數(shù)學(xué)建模講座

1、加入數(shù)學(xué)建模加入數(shù)學(xué)建模 你會青春無悔你會青春無悔 你說你青春無悔包括對我的愛戀你說你青春無悔包括對我的愛戀你說歲月會改變相許終生的誓言你說歲月會改變相許終生的誓言你說親愛的道聲再見你說親愛的道聲再見轉(zhuǎn)過年輕的臉轉(zhuǎn)過年輕的臉是誰的聲音是誰的聲音唱我們的歌唱我們的歌是誰的琴弦是誰的琴弦撩我的心弦撩我的心弦. 校園名謠：青春無悔校園名謠：青春無悔 演唱：演唱： - 老狼老狼 葉蓓葉蓓 答案：一開始丙猜。如果甲乙都是黑帽子，則丙立刻知道自己是白帽子，故答案：一開始丙猜。如果甲乙都是黑帽子，則丙立刻知道自己是白帽子，故甲乙中必有白帽子。其次乙猜。如果甲是黑帽子，則乙可以知道自己是白帽甲乙中必有白帽子。

2、其次乙猜。如果甲是黑帽子，則乙可以知道自己是白帽子，故甲是白帽子。最后甲猜。他當(dāng)然知道自己是白帽子。三個人都很聰明，子，故甲是白帽子。最后甲猜。他當(dāng)然知道自己是白帽子。三個人都很聰明，不能說甲最聰明。不能說甲最聰明。 數(shù)學(xué)建模的第一步數(shù)學(xué)建模的第一步仔細(xì)閱讀仔細(xì)閱讀 理解題意理解題意(數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、空間想象能力、計算能力。）數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、空間想象能力、計算能力。）1. 測試人聰明嗎？（邏輯推理題）測試人聰明嗎？（邏輯推理題） 甲、乙、丙三人都很擅長邏輯推理。有人為了證實這一點，甲、乙、丙三人都很擅長邏輯推理。有人為了證實這一點，設(shè)置了測試辦法。他先讓三人依次坐在三把

3、椅子上，然后取出三設(shè)置了測試辦法。他先讓三人依次坐在三把椅子上，然后取出三頂白帽子，兩頂黑帽子，讓三人都過目后，給每人戴上一頂。由頂白帽子，兩頂黑帽子，讓三人都過目后，給每人戴上一頂。由于座位設(shè)置的緣故，坐在最后的丙可以看到甲、乙戴的帽子的顏于座位設(shè)置的緣故，坐在最后的丙可以看到甲、乙戴的帽子的顏色，坐在中間的乙可以看到最前面的甲所戴帽子的顏色，而坐在色，坐在中間的乙可以看到最前面的甲所戴帽子的顏色，而坐在最前面的甲則什么也看不到。在這樣安排好后，測試人先問丙，最前面的甲則什么也看不到。在這樣安排好后，測試人先問丙，是否知道自己戴的帽子的顏色，丙看看甲、乙戴的帽子，然后回是否知道自己戴的帽子的

4、顏色，丙看看甲、乙戴的帽子，然后回答說：答說：“不知道。不知道?！睖y試人又問乙同樣的問題，乙猶豫了一會兒測試人又問乙同樣的問題，乙猶豫了一會兒后，也說：后，也說：“不知道。不知道?！弊詈?，當(dāng)測試人問甲同樣的問題時，甲最后，當(dāng)測試人問甲同樣的問題時，甲正確答出了自己所戴帽子的顏色。測試人說，甲最聰明。請問，正確答出了自己所戴帽子的顏色。測試人說，甲最聰明。請問，第一，甲的帽子是什么顏色的？第二，測試人的說法有根據(jù)嗎？第一，甲的帽子是什么顏色的？第二，測試人的說法有根據(jù)嗎？【 答案及分析】答案及分析】 這個猜中的人是這樣分析的：假如我戴的是白帽子這個猜中的人是這樣分析的：假如我戴的是白帽子，另一個

