【高考沖刺】最新廣東省佛山市順德區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)及解析

1、 廣東省佛山市順德區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的. 1. （5 分）已知集合 A=x| - Kx 3 , B=x Z| x20） 域的面積為 3 時(shí)，z=2x- y 的最大值是（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 10. （ 5 分）已知三棱錐 S- ABC 的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 r 的球面上，且 SA=SB=SC=1AB=BC=AC=，則球的表面積為（ ） A. 4 甘上 n B. 3 n C. 8 n D. 12 n 2 2 11. （5 分）若圓（x-亦）2+ （

2、y- 1） 2=9 與雙曲線耳-耳=1 （a0，b0） J b2 經(jīng)過二、四象限的漸近線，交于 A，B 兩點(diǎn)且| AB| =2，則此雙曲線的離心率為 -3） ? （x-3），且關(guān)于 x 的方程 f （x） =k （k R）恰有三個(gè)互不相同的實(shí)根 X1、 X2、X3，則 X1?x2?x3取值范圍為（ ）C. 6 立方丈 D. 12 立方丈 A. B. C. 2 D.匸 12. （5 分）對(duì)于實(shí)數(shù) a、b，定義運(yùn)算？: 設(shè) f (x) A. (0, 3) B. (- 1, 0) C. ( x, 0) D. ( 3, 0) 二、 填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分). 13.

3、(5 分)若 sin (o+B) cos cos ( a+ sin =,則 cos2 B _ . 5 14. (5 分)4 名同學(xué)去參加 3 個(gè)不同的社團(tuán)組織，每名同學(xué)只能參加其中一個(gè) 社團(tuán)組織，且甲乙兩位同學(xué)不參加同一個(gè)社會(huì)團(tuán)體，則共有 _ 種結(jié)果. 15. (5 分)已知 f (x) =f (4 - x),當(dāng) x0 且滿足 an=2S- -丨(n 2 2 N*). (I)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式； (U)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Tn. 3n 18. (12 分)如圖，在三棱錐 D-ABC 中, 平面 ABC, F 為 AB 的中點(diǎn). (I)求證：平面 ABD 丄平面 DEF DA=DB=DC

4、E 為 AC 上的一點(diǎn)，DEX 面角 A-BD-C 的余弦值. 19. (12 分)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量不超過 w立方米的部分 按 4元/立方米收費(fèi)，超出 w立方米的部分按 10 元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào) 查了 100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖， 并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列， KM (I)求 a，b，c 的值及居民用水量介于 2 - 2.5 的頻數(shù)； (U)根據(jù)此次調(diào)查，為使 80%以上居民月用水價(jià)格為 4 元/立方米，應(yīng)定為多 少立方米？(精確到小數(shù)掉后 2 位) (E)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查 3 名居民的用水量，將月用水量

5、不 超過2.5 立方米的人數(shù)記為 X，求其分布列及其均值. 20. (12 分)已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率等于 ，它的 一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 /= - 4y 的焦點(diǎn). (I)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (U)若圓 O: x2+y2=r2與橢圓 C 交于 A，B，C，D 四點(diǎn)，當(dāng)半徑 r 為多少時(shí)，四 邊形 ABCD 的面積最大？并求出最大面積. 21. (12 分)設(shè)函數(shù) f (x) =xlnx ax+1, g (x) =-2x3+3/-石 x+ . (I)求函數(shù) f (x)在，e上有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍； e (U)求證：f (x) +axg (x). 選修

6、4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 22. (10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為|K_C?S ( a為參數(shù))， (y=sina 曲線 Cl經(jīng)過坐標(biāo)變換(也后得到的軌跡為曲線 C2. y 二 y (I)求 C2的極坐標(biāo)方程； (H) 在以 0 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，射線 9=與 G 的異于 6 極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A,與 C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B,求| AB| . 選修 4-5:不等式選講 23. 已知函數(shù) f (x) =|x-3| - |x+5| . (I) 求不等式 f (x) M 恒成立，求 m 的取 值范圍.2018 年廣東省佛山市順德區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

7、(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的. 1. (5 分)已知集合 A=x| - Kx 3 , B=x Z| x2 5，則 AH B=( ) A. 0, 1 B. - 1, 0, 1, 2 C. - 1, 0，1 D. - 2，- 1，0，1, 2 【解答】解：I A=x| - K x 3 , B=x Z x25 =x Z| - VxV = 2, -1, 0, 1, 2, AH B= - 1, 0, 1, 2, 故選：B. 2. (5 分)已知復(fù)數(shù)z=1 - i，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為

