高中數(shù)列方法與解題技巧學(xué)生版

1、高中數(shù)列方法與解題技巧一、數(shù)列求通項的10種方法二、數(shù)列求和的7種方法三、6道高考數(shù)列大題數(shù)列求通項的10種方法一、公式法例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：等式兩邊同時除以 ，構(gòu)造成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列公式求解。形式： 項系數(shù)與后面所加項底數(shù)相同二、累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法： 將上述各式累加，中間式子首尾項相抵可求得 形式：； 要求、的系數(shù)均為1，對于不為1時，需除以系數(shù)化為1。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：同例2例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：等式的兩邊同除以3，將 系數(shù)化為1，再用累加法。三、累乘法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通

2、項公式.。方法： 將上述各式累乘，消除中間各項，可求得形式：； 的關(guān)于n的倍數(shù)關(guān)系。例6 已知數(shù)列滿足，求的通項公式.方法：本題與例5不同之處是想要通過錯位相減法，求出 的遞推關(guān)系，然后才能用累成法求。四、待定系數(shù)法（X,Y,Z法）例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：構(gòu)造數(shù)列。形式： 例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：構(gòu)造數(shù)列 ，本題中遞推關(guān)系中含常數(shù)4，對于常數(shù)項，可看成是 。對于不同形式的n要設(shè)不同的參數(shù)。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：同例8，但它的參數(shù)要設(shè)3個。五、對數(shù)變換法例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：等式兩邊同取對數(shù)得到 ，然后可利用待

3、定系數(shù)法或者累加法求之。形式： ,其中對與的高次方特別有效。六、迭代法例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：按照數(shù)列對應(yīng)函數(shù)關(guān)系，由 逐層加上去，直到推到 為止。形式： 七、數(shù)學(xué)歸納法例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：演算 的前4項，猜測、發(fā)現(xiàn)項數(shù)n與項值之間的關(guān)系，然后證明猜測的正確性。形式：對于形式比較繁復(fù)，無從下手時，可以考慮用數(shù)歸法去大膽猜測。八、換元法例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：令 ，可將數(shù)列遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列 的遞推關(guān)系。從而去掉 ，實現(xiàn)有理化或者整式化。形式： 九、不動點法例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：求函數(shù) ，兩個自變量與對

4、應(yīng)函數(shù)相等時的值，解得 。即存在k使得 ，由此可構(gòu)成新的等比數(shù)列 形式： ，且對應(yīng)函數(shù)有兩個不同的解。例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.方法：本題對應(yīng)函數(shù)的解相等，為1，所以不能用不動點法，只能才用數(shù)歸法做。十、階差法（逐項相減法） 例16 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.方法：由 推出 的遞推關(guān)系，然后再求數(shù)列的通項。形式： 練習(xí) 已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外

5、，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項和.例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：例4 求數(shù)列前n項的和.三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法

6、，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例5 求證：例6 求的值四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項和：，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和. 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項和.例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項

7、的和.例11 求證： 六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.例13 數(shù)列an：，求S2002.例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.例16 已知數(shù)列an：

8、的值.四川高考理科數(shù)學(xué)試題2008年-2013年數(shù)列解答題設(shè)數(shù)列的前項和為，已知（）證明：當(dāng)時，是等比數(shù)列；（）求的通項公式設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Sn.設(shè)為非零實數(shù)，(1)寫出并判斷