 ， 2.小結(jié)：注意，對于分段函數(shù)，它的定義域?yàn)樗蟹侄螀^(qū)間的并集。如 : (1) 函數(shù) f (x)x1 x 2 的定義域是；(2)函數(shù) yln x1 定義域是x1(3)函數(shù) f ( x)log 2 (2 x1)+arcsin(1-x) 的定義域類型題 2 、函數(shù)

4、值與函數(shù)記號例設(shè) f(x)=1，求（ 1 ） f(x-1) ；（ 2 ） f 1；（ 3 ） f f 1.x1xx解 （1 ）f(x-1)=111) 1x( x（2） f11x=x1x11x（ 3 ） f f 1=fx1x1xx 1x12 x1x1感謝下載載精品第二部分極限與連續(xù)作為高等數(shù)學(xué)研究的基本工具，求函數(shù)極限和討論函數(shù)的連續(xù)性乃是考核的基本類型題，要引起注意。一、重點(diǎn)內(nèi)容提要1 、函數(shù)極限的求法，注意單側(cè)極限與極限存在的充要條件。2 、知道極限的四則運(yùn)算法則3 、熟練掌握兩個重要極限4 、關(guān)于無窮小量（ 1）掌握無窮小量的定義，要特別注意極限過程不可缺少。（ 2）掌握其性質(zhì)與關(guān)系無窮小

5、量的判定也是一個比較重要的問題x 0, 下列那些量是無窮小量例： tan x3, x sin x,sin x1, x cos x, xx, x sinxx5 、掌握函數(shù)的連續(xù)性定義與間斷點(diǎn)的求法（ 1）掌握函數(shù)的連續(xù)性定義（ 2）掌握間斷點(diǎn)定義（ 3）掌握并會用單側(cè)連續(xù)性（ 4）掌握初等函數(shù)的連續(xù)性的結(jié)論6 、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)感謝下載載精品（ 1）理解最大值和最小值定理，即在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，必能在其上取到最大值和最小值。本定理主要為求函數(shù)的最值做必要的鋪墊。（ 2）掌握介值定理的推論 - 零點(diǎn)定理。本定理主要用于判定一個方程根的存在性。二、典型例題求函數(shù)極限常用方法有：利用極限的

6、四則運(yùn)算法則求極限，利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限；利用兩個重要極限求極限；利用洛必達(dá)法則求極限等。類型題 1 、利用極限的四則運(yùn)算法則及初等函數(shù)連續(xù)性求極限lim f (x)lim (an xnan 1 x n 1a1xa0 )例 1xx0x x0an x0 nan 1 x0 n 1a1 x0a0f ( x0 )0nmlimpn ( x)an xnan 1 x n 1a1xa0annmlimmm 1例 2xqm ( x)xbm xbm 1 xb1 x b0bmnmp( x0 )0q( x0 )q(x0 )limp( x)0 (洛比達(dá)法則 )p( x0 ) q(x0 ) 0例 3 x x0q( x

7、)0p( x0 )0； q(x0 )0例 1求 lim x 2x32x 1x11解注意到 x1 使分子和分母都為零，可通過約去公共零因子的方法解決，我們有l(wèi)imx 22x 1( x 1) 2= limx 1x31= lim0x 1x 1 (x 1)(x2x1) x 1 x2x 1注：約去零因子后，x1成為連續(xù)點(diǎn)，便可以利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限了。感謝下載載精品例 2求 lim2x13x22x 4解同上題，設(shè)法分離出零因子，然后消去。有l(wèi)im2x13= lim(2 x13)(2x13)(x22 )x 4x22x4(x22 )(2x13)(x22 )2x232(x22)12x8x22= lim=

8、 lim22x 42x 1 3x 4x 22 (2 x 1 3)x 4= lim 2( x22)2 2222x 42x13333類型題 2 、利用兩個重要極限求極限重要極限一及其推廣形式lim sin x1 ，推廣形式lim0sin (x)1x 0x( x)(x)lim sin x1lim sin x0注意比較以下四個極限x0xxxlim x sin x0lim x sin x1x0x例 2求下列函數(shù)的極限：（1 ） limsin 3x；（ 2 ） limsin3x .x 0xxx解（1 ） limsin 3x= limsin 3x3令t3xlimsin t 3 1 33 .x 0xx03xt

9、0t（2 ） limsin 3x= lim1 sin 3x=0（因?yàn)?lim10，而 sin3x是有界函數(shù)）xxxxxx例3 求 lim1xsinxx1sin 1令t1/ xsin t解lim xsin= limxlim1.xxx1t 0tx重要極限二及其推廣形式感謝下載載精品x例 1求 lim 12xxxx 2122222解lim1= limlim 1 u ux1令 u= 2 / x =exxxu 0例lim sin 2 xlim sin x sin x 0x0xx0x(07. 二 .6)極限 lim ( x1) xxx1類型題3 、利用無窮小量的性質(zhì)求極限x 2 sin1xsin10例1l