8、：( ) | z| =焉=1+i;z 的虛部為-i. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解答】解 z=1 - i, I z| =, | 二“，“，.，故正確； .-1】，故正確； z 的虛部為-1,故錯(cuò)誤. “正確命題的個(gè)數(shù)為 2 個(gè). 故選：C. 3. (5 分)向量 a= (1, x+1), b = (1 - x, 2),自丄 b，則(a + 匸)(自-b)=( ) A. - 15 B. 15 C.- 20 D. 20 【解答】解：向量 i= (1, x+1), = (1 - x, 2), 若 1 丄、貝 U 1? = (1 - x) +2 (x+1) =x+3=0, 解可得 x=

9、- 3, 則；=(1,- 2), b= (4, 2), (自+b) = (5, 0), ( 3 - b) = (- 3,- 4); 則(，+ ) ( - ) =- 15; 故選：A. 4. (5 分) ABC 中，tanAW5, AC=3, BC=4 貝 U AB=( ) A. 2 =- = B.二-二 C. =+ = D. 2 二+ 二 【解答】解：已知 tanA= :, 由于：OvAv n , 解得：A=, J 利用余弦定理：BCACf+AB2 - 2AC?AB?cosA 解得：AB=；E 二空-（負(fù)值舍去）. 故選：C. 5. （5 分）將一根長為 6m 的繩子剪為二段，則其中一段大于另

10、一段 為（ “-P (A)=, 故選：B. 6. （5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值是（ ）2 倍的概率 A. B. - D. 【解答】解：繩子的長度為 6m,折成兩段后，設(shè)其中一段長度為 x,則另一段 長度 6- x, 記其中一段長度大于另一段長度 2 倍為事件 A, 則 A=x| (6-i)或 =x| 0 v xv 2 或 4v x log73, 2 V5 b=log73 應(yīng),上=,a=log52v 一 匚從, 則 a, b, c 的大小關(guān)系為：av bvc. 故選：A. X-yO 9. (5 分)已知 P (x, y)為平面區(qū)域 x+y0 內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)該區(qū) arCsa+

11、l (aS0) 域的面積為 3 時(shí)，z=2x- y 的最大值是( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【解答】解：由作出可行域如圖， 由圖可得 A (a, a), D (a, a), B (a+1, a+1), C (a+1, - a- 1) 由該區(qū)域的面積為 3 時(shí)，仁 3,得 a=1. “ A (1, 1), C (2 , - 2) 化目標(biāo)函數(shù) z=2x- y 為 y=2x- z , “當(dāng) y=2x- z 過 C 點(diǎn)時(shí)，z 最大，等于 2X 2-( - 2) =6. 故選：A. 10. （ 5 分）已知三棱錐 S- ABC 的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 r 的球面上，且 SA=SB=SC

12、=1AB=BC=AC=：，則球的表面積為（ ） A. 4 吁：n B. 3 n C. 8 n D. 12 n 【解答】 解：三棱錐 S- ABC 中, SA=SB=SC=1AB=BC=AC=, “共頂點(diǎn) S 的三條棱兩兩相互垂直，且其長均為 1 , 三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，三棱錐是正方體的一個(gè)角，擴(kuò)展為正方體， 三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，正方體的對(duì)角線就是球的直徑， 所以球的直徑為：，半徑為 外接球的表面積為：4nX（） 2=3n 故選：B. 11. （5 分）若圓（x-V5） 2+ （y- 1） 2=9 與雙曲線吉-務(wù)=1 （a0，b0） a2 b2 經(jīng)過二、四象限的漸近線

13、，交于 A，B 兩點(diǎn)且| AB| =2，則此雙曲線的離心率為 （ ） A.丄 B. C. 2D. 3 2 【解答】解：依題意可知雙曲線的經(jīng)過二、四象限的漸近線方程為 bx+ay=O, |AB|=2 航，圓的圓心為（V3，1），半徑為 3， “圓心到漸近線的距離為 |=, 即二一=匚, 解得 b- a, 3 “ c= 一亠 a. 故 xi?x2?X3= - k2, k( 0, 3), 3 Xi?X2?X3 ( - 3, 0), 故選：D. “雙曲線的離心e=- a 3 故選：A. 12. （5 分）對(duì)于實(shí)數(shù) a、b,定義運(yùn)算？: a?b= bp a b 4 汽 4 設(shè) f( x) =( 2x -

