第9章波動和聲(2)

1、P360（習題）：（習題）：9.2.3，9.2.5, 9.2.6，9.2.10第九章部分習題第九章部分習題第九章第九章 波動和聲波動和聲 (9-10(9-10學時學時) )9.1 9.1 波的基本概念波的基本概念9.2 9.2 平面簡諧波方程平面簡諧波方程9.3 9.3 波動方程波動方程和波速和波速9.4 9.4 平均能流密度平均能流密度聲強與聲壓聲強與聲壓9.5 9.5 波的疊加和干涉波的疊加和干涉駐波駐波9.6 9.6 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 8.1 彈性體的彈性體的 拉伸和壓縮拉伸和壓縮 8.2 彈性體的彈性體的剪切形變剪切形變 *8.3 彎曲和扭轉(zhuǎn)彎曲和扭轉(zhuǎn) （了解）（了解） 彈性形變彈

2、性形變當物體所受外力撤除后，在外當物體所受外力撤除后，在外力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復原狀的形變失，而恢復原狀的形變. .彈性體彈性體只發(fā)生彈性形變的物體，是一種理只發(fā)生彈性形變的物體，是一種理想模型想模型. . 彈性的形變有彈性的形變有拉伸壓縮、剪切拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎、扭轉(zhuǎn)和彎曲曲. .拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變拉伸壓縮和剪切形變是最基本的形變. .（一）（一） 外力外力內(nèi)力與應(yīng)力內(nèi)力與應(yīng)力 F FABFFFF F FABFFF F FneFne外力外力 F F FF 內(nèi)力內(nèi)力 F不計桿自身重量不計桿自身重量 FFF 應(yīng)力

3、應(yīng)力 n0,0,FS：拉力；壓力Fn是內(nèi)力在是內(nèi)力在外法線方向外法線方向的投影的投影, S是假象橫截面積是假象橫截面積 8.1 彈性體的彈性體的 拉伸和壓縮拉伸和壓縮 P265 例題例題1本段標題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內(nèi)本段標題為桿的拉伸壓縮，但并非僅直桿內(nèi)存在拉伸壓縮應(yīng)力存在拉伸壓縮應(yīng)力.如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容如圖表示裝高壓氣體的薄壁圓柱形容器的橫斷面。壁厚為器的橫斷面。壁厚為d 且圓柱的半徑為且圓柱的半徑為R. 氣體壓強為氣體壓強為p ，求壁內(nèi)沿圓周切向的應(yīng)力求壁內(nèi)沿圓周切向的應(yīng)力.不計容器自重且不計大氣壓不計容器自重且不計大氣壓.Rd2pR d d解解 受力如圖所示。按受

4、力如圖所示。按受力平衡條件受力平衡條件得得即器壁沿圓周切向受拉應(yīng)力即器壁沿圓周切向受拉應(yīng)力.022 dpR dRp/ 河北趙州橋河北趙州橋 拱形建筑內(nèi)壁受壓應(yīng)力拱形建筑內(nèi)壁受壓應(yīng)力二、直桿的二、直桿的線應(yīng)變線應(yīng)變 bb0ll00lll 直桿原長與形變后長度之差直桿原長與形變后長度之差 0 l絕對伸長絕對伸長 0 l絕對壓縮絕對壓縮 線應(yīng)變線應(yīng)變 0ll 橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變 0001bbbbb 泊松系數(shù)泊松系數(shù) 1 反映物質(zhì)形變程度，反映物質(zhì)形變程度， 反映物質(zhì)彈性特征反映物質(zhì)彈性特征. 三、胡克定律三、胡克定律 （僅形變較小時成立）（僅形變較小時成立）胡克定律：胡克定律： E n0FlEESl，

5、 彈性模量，楊氏模量即即 開始開始“頸縮頸縮”F l O CDB O AB P P 是是塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變. 斷裂點斷裂點 屈服極限屈服極限 骨骨馬馬牛牛豬豬人人拉伸彈性模量拉伸彈性模量股骨股骨25.525.014.917.6脛骨脛骨23.824.517.218.4肱骨肱骨17.818.314.617.5橈骨橈骨22.825.915.818.9壓縮彈性模量壓縮彈性模量股骨股骨9.40.478.74.9脛骨脛骨8.55.1肱骨肱骨9.05.0橈骨橈骨8.45.3表表8.3 密質(zhì)骨的彈性模量密質(zhì)骨的彈性模量/GPa 四、拉伸和壓縮的四、拉伸和壓縮的形變勢能形變勢能 設(shè)形變量設(shè)形變量 ，直桿形變前，直