10、imsinxxlimsinxx0x 0x 01x例 2limsin 2 xsinx1? 00limsinxx 0xx 0xsinxsinxsin 111例3limlimxlim xsinxlimxxxlim xsinx 0xxxx 0x類型題 4 、利用洛必塔法則求極限例limcosx - cosalim- sinx01x - a1x0x0ln(11)-11x 1x2例2xlimx 2?limlim1221xarccotxx11xx1xxx例3lim xlnx例4 lim ( 1x1)例5 limxsin xx0x0xe1x 0例6x2 t2 dt求極限lim00xxt (1sint ) dt

11、0感謝下載載精品類型題 5 、判斷函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性（連續(xù)的定義要明確）cos x1例 1判斷函數(shù)f (x)x2,x0,處的連續(xù)性。1在 x=0x0,22(sin x ) 22cos x 1sin x1解因?yàn)?lim f(x)=limlim2= lim2x2x2x2x 0x 0x0x021= .21又因?yàn)閒(0)=，所以函數(shù) f(x) 在 x=0處連續(xù) .2(07. 二 .7)設(shè) f ( x)x1 2處連續(xù)， 應(yīng)補(bǔ)充定義 f(3)=_x，要使 f ( x) 在 x=33函數(shù)在某一點(diǎn)是否有定義、是否有極限、是否連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系小結(jié)判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否連續(xù)，首先要判斷函數(shù)在該點(diǎn)處

12、的極限是否存在，然后考察 f(x) 在該點(diǎn)的極限值是否等于函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，若相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處連續(xù)，否則就不連續(xù)。類型題 6 、求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間1例求函數(shù) f(x)=的連續(xù)區(qū)間。3 x2 3x 2解 因?yàn)?f(x) 的定義域?yàn)?x2 3x+20 ，即 (x-1)(x-2)0 得 x1 且 x 2 。所以函數(shù) f(x) 的連續(xù)區(qū)間是,11,22,小結(jié)由于一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)，因此要求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間也就是求它的定感謝下載載精品義域。類型題 7 、求函數(shù)間斷點(diǎn)。1例 1求函數(shù) f(x) x22 的間斷點(diǎn)。解 對于有理分式函數(shù)，使分母為零的點(diǎn)是它的不連續(xù)點(diǎn)。使 (x+2) 2=

13、0 的點(diǎn)為 x= 2 ，x= 2 是函數(shù) f(x) 的間斷點(diǎn)。( x2)(x1)例 1求函數(shù) f(x) 的間斷點(diǎn)。x 2 ( x 3)解 對于有理分式函數(shù)，使分母為零的點(diǎn)是它的不連續(xù)點(diǎn)。使（ x-2 ） (x-3)=0的點(diǎn)為 x= 2 ， x= 3x= 2 ， x= 3 是函數(shù) f(x) 的間斷點(diǎn)。類型題 8 、判定方程根的存在性例 1 證明：方程 x 54x10 至少存在一個實(shí)根。證：設(shè) f ( x) x54x1，則函數(shù) f (x) 是定義在整個數(shù)軸上的初等函數(shù)，故在區(qū)間 0,1上 連 續(xù) ， 且 有 f (0) f (1)( 1) (4) 0,，由零點(diǎn)定理知，至少存在一個點(diǎn)xc (0,1)

14、, 使得 f (c)0, 或 c 54c 1 0, 即方程 x 54x 1 0 至少存在一個實(shí)根xc.小結(jié)：這類證明題一般都是先行設(shè)一個函數(shù)，這個函數(shù)通常是將給定方程的非零項(xiàng)移至方程的一側(cè)所形成的。然后通過方程觀察使函數(shù)值異號的兩個不同點(diǎn)，這兩個點(diǎn)做端點(diǎn)就可以形成一個區(qū)間。 如果所設(shè)函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)，問題便轉(zhuǎn)化為利用零點(diǎn)定理的證明問題了。當(dāng)然，本題的區(qū)間可以不取0 、1 而取 0 和 0.5 、 0 和 2 等做端點(diǎn)，同樣可以證明之。取0感謝下載載精品和 1 只是因?yàn)橛嬎愫唵瘟T了。第三部分導(dǎo)數(shù)與微分求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分自然是作為高等數(shù)學(xué)（即微積分） 考核的主要內(nèi)容，應(yīng)該做到十分熟練。其考核比例

