隨機(jī)過程與馬爾可夫鏈習(xí)題答案

1、信息論與編碼課程習(xí)題1預(yù)備知識(shí) 概率論與馬爾可夫鏈1、 某同學(xué)下周一上午是否上課，取決于當(dāng)天情緒及天氣情況，且當(dāng)天是否下雨與心情好壞沒有關(guān)系。若下雨且心情好，則50%的可能會(huì)上課；若不下雨且心情好，則有10%的可能性不上課；若不下雨且心情不好則有40%的可能性上課；若下雨且心情不好，則有90%的可能不會(huì)上課。假設(shè)當(dāng)天下雨的概率為30%，該同學(xué)當(dāng)天心情好的概率為20%，試計(jì)算該同學(xué)周一上課的可能性是多大？分析：天氣情況用隨機(jī)變量X表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好壞用Y表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上課用隨機(jī)變量Z表示，“0”表示上課，“1”表示不上課

2、。由題意可知已知， ， ， ， ， ，即題目實(shí)際上給出了八個(gè)個(gè)條件概率和四個(gè)概率 由于X，Y相互獨(dú)立，則有 =注意：全概率公式的應(yīng)用X Y5610.20.320.10.42、已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如又表所示，且，求：1） 的分布律與數(shù)學(xué)期望2） 的分布律與數(shù)學(xué)期望3） 大于10的概率4） 由上面的例子，你是否能得到離散隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的一般表達(dá)式？包括一元和多元隨機(jī)變量函數(shù)。分析：1）2）說明：主要考慮聯(lián)合分布律與隨機(jī)變量函數(shù)分布律的關(guān)系Z167910P0.20.30.10.43）4） and so on.3、 已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，其中，為的函數(shù)，求：1） 隨機(jī)變量X小

3、于或等于5的概率2） 隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù)3） 隨機(jī)變量Y大于10的概率4） 隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望分析1）2） 假設(shè)用分別表示隨機(jī)變量X的分布函數(shù)、隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，則有： 有 3） 4）4、 已知隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，。1） 求隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望2） 求隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)3） 結(jié)合習(xí)題3，總結(jié)連續(xù)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的一般表達(dá)式，包括包括一元和多元隨機(jī)變量函數(shù)。分析：1）2）=3） and so on.P352 T2給定隨機(jī)過程,是任意實(shí)數(shù)，定義另一隨機(jī)過程試將的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)用隨機(jī)過程的一維和二位分布函數(shù)表示出來分析：由題知，是隨機(jī)過程，的

4、取值由決定，所以也是隨機(jī)過程。由題中不知道隨機(jī)過程是連續(xù)還是離散，但一定是離散隨機(jī)過程，它的樣本空間是。概率分布可以表示成如下形式01因?yàn)榈扔?的概率等于小于等于的概率（），等于0的概率等于大于的概率（）。因此有。同理，由題知所以得到10P其他P352 T3設(shè)隨機(jī)過程，其中是在區(qū)間服從均勻分布的隨機(jī)變量。試求的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。分析：是隨機(jī)變量，是普通變量，所以是隨機(jī)過程。由題知的概率密度函數(shù)為因?yàn)殡S機(jī)過程可以看作是隨機(jī)變量的函數(shù)，因此有注意才是隨機(jī)變量，不是我們習(xí)慣的。注意理解其本質(zhì)意義，否則換個(gè)符號(hào)表示就會(huì)難倒你。P353 T9是互不相關(guān)的隨機(jī)過程。，其中是普通函數(shù)。求的均值函數(shù)和自相

5、關(guān)函數(shù)。分析：1因?yàn)閿?shù)學(xué)期望運(yùn)算只對(duì)隨機(jī)變量和隨機(jī)過程起作用，對(duì)普通函數(shù)、普通變量和常量不起作用。（為什么？）。所以分析2因?yàn)橄嗷オ?dú)立，則其在任何時(shí)刻對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量之間也相互獨(dú)立，即。則有所以二、馬爾科夫鏈P374 T5、設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為，初始分布為，轉(zhuǎn)移概率矩陣為(1) 計(jì)算(2) 證明(3) 計(jì)算(4) 計(jì)算（1）分析：由于馬氏鏈的遺忘特性。所以由于只給出了一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，則應(yīng)將馬氏鏈改為齊次馬氏鏈為宜。(2)分析：(3)分析：隨機(jī)過程在0時(shí)刻處于狀態(tài)1的條件下，2時(shí)刻轉(zhuǎn)移到2狀態(tài)的概率。即二步轉(zhuǎn)移概率矩陣的第1行第2列。所以4） 分析P375 T10 設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，。試證明此鏈具有遍歷性，并求其平穩(wěn)分布分析:1）因?yàn)榧创嬖趍=2使得m步轉(zhuǎn)移概率中每一項(xiàng)都大于0，因此該馬氏鏈具有遍歷性。2） 設(shè)平穩(wěn)分布為則有及計(jì)算可得，表達(dá)形式不唯一。獎(jiǎng)勵(lì)加分題：1、