2014年高考全國Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題及答案(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國）數(shù)學(xué)（理科）第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2014年全國，理1，5分】已知集合，則=（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故選A（2）【2014年全國，理2，5分】（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故選D（3）【2014年全國，理3，5分】設(shè)函數(shù)，的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）（A）是偶函數(shù) （B）是奇函數(shù) （C）是奇函數(shù) （D）是奇函數(shù)【答案】C【解析】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，為偶函

2、數(shù)，為偶函數(shù)再根據(jù)兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得為奇函數(shù)，故選C（4）【2014年全國，理4，5分】已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（ ）（A） （B）3 （C） （D）【答案】A【解析】由：，得，設(shè)，一條漸近線，即，則點到的一條漸近線的距離，故選A（5）【2014年全國，理5，5分】4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由題知，且，所以，解得，故選D（6）【2014年全國，理6，5分】如圖，圓的半徑為1，是圓

3、上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】如圖：過作于，則，,在中，故選B（7）【2014年全國，理7，5分】執(zhí)行下圖的程序框圖，若輸入的分別為1,2,3，則輸出的（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】輸入；時：；時：；時：；時：輸出，故選D（8）【2014年全國，理8，5分】設(shè)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，即，故選B（9）【2014年全國，理9，5分】不等式組的解集記為有下面四個命題：，：,：，：其中真命題

4、是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】C【解析】作出可行域如圖：設(shè)，即，當(dāng)直線過時，命題、真命題，故選C（10）【2014年全國，理10，5分】已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點， 是直線與的一個交點，若，則（ ） （A） （B） （C）3 （D）2【答案】C【解析】過作于，又， 由拋物線定義知，故選C（11）【2014年全國，理11，5分】已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且， 則的取值范圍為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】解法一：由已知，令，得或，當(dāng)時，；且，有小于零的零點，不符合題意當(dāng)時，要使有唯一的零點且，只需，即，故選B解法二：由已知，有唯一的正零

5、點，等價于有唯一的正零根，令，則問題又等價于有唯一的正零根，即與有唯一的交點且交點在在軸右側(cè)記，由，要使有唯一的正零根，只需，故選B（12）【2014年全國，理12，5分】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（ ）（A） （B） （C）6 （D）4【答案】C【解析】如圖所示，原幾何體為三棱錐，其中，故最長的棱的長度為，故選C第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分第（13）題第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答第（22）題第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）【2014年全國，

6、理13，5分】的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】展開式的通項為，的展開式中的項為，故系數(shù)為（14）【2014年全國，理14，5分】甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過、三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；乙說：我沒去過城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；由此可判斷乙去過的城市為 【答案】【解析】由乙說：我沒去過城市，則乙可能去過城市或城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過 城市，則乙只能是去過，中的任一個，再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為（15）【2014年全國，理15，5分】已知，是圓上的三點，若，則與的夾角為 【答案】【解析】，為

7、線段中點，故為的直徑，與的夾 角為（16）【2014年全國，理16，5分】已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，且，則面積的最大值為 【答案】【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：，故， 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）【2014年全國，理17，12分】已知數(shù)列的前項和為，其中為常數(shù)（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由解：（1）由題設(shè)，兩式相減，由于，所以 6分（2）由題設(shè)，可得，由（1）知假設(shè)為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，解得；證明時，為等差數(shù)列：由知：數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，令則，數(shù)列偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，

8、令則，（），因此，存在存在，使得為等差數(shù)列 12分（18）【2014年全國，理18，12分】從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分 布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為區(qū)間（187.8,212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求附：若，則，=0.9544解：（1）抽取產(chǎn)品質(zhì)量指

9、標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 6分（2）（）由（1）知，從而 9分 （）由（）知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8,212.2）的概率為0.6826依題意知，所以 12分（19）【2014年全國，理19，12分】如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值解：（1）連結(jié)，交于，連結(jié)因為側(cè)面為菱形，所以， 且為與的中點又，所以平面，故又 ，故 6分（2）因為且為的中點，所以，又因為，所以，故，從而，兩兩互相垂直 以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 因為，所以為等邊三角形又，則， ，設(shè)是平面的法向量

10、，則，即 所以可取，設(shè)是平面的法向量，則，同理可取，則，所以二面角的余弦值為 12分（20）【2014年全國，理20，12分】已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點（1）求的方程；（2）設(shè)過點的直線與相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的方程解：（1）設(shè)，由條件知，得，又，所以，故的方程 6分（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線：，設(shè)，將代入，得，當(dāng)，即時，從而，又點到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的方程為： 或 .12分（21）【2014年全國，理21，12分】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線為（1）求；（2）證明：解：（1）函數(shù)的

11、定義域為，由題意可得，故 6分（2）由（1）知，從而等價于，設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，故在單調(diào)減，在單調(diào)遞增，從而在的最小值為( 8分設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的最小值為 綜上：當(dāng)時，即 .12分請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑（22）【2014年全國，理22，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點，且 （1）證明：；（2）設(shè)不是的直徑，的中點為，且，證明：為等邊三角形 解：（1）由題設(shè)得，四點共圓，所以，又，所以 5分（2）設(shè)的中點為，連結(jié)，則由知，故在直線上，又不是的直徑，為的中點，故，即，所以，故，又，故，由（1）知，所以為等邊三角形 10分（23）【2014年全國，理23，10分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線，直線（為參數(shù)）（1）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過曲線上任意一點作與夾角為30°的直線，交于點，求的最大值與最小值解：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的普通方程為 5分（2