15、為30% 。一、重點(diǎn)內(nèi)容提要1、掌握導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義f ' ( x0 )lim0ylimf ( x0x)f ( x0 )lim f ( x)f (x0 )xxx0xx x0xx0f ' ( x)limylimf (xx)f ( x)x 0xx 0x2、熟練掌握求導(dǎo)方法（ 1）熟練基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（按照所給的規(guī)律性成對記憶）（ 2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則感謝下載載精品（ 3）熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（ 4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（ 5）熟練掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法（以二階導(dǎo)數(shù)為主）二、 典型例題類型題 1 、求顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 1求函數(shù) y=x 3+ 3 xcos x +arc

16、tanx+ln2,求 y' 的導(dǎo)數(shù)；121解 利用基本求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則，=3x 23y'+xsin x1 x 23例 2設(shè) y=e -3x +ln(2x3+1),求 y' .解 先利用四則運(yùn)算法則有y=（ e -3x） /+ (ln 2x 31 )'再分別使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，即得y / = 3e -3x +16x22x31= 3e -3x+6x2312 xarctan1例 3 ysinex求 y'類型題 2 、隱函數(shù)求導(dǎo)方法例 1求由方程 x2-xy+y 2 =7所確定的隱函數(shù)yf ( x) 在點(diǎn) (2,-1)dy處的導(dǎo)數(shù)。dx解方程兩邊對 x

17、求導(dǎo)有： 2x-(y+xy' )+2yy' =0解得y2 x，于是有y' =x2 y感謝下載載精品y'2, 1y2x52yx ( 2, 1)4類型題 4 、取對數(shù)求導(dǎo)法例 1y xxxaa xa a(a 0) 求 y'例 2yxsin x求 y '例 3( x2)( x5) 3求 y'y4( x7)x4類型題 5 、求函數(shù)的微分補(bǔ)充：設(shè) y=x21(arctgx) 2，求 dy.112x2arctgx1x2arctgx解： y1 x221 x2221 x1 xdy= y dx(xx22arctgx2 ) dx11x例設(shè) y=xy+e y求

18、 dy.解注意到函數(shù) y 是由二元方程所確定，方程兩邊對x 求導(dǎo)：得y' =y+xy' +e y y'y' =yx eyy1dy=dx.1 xe y小結(jié)求函數(shù) y=f(x)的微分，只要求出f(x) 的導(dǎo)數(shù) f ' (x) ，再乘以 dx就可以了，即 dy= f ' (x)dx 。故這里僅此一例足以了類型題 6 、導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用例 1求拋物線y=x 2 上點(diǎn)1 1, 處的切線方程 .2 4感謝下載載精品解y'12 x11（點(diǎn) (1 , 1 ) 在曲線上），x242x2拋物線 y=x 2 上點(diǎn)1 , 1處的切線方程為24y 1=1 x142即

19、 4x+4y+1=0.注意在求曲線的切線方程時，要特別注意所給點(diǎn)是否在曲線上。感謝下載載精品第四部分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、重點(diǎn)內(nèi)容提要1 、掌握羅必達(dá)法則2 、掌握函數(shù)增減性的導(dǎo)數(shù)符號判別法（ 1）函數(shù)單調(diào)性的判斷定理（ 2）單調(diào)區(qū)間的確定3 、掌握函數(shù)的極值及其求法4 、知道曲線的凹向與拐點(diǎn) ,掌握曲線凹向的判別法與拐點(diǎn)的的求法5 、掌握函數(shù)的最值的求法二、典型例題類型題 1 、求未定型的極限例 1求極限 limexe2x2 ：x 0sinx解lim exe x2 （呈 0 型） = limexe xlimexe xx 0sin 2x0x 02sin x cos xx 0sin 2x(仍呈 0 型

20、)=limexe x1 110x02 cos2 x2例 2求下列函數(shù)的極限：（1 ） lim （1-x ） tanx（ 2） lim21；.x 12x 1x 1ln x感謝下載載精品解：（1 ）lim（ 1-x ）tanx（呈 0型）= lim1x （呈 0 ）= lim1x12x 1x0x 12 xcotcsc2222 sin2x2= lim2.x1(2)limx11（呈型） =limx ln xx1（呈 0型）x1xln xx 1( x1) ln x0=limln x11= limln x1=1x 1ln xx1x 1ln x 12xx小結(jié)（ 1 ）羅必塔法則既不是萬能的，也不一定是最簡的

