1導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能: 通過實驗探求和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 體會導(dǎo)數(shù)在刻畫函數(shù)性質(zhì)中的作用；體會“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。2、過程與方法： 培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力； 通過“以直代曲”思想的具體運用，使學(xué)生達到思維方式的遷移，從而達到培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，思維能力，應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的目的。3、情感態(tài)度與價值觀：滲透逼近和“以直代曲”思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知識的精神，引導(dǎo)學(xué)生從有限中認(rèn)識無限，體會量變和質(zhì)變的辯證關(guān)系，感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的意識。教學(xué)重難點及關(guān)鍵教學(xué)重點：理解和掌握切

2、線的新定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用于解決實際問題，體會數(shù)“形結(jié)合、以直代曲”的思想方法。教學(xué)難點：1)發(fā)現(xiàn)和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 2)運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋函數(shù)變化的情況和解決實際問題。關(guān)鍵：師生一同探究和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義主要教學(xué)方法及學(xué)法教法：1、為了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力以及使得不同層次的學(xué)生都能獲得相應(yīng)的滿足.因此本節(jié)課采用探究性研究教學(xué)、互動式討論、反饋式評論和啟發(fā)式小結(jié)；2、根據(jù)本節(jié)課的特點也為了給學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持，同時也為了培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，所以采用計算機輔助教學(xué)，以突出重點和突破難點；學(xué)法：自主、合作、探究教具通過多媒體（幾何畫板、幻燈片）直觀的呈

3、現(xiàn)出函數(shù)的圖像，使學(xué)生對其有豐富的感性認(rèn)識，增大教學(xué)容量與直觀性，有效提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。教 學(xué) 過 程 預(yù) 設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動（教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)）學(xué) 生 活 動（學(xué)習(xí)活動的設(shè)計）設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課1.回顧舊知、引出研究的問題：前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在該點處的瞬時變化率。那么：問：(1) 求導(dǎo)數(shù)的步驟有哪幾步? (2)觀察函數(shù)的圖象，平均變化率 在圖形中表示什么？這就是平均變化率()的幾何意義，那么瞬時變化率()在圖中又表示什么呢？今天我們就來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 生：第一步：求平均變化率；第二步：求瞬時變化率.（即，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點導(dǎo)數(shù)）生

4、：平均變化率表示的是割線的斜率.提出問題，老師引導(dǎo)學(xué)生回憶聯(lián)系本節(jié)課的舊知識，承上啟下，復(fù)習(xí)舊知，引入新課。教師板書，便于學(xué)生數(shù)形結(jié)合探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時能直接聯(lián)系此知識。同時引出本節(jié)課的研究問題導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？二、類比探討、獲得新知1.動畫類比，得到切線的新定義要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即要探究，割線的變化趨勢，看下面的動畫。多媒體顯示【動畫1】：圓上點A處的切線AT和割線AB，演示點B從右邊沿著圓逼近點A ,然后再從左邊沿著圓逼近點A ，即，割線AB的變化趨勢。（教師引導(dǎo)學(xué)生觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系呢？）把割線逼近切線

5、的結(jié)論從圓推廣到一般曲線，可得：多媒體顯示【動畫2】：動態(tài)演示（或投影）教材上點（P7）沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢圖。圖3.1-2師：類比【動畫1】，當(dāng)點沿著曲線趨近于點時，即，研究割線的變化趨勢。突破研究的難點：，割線點P處的切線，那么：，割線的斜率？與導(dǎo)數(shù)又有何關(guān)系呢？ 生：先感知后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，隨著點B沿著圓逼近點A，割線AB無限趨近于點A處的切線。學(xué)生觀察【動畫2】，類比得出一般曲線的切線定義：當(dāng)點沿著曲線逼近點時，即，割線趨近于確定的位置，這個確定位置上的直線PT稱為點P處的切線。生：切線的斜率對應(yīng)該點處的瞬時變化率，即該點處的導(dǎo)數(shù)。以求導(dǎo)數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意

