微分中值定理的應(yīng)用

1、微分中值定理的應(yīng)用一 洛必達(dá)法則求 0 型和型未定式的極限0設(shè) (1) 當(dāng) x0 時 , 函數(shù) f (x) 和 F ( x) 都趨于零 ;(2)在 a 點的某去心鄰域內(nèi), f ( x) 和 F ( x) 都存在且 F (x)0 ;(3) lim f (x)x a F (x)(x存在 (或無窮大 ),則 lim f (x )lim f (x )x a F ( x)x a F ( x)注意： 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，常與其它求極限方法結(jié)合使用，尤其是等價無窮小的替換 .例 求 lim tan x xx 0 x2 tan x解原式=lim tan xx =lim sec2 x 1= 1

2、lim tan 2 x=1x 0x3x 03x23 x 0x230 ,00 ,1,0 型未定式的求法 （轉(zhuǎn)化為0型和型）010 ) 型例 求 lim (cot x) ln x .(x 011ln(cotx)解 由于 (cot x) ln xeln x11而 lim1ln(cot x)limcot xsin 2 xlimxln x11x 0x 0x0cosx sin xx所以 原式 = e 1.注意： 洛必達(dá)法則的使用條件例 1 求 lim x cos x .xx解 原式 = lim1 sin xlim (1sin x). 極限不存在x1x（洛必達(dá)法條件不滿足的情況）正確解法為原式 = lim

3、(11 cos x)1.x x例 2 求 lim tan n (2)n4n1解 設(shè) f ( x) tan x (2 ) ，則 f ( n) tan n (2 )4x4 nln tan( lim4 limxln tan(2)x1xx4x因為 limf ( x)e= ex222) limsec (4 x)(x2x12tan(2 )44exx= e1例 3.lim1ex1x0xex1eueu解：設(shè) u11ex1limlim， lim1limu1utx 0xu1uuxeeeuu2例 4.exsin x1lim11x2x0xsin x1exsin x1 1 1 x2解： limelim2x 0 11 x

4、2x 011 x22 )x 11u2eu11xxxesin x1lim 11 x2ecos xlime sin x1limx22limx 0x 0x 02xx 01例 5： 設(shè)函數(shù) yf ( x) 在 x0 的鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f (0)0, f / (0) 0若 af (h)bf (2h)f (0) 在 h0 時是比 h 高階的無窮小，求a, b計算導(dǎo)數(shù)二 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性設(shè)函數(shù) yf (x)在 a,b 上連續(xù)在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在 (a,b) 內(nèi) f (x)0(2) 如果在 (a,b) 內(nèi) f (x)0例 討論函數(shù)y3 x2 的單調(diào)性那么函數(shù)那么函數(shù)y f

5、( x) 在 a,b 上單調(diào)增加y f ( x) 在 a,b 上單調(diào)減少2解顯然函數(shù)的定義域為 ( ,), 而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 y2(x 0)3x3所以函數(shù)在 x0處不可導(dǎo)又因為 x0時 y0 所以函數(shù)在因為 x0 時y0, 所以函數(shù)在(,0 上單調(diào)減少 0,) 上單調(diào)增加利用單調(diào)性證明不等式例 證明 當(dāng) x1時2x31x證明令 f (x)2 x(31)則 f (x)111(x x 1)xxx2 x2因 為 當(dāng) x1 時f ( x)0因 此 f (x) 在 1,) 上單調(diào)增加從 而 當(dāng) x1 時f (x)f (1),又由于f (1) 0 故 f (x)f (1)0即 2x (31)0也就是 2x3

6、1xx ,( x1)曲線的凹凸與拐點定義設(shè) f (x)在區(qū)間 I 上連續(xù) 如果對 I 上任意兩點 x1 , x2恒有f ( x1 x2 )f (x1) f (x2 )22那么稱 f (x)在 I 上的圖形是 (向上 )凹的 (或凹弧 ) 如果恒有f ( x1 x2 )f (x1) f (x2)22那么稱 f (x)在 I 上的圖形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )定義設(shè)函數(shù) y f (x)在區(qū)間 I 上連續(xù) 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I 上是凹的； 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I 上是凸的曲線凹凸性的判定定理 設(shè) f (x)在 a