5、人看見已有人戴黑帽子和白帽子時，一定會想：如果自己戴白帽另一個人看見已有人戴黑帽子和白帽子時，一定會想：如果自己戴白帽子，那第三者就會猜中是頭戴黑帽子。但第三者一直在苦想著不說話，子，那第三者就會猜中是頭戴黑帽子。但第三者一直在苦想著不說話，這說明自己戴的不是白帽子，而是黑帽子。同樣，第二人也沒有說是戴這說明自己戴的不是白帽子，而是黑帽子。同樣，第二人也沒有說是戴的黑帽子，這正好證實了自己頭上是頂黑帽子。的黑帽子，這正好證實了自己頭上是頂黑帽子。 因為三人都能看見另外因為三人都能看見另外兩人的帽子，而看不見自己的，所以這種推斷是十分合情合理的。兩人的帽子，而看不見自己的，所以這種推斷是十分合情

6、合理的。 注意觀察，認(rèn)真注意觀察，認(rèn)真思考思考，才能得出正確的結(jié)論。，才能得出正確的結(jié)論。 2、有三個人，都說自己是最聰明的人有三個人，都說自己是最聰明的人 三方爭執(zhí)不下，一位老三方爭執(zhí)不下，一位老大爺來到他們面前說：大爺來到他們面前說：“我有一個簡單的方法，你們?nèi)嗽囋?，我有一個簡單的方法，你們?nèi)嗽囋?，看看究竟誰最聰明?？纯淳烤拐l最聰明。”說完，取來了五頂帽子，三頂是黑顏色，說完，取來了五頂帽子，三頂是黑顏色，二頂是白顏色、二頂是白顏色、 等到三人仔細(xì)看過，然后讓他們?nèi)棵缮涎劬?，等到三人仔?xì)看過，然后讓他們?nèi)棵缮涎劬?，給每個人都戴上一頂黑帽子，卻把兩頂白帽子藏了起來。給每個人都戴上一頂

7、黑帽子，卻把兩頂白帽子藏了起來。 “現(xiàn)在，你們睜開眼睛，猜猜看，誰要是能猜出自己所戴的現(xiàn)在，你們睜開眼睛，猜猜看，誰要是能猜出自己所戴的是什么顏色的帽子，那他就是最聰明的人。是什么顏色的帽子，那他就是最聰明的人?！崩洗鬆斝Σ[瞇地說。老大爺笑瞇瞇地說。 三人睜眼一看，頓時傻眼了，全都冥思苦想地動起了腦筋，三人睜眼一看，頓時傻眼了，全都冥思苦想地動起了腦筋，一時也拿不定主意。一時也拿不定主意。 突然，一個小個子青年叫了起來：突然，一個小個子青年叫了起來：“我戴的我戴的是頂黑帽子。是頂黑帽子。” 他肯定是對的，然而，他是根據(jù)什么道理猜出他肯定是對的，然而，他是根據(jù)什么道理猜出來的呢？來的呢？數(shù)學(xué)建模

8、講座物質(zhì)世界和精神世界只有通過量化物質(zhì)世界和精神世界只有通過量化才能達(dá)到完善的展示才能達(dá)到完善的展示 玩具、照片 實物模型實物模型風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型第一章第一章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題” 甲乙兩地相距750 公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0 小時，從乙到甲逆水航行需50 小時，問船的速度是多少。用x表示船速，y表示水速，列出方程：

9、75050)(75030)(yxyx求解得到 x=20, y=5,答：船速每小時答：船速每小時2020公里公里航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20公里）。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :對于一個現(xiàn)實對象對象，為了一個特定目的目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律規(guī)律

10、，作出必要的簡化假設(shè)假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過程全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 的的 重重 要要 意意 義義 電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模計算機(jī)技術(shù)如虎添翼如虎添翼知識經(jīng)濟(jì)建模示例 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？1.椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一點，四腳的連線呈正方形；2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況）