6、桿形變前 =0；發(fā)生形變；發(fā)生形變 l , = l 彈性力是彈性力是保守力保守力.彈性力所做的功等于彈性體彈性勢能的減少彈性力所做的功等于彈性體彈性勢能的減少. 0nlSEF 胡克定律胡克定律 外力做功外力做功 d0n lFA llES00d 020)(21SlllE 彈性力所做的功與外力的功大小相等，符號相反彈性力所做的功與外力的功大小相等，符號相反.彈性勢能等于自勢能零點開始外力做功的正值。彈性勢能等于自勢能零點開始外力做功的正值。設(shè)未形變時勢能為零，設(shè)未形變時勢能為零， 則則 VEE2p21 直桿直桿拉伸壓縮彈性勢能拉伸壓縮彈性勢能： 對于均勻形變，對于均勻形變，彈性勢能密度彈性勢能密度

7、： 02p12pEEEV220011()22lAESlEVl外力做功外力做功: 8.2 彈性體的剪切形變彈性體的剪切形變 一、剪切形變一、剪切形變 剪切形變剪切形變物體受到物體受到力偶力偶作用使物體兩個平行截面作用使物體兩個平行截面間發(fā)生相對平行移動間發(fā)生相對平行移動.FFABCD切應(yīng)力切應(yīng)力 SF S是截面是截面ABCD的面積，的面積，切應(yīng)力具有與正應(yīng)力相同的量綱和單位切應(yīng)力具有與正應(yīng)力相同的量綱和單位. 1.切應(yīng)力切應(yīng)力 剪切應(yīng)力互等定律：剪切應(yīng)力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的切應(yīng)力相等垂直于該兩平面交線的切應(yīng)力相等. abcF FF

8、 F 力偶矩力偶矩 ),(),(FFMFFM 2.剪切應(yīng)力互等剪切應(yīng)力互等 和和 分別表示上下底面和左右側(cè)面的切應(yīng)力分別表示上下底面和左右側(cè)面的切應(yīng)力 acbbca )()( 3.剪切應(yīng)變描述剪切應(yīng)變描述 abcdb c 剪切形變特征剪切形變特征: ccbb 切應(yīng)變切應(yīng)變 : 平行截面間相對滑移與截平行截面間相對滑移與截面垂直距離之比面垂直距離之比. abbb tan即即 形變小時，形變小時， tanabbb 又稱又稱切變角切變角, 一純數(shù)一純數(shù) 二、剪切形變的胡克定律二、剪切形變的胡克定律 G G稱切變模量稱切變模量，由材料彈性決定，由材料彈性決定. G反映材料抵抗剪反映材料抵抗剪切形變的能

9、力，切形變的能力， 單位與彈性模量相同單位與彈性模量相同.剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律若形變在一定限度內(nèi)，切若形變在一定限度內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比應(yīng)力與切應(yīng)變成正比.1. 剪切形變的胡克定律剪切形變的胡克定律 單位體積剪切形變的彈性勢能為單位體積剪切形變的彈性勢能為 20p21 GE 波動波動是振動是振動( (相位相位) )狀態(tài)的傳播狀態(tài)的傳播，簡稱波，簡稱波. .機械振動機械振動 電磁振動電磁振動 振動振動 波波 機械波機械波 電磁波電磁波 10.1 波的基本概念波的基本概念 一、一、 波是振動狀態(tài)的傳播波是振動狀態(tài)的傳播 機械波產(chǎn)生的條件：機械波產(chǎn)生的條件： 振源振源和和彈性介質(zhì)

10、彈性介質(zhì). . 彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì)由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì). .正彈性力正彈性力( (拉伸、壓縮拉伸、壓縮):):固體、液體、氣體、固體、液體、氣體、彈性力彈性力剪切彈性力：剪切彈性力： 固體固體二、二、 多種多樣的波多種多樣的波 橫波橫波1.1.橫波與縱波橫波與縱波x縱波縱波u縱波縱波振動方向與傳播方向振動方向與傳播方向相同相同, 如聲波如聲波.動畫演示動畫演示橫波橫波各振動方向與傳播方向各振動方向與傳播方向垂直垂直.質(zhì)點完成一次振動，波剛好傳播了一個波形質(zhì)點完成一次振動，波剛好傳播了一個波形. 動畫演示動畫演示質(zhì)點只在平衡位置附近做振動質(zhì)點只在平衡位置附近做振動，并未隨著

11、波的傳播方并未隨著波的傳播方向進行遷移。向進行遷移。2. 表面波水面波表面波水面波 水面波是由于表面張力和重力作用的結(jié)果，為水面波是由于表面張力和重力作用的結(jié)果，為非彈性波非彈性波. Oy水面平衡位置水面平衡位置 水面波即不是縱波也不是橫波水面波即不是縱波也不是橫波 3. 地震波地震波* 地震波包含：地震波包含：縱波（縱波（ P波）波）橫波（橫波（S波）波）以及表面波以及表面波 三、三、 平面波與球面波平面波與球面波 波線波線（波射線（波射線)表明表明波的傳播方向的波的傳播方向的線線波面波面（相面、波陣面）（相面、波陣面）振動振動相位相同相位相同點組成的平面點組成的平面波前波前某時刻處在某時刻