7、, b 上連續(xù)在 (a b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)那么(1) 若在 (a,b) 內(nèi) f (x) 0則 f (x)在 a,b上的圖形是凹的3(2) 若在 (a,b) 內(nèi) f /(x) 0 則 f (x)在 a,b上的圖形是凸的拐點 連續(xù)曲線 yf (x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點確定曲線 yf (x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟(1)確定函數(shù) yf(x)的定義域(2) 求出在二階導(dǎo)數(shù) f (x)(3) 求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(4) 判斷或列表判斷 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點例求曲線 y2x3 3x212x14的拐點解y 6x26x12y12x66(2x1) ，令 y 0得 x

8、12因為當(dāng) x1 時 y0當(dāng) x1 時y0 所以點(1201 )是曲線的拐點2222例 4求曲線 y3x44x31的拐點及凹、凸的區(qū)間解 (1)函數(shù) y431的定義域為 (,)3x4x(2)y 12x3 12x2y36x224x 36x(x2 )3(3)解方程 y0得 x10x223(4) 列表判斷,000,2 32 32 3,f ''x00fx111 27在區(qū)間 (,0和 2,) 上曲線是凹的在區(qū)間 0, 2 上曲線是凸的點 (0,1)和332 11 是曲線的拐點(,)3 27三 函數(shù)的極值、最值及其求法定理1(必要條件 )設(shè)函數(shù)f ( x) 在點 x0 處可導(dǎo)且在 x0 處

9、取得極值那么函數(shù)在4x0 處的導(dǎo)數(shù)為零即 f ( x0 ) 0定理 2 (第一種充分條件 )設(shè)函數(shù) f ( x) 在點 x0處連續(xù)在 x0 的某去心鄰域 U (x0 , ) 內(nèi)可導(dǎo)(1) 若 x (x0, x0 ) 時， f ( x)0而 x( x0 , x0) 時， f (x)0則函數(shù) f (x)在 x0 處取得極大值(2) 若 x (x0, x0 ) 時， f ( x)0而 x( x0 , x0) 時， f (x)0則函數(shù) f (x)在 x0 處取得極小值(3)如果 xU (x0 ,) 時， f ( x) 不改變符號則函數(shù) f ( x) 在 x0 處沒有極值確定極值點和極值的步驟（ 1）求

10、函數(shù)定義域(2) 求出導(dǎo)數(shù) f ' ( x)(3) 求出 f ( x) 的全部駐點和不可導(dǎo)點(4) 列表判斷 (考察 f ' (x) 的符號在每個駐點和不可導(dǎo)點的左右鄰近的情況以便確定該點是否是極值點如果是極值點還要按定理2 確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值)(5) 確定出函數(shù)的所有極值點和極值例 求函數(shù) f (x) (x4)3 (x1) 2的極值解顯然函數(shù) f ( x) 在 (,) 內(nèi)連續(xù) 除 x1外處處可導(dǎo)且f ( x)5(x1)令 f ' ( x)得駐點 x1， x1為 f ( x) 的不可導(dǎo)點33 x1(3) 列表判斷x( ,1)1( 1,1)1(1, )f

11、' (x)不可導(dǎo)0f ( x)033 4所以極大值為f ( 1)0 極小值為 f (1)33 4如果 f ( x) 存在二階導(dǎo)數(shù)且在駐點處的二階導(dǎo)數(shù)不為零則有5定理 3 (第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f ( x) 在點 x0 處具有二階導(dǎo)數(shù)且f ' (x0 )0f (x0 )0那么(1) 當(dāng) f(x0 )0時 函數(shù) f ( x) 在 x0 處取得極大值(1) 當(dāng) f(x0 )0時 函數(shù) f ( x) 在 x0 處取得極小值說明： 如果函數(shù)f (x) 在駐點 x0 處的二導(dǎo)數(shù) f ( x0 )0 那么該點 x0一定是極值點并可以按 f(x0 ) 的符來判定 f (x0 ) 是極大值還是

12、極小值但如果 f ( x0 ) 0 定理 3 就不能應(yīng)用 例如 g(x)x3 在點 x 0 沒有極值 .最大值最小值問題最大值和最小值的求法設(shè) f ( x) 在 ( a, b) 內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點(它們是可能的極值點)為 x1 , x2 , xn 則比較f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), f ( xn ), f (b) 的大小其中最大的便是函數(shù)f (x) 在a, b 上的最大值最小的便是函數(shù)f ( x) 在 a,b 上的最小值求最大值和最小值的步驟(1).求駐點和不可導(dǎo)點;(2).求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值, 比較大小 , 那個大那個就是最大值, 那個小那個就是最小值