6、義入手探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，抓住的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題。帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線，學(xué)生更易感知當(dāng)，割線的變化趨勢。用逼近的方法體會割線逼近切線，消除學(xué)生對極限的神秘感?？隙▽W(xué)生的研究結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生把這種由割線逼近的方法得到切線推廣到一般曲線，并由此得出割線的變化趨勢，為研究幾何意義做好鋪墊2.數(shù)形結(jié)合，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合【動畫2】的變化過程，學(xué)生思考下面的問題，探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。探究一1.已知曲線上兩點：(1)根據(jù)切線定義可知：，割線趨近于切線PT 。那么割線的斜率與切線PT的斜率又有何關(guān)系？ (2)對比“時，平均變化率趨近的確定常數(shù)就是瞬時變化

7、率”，又割線的斜率對應(yīng)平均變化率，那么切線的斜率對應(yīng)什么？2.結(jié)合上面的研究過程，你能指出導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？ PQoxyy=f(x)割線切線T 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點處的切線斜率，即： 當(dāng) 即生：切線的斜率對應(yīng)該點處的瞬時變化率，即該點處的導(dǎo)數(shù)。生：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點處的切線斜率，即：類比兩個動畫，探索一般曲線中的切線定義，讓不同程度的學(xué)生都能借助直觀的圖象感知和發(fā)現(xiàn)，得出：，割線逼近該點處的切線通過兩個思考問題：（1）先解決割線斜率與切線斜率的關(guān)系，（2）再對照平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，得出切線的斜率即對應(yīng)該點處的瞬時變化率即導(dǎo)數(shù)。探究一要求學(xué)生結(jié)合圖形直觀感知，找到聯(lián)系

8、得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。三、探索小結(jié)、重點講評1.獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義活動后，展示學(xué)生探究成果，教師重點講評：割線的斜率是,當(dāng)點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即 ，切線PT的斜率即為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率。所以，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖像在處的切線AD的斜率。師：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以解決哪些問題？2.了解以直代曲思想把點P附近函數(shù)的圖象放大，引導(dǎo)學(xué)生理解以直代曲思想是指某點附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線。師：在某點附近一個很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢有何關(guān)系？

9、如果切線的斜率為正，則該點附近曲線的增減情況怎樣？生：求切線方程。生：點P附近，曲線和該點處的切線的增減變化情況一致。如果切線的斜率為正，則該點附近曲線呈上升趨勢。借助實物投影儀，展示學(xué)習(xí)成果，學(xué)生經(jīng)歷了完整的探究過程后，教師的講評就可以有針對性和詳略，學(xué)生也可以結(jié)合自己探究的體會更好地建構(gòu)知識。突破導(dǎo)數(shù)的幾何意義這個學(xué)習(xí)重點通過將曲線一點處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現(xiàn)“以直代曲”思想。滲透用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)的增減性四、知識應(yīng)用、鞏固理解1.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1：如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖象。探究二1用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，的幾何意義，并用數(shù)學(xué)

10、語言表述出來。2變式（如圖）：請描述、比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？分析：附近：瞬時、增減、變化率，即研究函數(shù)在該點處的瞬時變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。可借助切線的變化趨勢得到導(dǎo)數(shù)的情況。生：作出曲線在這些點處的切線，在處切線平行于軸，即，說明在時刻附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒有增減；在作出切線，切線呈下降趨勢，即，函數(shù)在點附近單調(diào)遞減。曲線在附近比在附近下降得更快，則是因為。要求學(xué)生動腦(審題),動手(畫切線)，動口(討論)，體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在某點附近的單調(diào)性，滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，運用以直代曲的思想方法。問題1由具體的導(dǎo)數(shù)入手，熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何

11、意義，幫助學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系。 問題2引導(dǎo)學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)反映變化率的本質(zhì)。運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，借由切線的變化趨勢，得出切線的斜率即該點處的導(dǎo)數(shù)的情況，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性。小結(jié)：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數(shù)在該點處的瞬時變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即對應(yīng)函數(shù)的增減。作出該點處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負(fù)即導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，就可以判斷函數(shù)的增減性，體會導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。同時，結(jié)合以直代曲的思想，在某點附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數(shù)的增減性。例題變式1：函數(shù)上有一點，求該點處的導(dǎo)數(shù)，并由此解釋函數(shù)的增減情況函數(shù)在定義