14、3) ? (x- 3),且關(guān)于 x 的方程 f (x) =k （k R）恰有三個(gè)互不相同的實(shí)XI、 血、x3,則 xi ?x2?x3取值范圍為（ A. (0, 3) B. (- 1, 0) C. (-x, 0) D. (- 3, 0) 【解答】解：a?b= b-a, b2-a ab “ f (x) = (2x- 3) ? (x- 3)= -x, 其圖象如下圖所示: 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分). 4 7 13. (5 分)若 sin ( a+ cos cos ( a+ sin a=,則 cos2 B 二丄 . 5 25 【解答】 解：T sin ( a+ B

15、cos a- cos ( a B) sin a =sn ( a+ B - a =sin , 5 貝 U cos2 B = 2sin2 B = 2?=- , P 25 25 故答案為：- . 25 14. (5 分)4 名同學(xué)去參加 3 個(gè)不同的社團(tuán)組織，每名同學(xué)只能參加其中一個(gè) 社團(tuán)組織，且甲乙兩位同學(xué)不參加同一個(gè)社會(huì)團(tuán)體，則共有 54 種結(jié)果. 【解答】解：根據(jù)題意，先計(jì)算 4 名同學(xué)去參加 3 個(gè)不同的社團(tuán)組織的情況數(shù) 目, 4 個(gè)同學(xué)中每人可以在 3 個(gè)不同的社團(tuán)組織任選 1 個(gè)，即每人有 3 種不同的選法, 則 4 人有 3X 3 x 3X 3=81 種情況， 再計(jì)算甲乙參加同一個(gè)社團(tuán)

16、組織的情況數(shù)目， 若甲乙參加同一個(gè)社團(tuán)組織，甲乙兩人有 3 種情況， 剩下的 2 人每人有 3 種不同的選法，則剩下的 2 人有 3X 3=9 種情況， 則甲乙參加同一個(gè)社團(tuán)組織的情況有 3X 9=27 種； 則甲乙兩位同學(xué)不參加同一個(gè)社團(tuán)組織的情況有 81 - 27=54 種； 故答案為：54. 15. (5 分)已知 f (x) =f (4-x),當(dāng) x2 時(shí)，f (x) =ex, f (3) +f (3) = 0 【解答】解：由 f (x) =f (4-x)可得， 函數(shù) f (x)的圖象關(guān)于直線 x=2 對(duì)稱， 當(dāng) x0 且滿足 an=2S- - 1 (n (I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;

17、(U)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Tn. 【解答】 解：(I)當(dāng) n=1 時(shí)， -二-，解得 ai=1； 由 an=2S- -， 整理得-.: .!， “ “兒.-1 w：-1八:.， -( an+i +an) (an+i an - 2) =0， an 0， -an+i an 2=0，即 an-1 an=2. “數(shù)列an是以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公差的等差數(shù)列, 貝 U an=1+2 (n 1) =2n- 1； 3 32 3 2 2n-l 2 2n+2 18. （12 分）如圖，在三棱錐 D-ABC 中，DA=DB=DC E 為 AC 上的一點(diǎn)，DE1 平面ABC, F 為 AB 的中點(diǎn). 【解答

18、】 證明：（I）： DE 丄平面 ABC A AB 丄 DE, 又“ F 為 AB 的中點(diǎn)，DA=DB A AB 丄 DF, DFA DE=E 且 DF、DE?平面 DEF 又“ AB?平面 ABD, A平面 ABD 丄平面 DEF 解：（U）t DE!平面 ABC A AC 丄 DE, 又：DA=DC A E 為 AC 中點(diǎn), F 是 AB 中點(diǎn),A EF/ BC, 由（I）知 AB! EF, A AB 丄 BC, 又“/ BAC=45,AA ABC 為等腰直角三角形，AC=4, AAB=BC=DA=DB=DC=2, 取 BD 中點(diǎn) G,連結(jié) AG CQ 貝 U AG 丄 DB, CG DB

19、, AZ AGC 為二面角 A- BD-C 的平面角， 在厶 AGC 中, COSZAGC= , =- I , 2AG-CG 3 A二面角 A- BD- C 的余弦值為-.BAC=45，求二面角 A- BD-C 的余弦值. （I）求證： 平面 ABD丄平面DEF； B 19. (12 分)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量不超過 w立方米的部分 按 4 元/立方米收費(fèi)，超出 w立方米的部分按 10 元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào) 查了 100 位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖， 并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列， cis*) (I)求 a，b，c 的值及居民用水量介于

