高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)資料53 平面向量的數(shù)量積

1、§5.3 平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為（ ）A.B.C.D.答案 C2.（2009·宜昌調(diào)研）在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)=a，=c，=b，則a·b+b·c+c·a等于（ ）A.1.5B.-1.5C. 0.5D.-0.5答案 C3.向量a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),則|a-b|的值是 ( )A.1B.C.D.答案 D4.已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),則a(b·c)

2、為（ ）A.34B.(34,-68)C.-68D.(-34,68)答案B5.(2008· 浙江理,9)已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值是（ ）A.1B.2 C. D.答案 C例1 已知向量a=b=且x.（1）求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.解 （1）a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b= |a+b|=x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x

3、-2cosx-1=2,cosx1,當(dāng)cosx=時(shí)，f(x)取得最小值為-；當(dāng)cosx=1時(shí)，f(x)取得最大值為-1. 例2 已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求證：a+b與a-b互相垂直；（2）若ka+b與a-kb的模相等，求-.(其中k為非零實(shí)數(shù))（1）證明 (a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b與a-b互相垂直.（2）解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),=,又k0, cos()=0.而0,-=.例3 （12

4、分）設(shè)兩個(gè)向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1與e2的夾角為,若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍.解 由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，得0, 3分即(2te1+7e2)·(e1+te2)0,化簡(jiǎn)即得：2t2+15t+70,解得-7t-, 6分當(dāng)夾角為時(shí)，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)0,但此時(shí)夾角不是鈍角，2te1+7e2與e1+te2反向. 8分設(shè)2te1+7e2=(e1+te2),0,可求得， 11分所求實(shí)數(shù)t的范圍是. 12分1.向量a=(cos23°,cos67°),向量b

5、=(cos68°,cos22°).(1)求a·b；（2）若向量b與向量m共線，u=a+m,求u的模的最小值.解 （1）a·b=cos23°·cos68°+cos67°·cos22°=cos23°·sin22°+sin23°·cos22°=sin45°=.（2）由向量b與向量m共線，得m=b(R），u=a+m=a+b=(cos23°+cos68°,cos67°+cos22°)=（cos23

6、°+sin22°，sin23°+cos22°），|u|2=(cos23°+sin22°)2+(sin23°+cos22°)2=2+1= +，當(dāng)=-時(shí)，|u|有最小值為.2.已知平面向量a=,b=(-,-1).(1)證明：ab;(2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy，試把k表示為t的函數(shù).(1)證明 a·b=·=×(-)+×(-1)=0,ab.(2)解 xy,x·y=0, 即a+(t2-2)b·（-ka+t2

7、b）=0.展開得-ka2+t2-k(t2-2)a·b+t2(t2-2)b2=0,a·b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2(t2-2)=0,k=f(t)=4t2(t2-2).3.設(shè)a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，且a與b具有關(guān)系|ka+b|=|a-kb|(k0).（1）用k表示a·b；（2）求a·b的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角.解 （1）|ka+b|=|a-kb|，(ka+b)2=3(a-kb)2，且|a|=|b|=1，即k2+1+2ka·b=3(1+k2-2ka·b)，4ka·b=k

8、2+1.a·b=(k0）.（2）由（1）知：k0a·b=·2· =.a·b的最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立)設(shè)a、b的夾角為，此時(shí)cos=.0,=.故a·b的最小值為，此時(shí)向量a與b的夾角為.一、選擇題1.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·=·=·，則點(diǎn)O是ABC的（ ）A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高線的交點(diǎn)答案 D2.（2009·河南新鄭二中模擬）在平行四邊形ABCD中，=（1，2），=（-3，2），則·等于（ ）A.

9、-3B.-2 C.2D.3答案D3.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,則a與b的夾角為（ ）A.B.C.D.答案 C4.若a與b-c都是非零向量，則“a·b=a·c”是“a（b-c）”的（ ） A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 C5.已知a，b是非零向量，且滿足（a-2b）a，（b-2a）b，則a與b的夾角是（ ）A.B.C.D.答案 B6.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,則向量a與b的夾角為 ( )A.30° B.60° C.120°D.150&#

10、176;答案C二、填空題7.（2008·天津理，14）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，=（1，2），=（-3，2），則·= .答案 38.（2008· 江西理，13）直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，2）、B（3，-2）、C（9，7），若E、F為線段BC的三等分點(diǎn)，則·= .答案 22三、解答題9.已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°.(1)求證：（a-b）c;(2)若|ka+b+c|1 (kR)，求k的取值范圍.（1）證明 （a-b）·c=a·c-b·c=|a|·|c|

11、83;cos120°-|b|·|c|·cos120°=0,（a-b）c.（2）解 |ka+b+c|1|ka+b+c|21k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c1.|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c的夾角均為120°,a2=b2=c2=1，a·b=b·c=a·c=-，k2+1-2k1,即k2-2k0,k2或k0.10.已知a=,且.（1）求的最值；（2）若|ka+b|=|a-kb| (kR),求k的取值范圍.解 （1）a·b=-sin·sin+c

12、os·cos=cos2，|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2+2cos2=4cos2.，cos，|a+b|=2cos.= =cos-.令t=cos,則t1,=1+0,t-在t上為增函數(shù).-t-，即所求式子的最大值為，最小值為-.（2）由題設(shè)可得|ka+b|2=3|a-kb|2,(ka+b)2=3(a-kb)2又|a|=|b|=1,a·b=cos2，cos2=.由，得-cos21.-1.解得k2-，2+-1.11.設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.解 由|m|=1，|n|=1，夾角為60°，得m·n=.則有|a|=|2m+n|=.|b|=.而a·b=（2m+n）·（2n-3m）=m·n-，設(shè)a與b的夾角為，則cos=-.故a，b夾角為120°.12.已知向量a=,x.若函數(shù)f(x)=a·b-|a+b|的最小值為-，求實(shí)數(shù)的值. 解 |a|=1，|b|=1，x，a·b=coscos-sinsin=cos2x，