12、域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。(此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)例題變式2：下圖是函數(shù)的圖象，請回答下面的問題：探究三1.請指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明。生：單調(diào)區(qū)間有：作出區(qū)間內(nèi)一系列的曲線的切線，發(fā)現(xiàn)切線呈現(xiàn)一致的上升或下降的趨勢，即切線的斜率一致為正或負(fù)，所以導(dǎo)數(shù)值在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù)，對應(yīng)函數(shù)單調(diào)遞增或遞減。引導(dǎo)優(yōu)生進一步體會導(dǎo)數(shù)用來刻畫變化情況的應(yīng)用和拓展研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減的關(guān)系。變式題復(fù)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的求法，加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減情況應(yīng)用的認(rèn)識，也是例題結(jié)論的進一步驗證。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明單調(diào)性，學(xué)生進一步感知導(dǎo)數(shù)在研究函

13、數(shù)變化情況中的應(yīng)用2.根據(jù)上題的結(jié)論，研究某點處的導(dǎo)數(shù)值、切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性之間有何關(guān)系？例1 如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時間（單位：）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。(精確到0.1)0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時變化率小結(jié)：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導(dǎo)數(shù)為正，則切線的斜率為正，切線呈上升趨勢，曲線在該點附近也是上升趨勢，函數(shù)單調(diào)增；如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則切線的斜率為負(fù)，切線呈現(xiàn)為下降趨勢，曲線在該點附近也是下降趨勢，函數(shù)單調(diào)減。例3、求拋物線 過點（1，1）的切線方程。解：

14、因為 所以拋物線 過點（1，1）的切線的斜率為2 由直線方程的點斜式，得切線方程為。練習(xí):求雙曲線過點（2，）的切線方程。生：從數(shù)的角度：導(dǎo)數(shù)正負(fù)對應(yīng)函數(shù)的增減， 從形的角度反映為切線斜率的正負(fù)對應(yīng)函數(shù)的增減。 函數(shù)的增減導(dǎo)數(shù)的正負(fù)切線的斜率的正負(fù)學(xué)生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率），進一步體會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。學(xué)生練習(xí)，歸納球切線方程的步驟進一步體會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決問題，通過小結(jié)，加深對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解。五五、練習(xí)鞏固、提升能力1、課堂導(dǎo)用P9實踐探究：第一部分實踐探究都是典型基礎(chǔ)題，它包含選擇題、解答題，題

15、目編排由淺入深，增加了鋪墊的設(shè)問，為基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生引導(dǎo)思路。這部分題目的完成與否，標(biāo)志著這節(jié)課新知識是否基本掌握。2、課堂導(dǎo)用P9達標(biāo)測評：第二部分達標(biāo)測評是基礎(chǔ)題與綜合題相結(jié)合，學(xué)生在掌握新知識應(yīng)用及規(guī)范表達的基礎(chǔ)上初步接觸變式訓(xùn)練和綜合訓(xùn)練。這組題的完成標(biāo)志著學(xué)生已達到良好的學(xué)習(xí)水平。學(xué)生根據(jù)自己的情況選作一部分或全部習(xí)題獨立完成練習(xí)學(xué)生自選和老師指導(dǎo)相結(jié)合，學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況可以選擇適合自己發(fā)展的題進行訓(xùn)練，以得到更好地發(fā)展。提倡跳躍式選題訓(xùn)練和抓住關(guān)鍵部分進行局部訓(xùn)練，使學(xué)生可以避免重復(fù)、無效的練習(xí)。通過練習(xí)及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，及時糾正，能夠?qū)W(xué)生情況給予及時評價。六六、歸納總結(jié)、深化認(rèn)識這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識和方法？學(xué)生進行開放式小結(jié)：（回顧學(xué)習(xí)的兩個知識和數(shù)學(xué)思想方法）(1) 是確定的數(shù)（靜態(tài)），是的函數(shù)（動態(tài)）由（特殊一般） （靜態(tài)動態(tài)）(2)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖象在處的切線的斜率。(3)曲線切線方程的求法與步驟數(shù)學(xué)思想方法：體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領(lǐng)