21、。（ 2 ）羅必塔法則可以連續(xù)使用，但每一次使用前都必須檢查是否滿足法則的條件，只有三個條件都滿足了，才能繼續(xù)使用。（ 3 ）使用羅必塔法則時，要及時化簡。類型題 2、函數(shù)單調(diào)性的判定和應(yīng)用例求證 2 x >3-1 （ x>1 ）x證明設(shè) f （ x） =2x - 3111x 31，則 f '(x)=x2x2xx當(dāng) x>1 時f' (x)>0故 f（ x）單調(diào)增加，于是有當(dāng) x>1時 f (x)>f(1)=0即 2 x - 311>0 即2x >3-xx注意： 了解和總結(jié)利用單調(diào)性證明不等式的步驟是必要的。類型題 3、函數(shù)的極值例

22、求函數(shù) y x3x1 的極值點(diǎn)及極值解函數(shù)的定義域是（-，+）y'3 x 1 +x1) 2=4 x333(x33(x1) 2感謝下載載精品令 y' =0 得駐點(diǎn) x= 34又在 x=1 處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在。x3331(1,+ )(- ,)(,1)444y'一0+不存在+y極小值點(diǎn)3 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，其極小值為f （ 3 ） =331x=。4444類型題 4、函數(shù)的凹向與拐點(diǎn)例討論 y2x33x2x2 的凹向，并求拐點(diǎn)。例討論曲線 f(x)=2x32（ a>0 ）的凹向，并求拐點(diǎn)。x3a解3x2( x 23a2 ) 2x x3x49a 2x 2f ' (

23、x)( x23a 2 )2( x23a 2 )2f4x318a2 xx 23a 2 2x 49a2 x22 x23a 22 x(x)=x 23a246a 2 x( x 29a 2 )=3a 2 3x2令 f ' (x)=0 ，得 x1=0 ， x2 =-3a ， x3 =3a函數(shù)無二階不可導(dǎo)點(diǎn)，f(x) 的定義域?yàn)椋?， +），列表x(- ,-3a)-3a(-3a,0)0(0,3a)3a(3a,+)y+00+0y拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)感謝下載載精品類型題5、函數(shù)的最值例 求 y2x 33x 21,4 的最大值和最小值。例設(shè)某商品的需求函數(shù)為QP=10-，成本函數(shù)為5C=50+2Q，求產(chǎn)量多少時總

24、利潤L 最大。解P=10-Q， C=50+2Q ，R=PQ=10Q-Q 2，而55L=R-C=10Q-Q 2-50-2Q=8Q-Q 2-50552Q=0得唯一駐點(diǎn) Q=2020Q=20 是極大值點(diǎn)令 L' =8-。又L =-55當(dāng)產(chǎn)量 Q=20時總利潤L 最大 .例 求平衡價格感謝下載載精品第五部分不定積分不定積分運(yùn)算是求導(dǎo)函數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，更是求定積分的基礎(chǔ)，務(wù)求熟練。當(dāng)然，求不定積分也是考核內(nèi)容。一、重點(diǎn)內(nèi)容提要1、（ 1 ）了解定義（2）掌握性質(zhì)：（ 3）熟悉基本積分表2、理解并掌握換元積分法3、掌握分部積分法1 、原函數(shù)：F ( x)f ( x)則稱 F（ x）為 f （ x）

25、的一個原函數(shù)。2 、不定積分：概念： f（ x）的所有的原函數(shù)稱f（ x）的不定積分。f ( x) dxF (x)C注意以下幾個基本事實(shí)：f (x)dxf (x)f ( x) dxf ( x)Cdf ( x)dxf (x)dxdf ( x)f ( x)C性質(zhì)：af ( x)dxaf (x)dx(注意 a0)f (x)g( x) dxf ( x)dxg( x)dx感謝下載載精品基本的積分公式：教材P2063 、定積分：定義幾何意義性質(zhì)：求定積分方法：牛頓萊布尼茲公式二、求不定積分或定積分：可供選用的方法有 直接積分法：直接使用積分基本公式換元積分法：包括第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法分部

26、積分法二、典型例題類型題 1 、利用某些恒等變換化為積分表中的公式直接積分例 1求不定積分x22 dx1x解x21 1dx = 11dx =x-arctanx+c.原式 =x2x211類型題 2 、利用第一類換元法求積分例 1求不定積分sin 3xdx.解1令u 3x1sin udu1sin 3xdxsin 3xd (3x)3cosu c33感謝下載載精品代回變換1 cos3x c.3例 2求不定積分x 1x2 dx ：解x 1 x2 dx = 11131 x 2 2 d (1 x 2 )1x2 2 c23例 3求ln x dx.xln x dx123ln x 2 d ln x解ln x 2c.x3類型題 3 、利用第二類換元法求積分例x2dx.求x2解令 2xt ，則 x=2-t2， dx=-2tdt代入原式得原式 =2t 2 2(2tdt )2 (44t 2t 4 )dtt=-24t4t315c2(60 20t234 )c3ttt