13、 ;注意 : 如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值, 則這個極值就是最值.( 最大值或最小值)例 求函數(shù)f (x)x23x2 在 3,4 上的最大值與最小值解 由于 f ( x)x23x2x3,12, 4x23x2x(1, 2)所以 f(x)2x3x( 3,1)(2, 4)2x 3x(1, 2)求得 f ( x) 在 ( 34)內(nèi)的駐點為 x3 ，不可導(dǎo)點為 x11, x2 22而 f (3) 20, f (1)0 ， f ( 3)1f (2)0, f (4)624經(jīng)比較 f ( x) 在 x3 處取得最大值20 在 x11, x22 處取得最小值 06漸近線鉛直漸近線 （垂直于 x 軸的漸近線）lim f

14、 (x)或lim f (x)，那么 x x0就是曲線 yf ( x) 的一條鉛直漸近線。x x0x x0例如曲線 y1x 2, x3有兩條鉛直漸近線( x2)( x 3)水平漸近線 （平行于 x 軸的漸近線）lim f (x)b 或limf (x)b（ b 為常數(shù)），那么 yb就是曲線 yf ( x) 的一條水xx平漸近線。例如曲線 yarctan x 有兩條水平漸近線y,y22斜漸近線如 果 lim f(x)(ax)0或lim f(x)(ax)0（ a, b 為 常 數(shù) ） 那 么xbxby axb就是曲線 yf ( x) 的一條斜漸近線。斜漸近線的求法：求出 limf ( x)a ， li

15、m f ( x)axb ，則 yaxb 就是曲線 yf ( x) 的斜漸近線xxx例 1 求曲線 f ( x)2( x2)( x3)x1的漸近線解 D:(,1)(1,) ,因為 limf ( x),limf ( x)x1x1所以 x1 是鉛直漸近線又因為 limf ( x)lim2( x2)( x3)2 ,xx(x1)xxlim 2( x2)( x3)2xlim2(x 2)( x3)2x( x1)4xx1xx 1所以 y2 x4 為斜漸近線描繪函數(shù)圖形的一般步驟(1) 確定函數(shù)的定義域并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)(2) 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(3) 列表分析 確定曲

16、線的單調(diào)性和凹凸性(4) 確定曲線的漸近性(5) 確定并描出曲線上極值對應(yīng)的點、拐點、與坐標(biāo)軸的交點、其它特殊點7(6) 聯(lián)結(jié)這些點畫出函數(shù)的圖形例 做出函數(shù) f (x)4( x1)2 的圖形x2解函數(shù)的定義域為D : x0 非奇非偶函數(shù) , 且無對稱性 .4( x2)f ( x)8( x3)令f(x)0, 得駐點x2f ( x)x3,x4,lim 4( x1)再令 f (x)0 得特殊點 x3 ,又 limf ( x)222xxx得水平漸近線y2, 而 limf ( x)lim 4( x21)2, 鉛直漸近線 x 0x 0x 0x列表x(, 3)3( 3, 2)2( 2,0)0(0,)f (

17、 x)不存0在f ( x)0+拐點極值點間斷f(x)26y 3點(3,)9補(bǔ)充點： (1 3,0), (13,0)， A(1, 2) ， B (1,6) ， C ( 2,1)y6BC3 2 1o11 2xA238曲率（數(shù)三不要求）一、弧微分 ds1y 2 dx二、曲率及其計算公式曲率 是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量曲線彎曲程度的直觀描述用比值 |即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段MN 的平均彎曲程度記| s|K稱 K 為弧段 MN 的平均曲率s記 Klims稱K為曲線 C在點 M處的曲率s0在 limd存在的條件下Kdsdsdss0曲率的計算公式設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是yf (x)