20、2 - 2.5 的頻數(shù)； (U)根據(jù)此次調(diào)查，為使 80%以上居民月用水價(jià)格為 4 元/立方米，應(yīng)定為多 少立方米？(精確到小數(shù)掉后 2 位) (E)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查 3 名居民的用水量，將月用水量不 超過 2.5立方米的人數(shù)記為 X，求其分布列及其均值. 【解答】解：(I)：前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，.“所對(duì)應(yīng)的頻率也成等差數(shù)列， 設(shè) a=0.2+d, b=0.2+2d，c=0.2+3d, 0.5 (a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1) =1， 解得 d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5. 居民月用水量介于 22.5 的頻率

21、為 0.25. 居民月用水量介于 22.5 的頻數(shù)為 0.25X100=25 人. (U)由圖可知，居民月用水量小于 2.5 的頻率為 0.7V0.8, “為使 80%以上居民月用水價(jià)格為 4 元/立方米， 應(yīng)定為3 =2.5 2.83 立方米. 0.3 (川)將頻率視為概率，設(shè) A 代表居民月用水量，由圖知： P (AW2.5) =0.7， 由題意 XB (3，0.7)， P (X=0) = =0.027, P (X=1) =-” - I , -=0.189, P (X=2) =L：=0.441, P (X=3) = 一 ；=0.343. “ X 的分布列為: X 0 1 2 3 P 0.0

22、27 0.189 0.441 0.343 XB (3，0.7)，“ E (X) =np=2.1. 20. (12 分)已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率等于 ，它的 一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 /= - 4y 的焦點(diǎn). (I)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (U)若圓 O: x2+y2=r2與橢圓 C 交于 A，B，C，D 四點(diǎn)，當(dāng)半徑 r 為多少時(shí)，四 邊形ABCD 的面積最大？并求出最大面積. 【解答】解：(I)：橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上， 它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 x2=- 4y 的焦點(diǎn)，離心率等于， 厶 2 2 “設(shè)橢圓方程為I ， a b 邁 a- 2 根據(jù)題意

23、得：* b 二 1 ， 解得：4 b2=l 芒二3 2 所以橢圓 C 的方程為； (U)設(shè) A (xo, y。)，則矩形 ABCD 的面積 S=4x0yo| 21. (12 分)設(shè)函數(shù) f (x) =xlnx ax+1, g (x) =-2x3+3/ x+. 2 4 (I)求函數(shù) f (x)在一，e上有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍； e (U)求證：f (x) +axg (x). 【解答】 解：(I)由 f (x) =xlnx-ax+仁 0，得：a=l nx+， x 問題轉(zhuǎn)化為 a=lnx+丄在，e上有 2 個(gè)不同的解， x e 令 h (x) =lnx+丨，x 1，e，則 h (x)=廠，

24、令 h (x)0，解得：x 1，令 h(x)v 0，解得：0vxv 1， 故 h (乂)在(0，1)遞減，在(1，+x)遞增， 而 h (1) =1， h (丄)=e 1， h (e) =1+ 丄v e- 1， e e 故 a 的范圍是(1，1+ ); (U)要證 f (x) +ax g (x)，只要證明 xlnx+1 g (x)， 先證 xlnx+1x，構(gòu)造函數(shù) F (x) =xInx+1 x， / F(x) =1+1 nx 1=1 nx, 2 -十丄；=一( 2) 2+1 時(shí)，(：-! ) max=1 , -Snax=4X 1=4, 此時(shí) 2 得 r2= x=1 時(shí)，F(xiàn) (x) =0,當(dāng)

25、Ovxv 1 時(shí)，F(xiàn) (x)v 0, x 1 時(shí)，F(xiàn) (x)0, 故 F (x)在0, 1遞減，在1 , +x)遞增， 故 F (x) F (1) =0,即證 xlnx+1 x,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) x=1, 再證明 x 一，+x)時(shí)，g (x) G (丄)=0,即證明 g (x)0, e 2 即儀)在(0, 1 )遞減，在(丄，1 )遞增， e e 2 x( 0,)時(shí)， (x)A ( ) =1 , 2 e e 1 2 g (x) = 6 上三：+1, x( 0,=)時(shí)，Vg (x)v 1, 又 g ( (0) = 1 v0, g ( 1 ) =10, 存在 x( 0, *),使得 g (X0)=0,且 g (乂)在(0, X0)遞減，在(X0, *) 遞增， 故 x(0,寺)時(shí)，