12、處在最前方最前方的波面的波面. 在在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波面垂直.波面波面波線波線球面波球面波平面波平面波波線波線波面波面10.2 平面簡諧波方程平面簡諧波方程 一、一、 平面簡諧波方程平面簡諧波方程 以橫波為例以橫波為例平面簡諧波平面簡諧波 平面平面波源振動波源振動, 在波動傳播的區(qū)域在波動傳播的區(qū)域, 媒質(zhì)中的媒質(zhì)中的質(zhì)元均按余（正）弦規(guī)律運動。質(zhì)元均按余（正）弦規(guī)律運動。數(shù)學描述數(shù)學描述 y = f (x,t) 1. 平面簡諧波的運動學方程平面簡諧波的運動學方程 設(shè)一列平面簡諧波沿設(shè)一列平面簡諧波沿正正 x 方向方向傳播傳播 , xypvOx設(shè)設(shè)

13、t 時刻時刻O點振動表達式：點振動表達式：tAy cos 求求t時刻任意點時刻任意點p的振動的振動. 角頻率（圓頻率）角頻率（圓頻率）.其中其中 y 是是O點處的質(zhì)點偏離其平衡位置的位移，點處的質(zhì)點偏離其平衡位置的位移，A振幅振幅, O點振動傳到點振動傳到 p點需用時點需用時 vxt 相位落后相位落后 vx t時刻時刻p點的運動點的運動學學方程方程： )(cos),(vxtAtxy xypvOx若波向若波向負負x方向方向傳播傳播 )(cos),(vxtAtxy xvP點振動狀態(tài)傳到點振動狀態(tài)傳到 O 點需用時：點需用時： xtvP點的相位超前于點的相位超前于O點相位：點相位：平面簡諧波平面簡諧

14、波的一般表達式的一般表達式cos()xyAtv負（正）號代表向負（正）號代表向 x 正（負）向傳播的簡諧波正（負）向傳播的簡諧波.xypvOx2. 討論討論 位移位移 y 既是既是 t 的函數(shù)，又是的函數(shù)，又是 x 的函數(shù)的函數(shù) (1)當當 x 一定時，令一定時，令 x = x0 表達式變成表達式變成 y - t 關(guān)系，是關(guān)系，是 x0 點的振動方程點的振動方程. T tyA-AO0cos()xyAtvx0相位比相位比 x=0 點落后點落后 vx0 注意：介質(zhì)中各點在平衡位置附近的往復振動并不是簡諧振動注意：介質(zhì)中各點在平衡位置附近的往復振動并不是簡諧振動cos()xyAtv(2) t一定一定

15、（統(tǒng)觀波線上所有質(zhì)點）（統(tǒng)觀波線上所有質(zhì)點）這時這時, y 僅為僅為 x 的周期函數(shù)的周期函數(shù).當當 t = t0 時時 表達式變成表達式變成 y x 關(guān)系，表達了關(guān)系，表達了 t = t0 時刻空間各點的位移分時刻空間各點的位移分布布波形圖波形圖.y xOt 時刻的波形曲線時刻的波形曲線0cos()xyAtv(3) x、t 均變均變 具有波動意義具有波動意義 即即: 各質(zhì)點各自振動各質(zhì)點各自振動 ; 波形向前傳播波形向前傳播. xyx1xy1t 時刻時刻 t + t 時刻時刻 xv tx2cos()xyAtv3. 簡諧波的特征量簡諧波的特征量cos()xyAtv（1）波速（波速（相速度）相速

16、度）:()xtvvxvt 某一給定相位的位置隨時間移動的速度，即某一給定相位的位置隨時間移動的速度，即相相速度速度( (相位傳播速度相位傳播速度) )。(dxvdt當一定時）（2）波的波的頻率頻率 （波的時間周期性（波的時間周期性) ) 2T周期周期: :單位時間媒質(zhì)中每個質(zhì)點完整振動的次數(shù)單位時間媒質(zhì)中每個質(zhì)點完整振動的次數(shù)頻率頻率：21T媒質(zhì)中每個質(zhì)點媒質(zhì)中每個質(zhì)點( (固定固定x值值) )都在做周期性運動（都在做周期性運動（不是簡諧振動不是簡諧振動）cos()xyAtv(3)(3)波長波長 : : （波的空間周期性波的空間周期性) )cos()xxyAtvcos ()cos ()xxxx