11、，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；3.對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子的任何位置至少有三只腳同時著地。模型假設(shè)ABCDtABCDOx模型構(gòu)成椅腳連線為正方形ABCD(如右圖)。t 椅子繞中心點O旋轉(zhuǎn)角度f(t)A,C兩腳與地面距離之和g(t)B,D兩腳與地面距離之和 f(t), g(t) 0模型構(gòu)成由假設(shè)1，f和g都是連續(xù)函數(shù)由假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地：對任意t ，f(t)和g(t)中至少有一個為0。當(dāng)t=0時,不妨設(shè)g(t)=0,f(t)0,原題歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知f(t)和g(t)是t的連續(xù)函數(shù),對任意t, f(t) g(t)=0,且g(0

12、)=0,f(0)0。則存在t0，使f(t0)= g(t0)=0模型求解OxABCDABCDt最后，因為f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。令h(t)= f(t)-g(t),則h(0)0和h( ) 0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在t0 （0t00可知g( )0,f( )=022建模示例建模示例 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步

13、(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河_商商商商商商隨隨隨隨隨隨隨隨_商商商商商商隨隨隨隨隨隨隨隨_商商商商商商隨隨隨隨商商_商商商商隨隨隨隨商商商商商商_隨隨隨隨隨隨商商商商商商隨隨_隨隨隨隨商商商商商商隨隨隨隨隨隨_過河的解決方案過河的解決方案模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)v

14、k第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由s1=(3,3)到達(dá)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機(jī)圖圖解解法法狀態(tài)s=(x,y) 16個格點 10個 點允許決策D 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, , 易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人

15、各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 習(xí)題 模仿這一案例，作下面一題： 人帶著貓、雞、米過河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場時貓要吃雞、雞要吃米。試設(shè)計一安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995人口(億) 3

16、 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長建模示例建模示例 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型常用的計算公式kkrxx)1 (0馬爾薩斯（1788-1834）提出的指數(shù)增長模型(1798)x(t) 時刻t人口r 人口(相對)增長率(常數(shù))ttrxtxttx)()()(今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)

17、據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型 (Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：) 0,()(srsxrxrr固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是x的減函數(shù)mxrs 0)(mxr阻滯增長模型 (Logistic模型)rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xm

18、xm/2xmx txxxemmrt( )()110 tx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.2072, xm=464 專家估計模 型 檢 驗用模型預(yù)報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較/ )1980(1)1980()1980()1980()199

19、0(mxxrxxxxx實際為251.4 (百萬)5 .250)1990(x模 型 應(yīng) 用人 口 預(yù) 報用美國17901990年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù)r=0.2083, xm=457.6x(2000)=275.0 x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量)基本方法機(jī)理分析機(jī)理分析測試分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析二者結(jié)合二者結(jié)合 機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)

20、,測試分析確定模型參數(shù) 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模 的的 一一 般般 步步 驟驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用 怎怎 樣樣 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 建建 模模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人作過的模型學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人作過的模型 親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目創(chuàng)新意識看誰答得快1、某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時到達(dá)山頂并留宿。次日早8時沿同一路

21、徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點，為什么？2、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達(dá)T市車站，他的妻子駕車準(zhǔn)時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子像往常一樣駕車前來，在路上遇到他接回家時，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問他步行了多長時間？3、兩兄妹分別在離家2千米和1千米且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時放學(xué)后分別以4千米/小時和2千米/小時的速度步行回家，一小狗以6千米/小時的速度從哥哥處奔向妹妹，又從妹妹處奔向哥哥，如此往返直至回家中，問小狗奔波了多少路程？ 錄象機(jī)計數(shù)器的用途錄象機(jī)計數(shù)器的

22、用途問問題題經(jīng)試驗，一盤錄象帶從頭走到尾，時間用了183分30秒，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4580，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？ 第二章 初等模型問 題 分 析錄象機(jī)計數(shù)器的工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭主動輪壓輪計數(shù)器錄象帶錄象帶運動方向錄象帶運動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄象帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢觀 察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！模 型 假 設(shè) 錄象帶的運動速度是常數(shù) v ； 計數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn； 錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w； 空右輪盤半徑記作 r ； 時間 t=0 時讀數(shù) n=0 .建 模 目 的建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)V，k ，w ，r 為已知參數(shù)）模 型 建 立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1