18、且 f ( x) 具有二階導(dǎo)數(shù)（這時f ( x) 連續(xù) 從而曲線是光滑的）因為 tany所以 sec2dy dxyyydsec2dx1tan2dx1y 2 dx又 ds1y 2 dx從而得曲率的計算公式Kd| y |ds(1y 2)3 2若曲線的參數(shù)方程為x(t)則曲率 K| (t)(t)(t)(t) |y(t )2(t)2(t)3/ 2例 1 計算直線 yaxb上任一點的曲率解 顯然 ya, y0 ，所以直線 yaxb 上任一點的曲率 K0 ,即直線的曲率處處為零例 2 計算半徑為R 的圓上任一點的曲率解xRcost1由于圓的參數(shù)方程為Rsin t,所以KyR即圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)

19、, 且半徑越小曲率越大 .三、曲率圓與曲率半徑設(shè)曲線在點M ( x, y) 處的曲率為K ( K0) 在點M 處的曲線的法線上凹的一側(cè)取一9點D 使DMK 1, 以 D為圓心為半徑作圓 這個圓叫做曲線在點 M 處的曲率圓 曲率圓的圓心D 叫做曲線在點M 處的曲率中心曲率圓的半徑叫做曲線在點 M 處的曲率半徑y(tǒng)D1kMyf ( x )ox曲線在點 M 處的曲率 K ( K0) 與曲線在點M 處的曲率半徑有如下關(guān)系11KK注意： 1. 曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).2. 曲線上一點處的曲率半徑越大 , 曲線在該點處的曲率越小 ( 曲線越平坦 ); 曲率半徑越小 , 曲率越大

20、( 曲線越彎曲 ).3. 曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧 ( 稱為曲線在該點附近的二次近似 ).例題1.函數(shù) f ( x) 在 0,1 上 f / ( x)0 ，比較 f / (1), f / (0), f (1)f (0) 的大小 .解： f ( x) 在 0,1 上滿足拉氏中值定理條件，存在0,1 ，使得 f (1)f (0)f / ( ) .由于 f / (x)0 ，所以 f / ( x) 單調(diào)增加，而 01，所以f / (0) f / ( ) f / (1) ，即 f / (0)f (1)f (0)f / (1) .2. 函數(shù) f (x) 在 0,1 上 f / (x)

21、0, f / (0)0 ，比較 f / (1), f / (0), f (1)f (0) 的大小 .解：由于 f / (x)0 ，所以 f / ( x) 單調(diào)增加，而 f / (0) 0 ，所以在 0,1 上 f / ( x) 0 ，同上題討論有f / (0)f (1)f (0)f / (1)3.f ( x)f (x) 在 0,內(nèi) f / (x)0, f / ( x)0 ,判斷在,0 內(nèi) f / (x), f / (x) 的符號 .4. 已 知 函 數(shù)f ( x) 在 區(qū) 間1, 1內(nèi) 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù) , 且f / ( x) 嚴(yán) 格 遞 增 ,10f / (1)f (1)1，則：A.在

22、 1,1內(nèi)均有 f ( x)x ； B.在 1 ,1 , 1,1內(nèi)均有 f ( x)x ；C.在1,1內(nèi)均有f ( x)x ，在 1,1D.在1,1內(nèi)均有f (x)x ，在 1,1內(nèi)均有 f ( x)x ；內(nèi)均有 f ( x)x 。5 .設(shè) f ( x) 處處可導(dǎo) ,則A.limf ( x)必 limf / ( x)； B.limf / ( x)必 limf ( x)xxxxC.limf ( x)必 limf / (x)； D.limf / (x)必 limf ( x)xxxx解：選擇 D (A,C 的反例 yx ， B 的反例 yx2 )6.設(shè)函數(shù) f ( x) 在 0,上有界且可導(dǎo)，則A.

23、limf ( x)0 必 limf / (x)0;B.xlimf / ( x) 存在，必limf / ( x) 0 ；xxxC.limf ( x)0 必 limf / ( x)0;D.limf / ( x) 存在，必limf / (x)0 ；x 0x 0x0x0解：選擇 A (B,C,D 的反例 f (x)x )7.設(shè)函數(shù)f (x)在 x0 的鄰域內(nèi)連續(xù),f (0)0，limf ( x)2，則在 x0 處且x 0 1cos xA.f (x) 不可導(dǎo) ;B. 可導(dǎo) ,且 f / (0)0 ;C.取極大值 ;D.取極小值8.f ( x), g( x)為恒大于0,f/(x)g( x)f (x)g/(x)0x b 時的可導(dǎo)函數(shù) 且，則當(dāng) aA.f (x) g(b