17、xxyAtAtvvv相鄰同相點：相鄰同相點：2xv2vx2(1,2,3,.)xkkv同相同相:2vvTvTx同一時刻兩個同一時刻兩個相鄰同相點相鄰同相點間的距離間的距離31 2 vk令令 波數(shù)波數(shù) Tv 2 波長波長， 波速波速與與頻率頻率之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 波在空間的周期性波在空間的周期性 波在時間上的周期性波在時間上的周期性 通過波速通過波速v聯(lián)系起來聯(lián)系起來 (1)(1) 不同時刻對應(yīng)不同的波形曲線不同時刻對應(yīng)不同的波形曲線 4.4.簡諧波的簡諧波的波形曲線波形曲線( (波形圖波形圖) ) xvtyo (2)(2) 橫波橫波的波形曲線直接反應(yīng)該時刻各質(zhì)元偏離各自平衡位的波形曲線直接

18、反應(yīng)該時刻各質(zhì)元偏離各自平衡位置的位移置的位移. .cos()xyAtv某一時刻各質(zhì)元偏離各自平衡位置的位移的某一時刻各質(zhì)元偏離各自平衡位置的位移的y-x曲線曲線(3). 縱波縱波波形曲線波形曲線y軸位移表示的是質(zhì)點在軸位移表示的是質(zhì)點在x軸上軸上偏離平衡位置位移偏離平衡位置位移:向右為正向右為正,向左為負向左為負 xutyo二、平面簡諧波方程的多種形式二、平面簡諧波方程的多種形式 利用：利用： 22 T vvT 2 vk下述幾式等價：下述幾式等價：( , )cos ()xy x tAtv( , )cos2()xy x tAt( , )cosy x tAtkx( , )cos2()txy x

19、tATP332 例題例題1 平面簡諧波方程為平面簡諧波方程為如何將此方程化成為最簡形式如何將此方程化成為最簡形式.3/)/(2cos vxtAy 選擇計時起點瞬時相位為零的一個體元為新的坐標選擇計時起點瞬時相位為零的一個體元為新的坐標原點原點.對新原點平衡位置為對新原點平衡位置為x 的某體元在的某體元在t時刻的相位為時刻的相位為 )(2vxt 3)(2 vxt 解解 移動坐標原點移動坐標原點或或改變計時起點改變計時起點都可使原點初始相位為零都可使原點初始相位為零.（1）移動坐標原點移動坐標原點 此體元對舊坐標原點其平衡位置坐標為此體元對舊坐標原點其平衡位置坐標為x，在，在t 時刻的相位為時刻的

20、相位為3)(2)(2 vxtvxt 61 xx 61表明坐標原點應(yīng)沿表明坐標原點應(yīng)沿x軸正向移動軸正向移動由此得由此得 所以所以 （2）改變計時起點改變計時起點3)(2)(2 vxtvxt 由此可得由此可得表明計時起點應(yīng)向前移六分之一周期表明計時起點應(yīng)向前移六分之一周期.6Ttt 例題例題2 有一列向有一列向 x 軸軸正方向正方向傳播的平面簡諧波，它傳播的平面簡諧波，它在在t = 0時刻的波形如圖所示時刻的波形如圖所示,其波速為其波速為v =600 m/s.試寫試寫出波方程出波方程.x/my/m512.Ov= 5mA24m =2 解解原點處質(zhì)點的振動方程為原點處質(zhì)點的振動方程為 波方程為波方程

21、為 )250cos(50 ty2)600(50cos5 xty11600s25s24v-1srad 502 ( , )cos ()xxy x tAtv波沿 正方向傳播，x/my/m512.Ov10.3 10.3 波動方程與波速波動方程與波速 一、一、 波動方程波動方程 波動方程波動方程由由動力學動力學規(guī)律得到的概括振動傳播規(guī)律的方程規(guī)律得到的概括振動傳播規(guī)律的方程.以以平面橫波平面橫波為例討論為例討論 Oxyx+ x yxxFxxF 設(shè)設(shè)橫波橫波沿沿x方向傳播，方向傳播， 體元橫截面積體元橫截面積S，密度，密度 .GxySFxxdd xydd切切應(yīng)應(yīng)變變x 處，處，由由胡克定律胡克定律 ( ,

22、 )yy x t( , )xxFy x tGSxOxyx+ x yxxFxxF xx同理：處GxtxySFxxxx),( ( , )( , )xxxxxxy x ty x tFFGSxxOxyx+ x yxxFxxF 在在忽略高級無窮小量忽略高級無窮小量時時，有，有 xxtxyxtxyxtxyxxxx),(),(),(22 xGSxtxyFFxxxx),(22 又由又由牛二定理牛二定理22),(ttxymFFxxx xSm 2222xyGty 橫波的波動方程橫波的波動方程 2222xyEty 固體中固體中彈性平面縱波彈性平面縱波的波動方程：的波動方程： 彈性介質(zhì)中橫波的波動方程彈性介質(zhì)中橫波的波動方程 2222xy