高中數(shù)學(xué)常用公式與證明專題

1、高中數(shù)學(xué)常用公式與證明專題本專題由北京大學(xué)教材研究所審定 依據(jù)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)編寫1.不等式的基本性質(zhì)： （1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：， （3）可加性：（4）加法：，（5）保號(hào)性：，；（6）乘法：，（7）乘方：（N*）（8）開方：（nN*）2.均值不等式定理： （1）四種形式：整式形式：，（，R，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)） （，R，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）根式形式： ，R+，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào))分式形式：（），（）倒數(shù)形式：若，則；若，則.（2）推廣：（a1，a2，an均為正數(shù)）（3）極值定理：“和定積大”、“積定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、湊）已知x、y都是正數(shù)，則有：若積xy是定值p

2、，則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值；若和x+y是定值s，則當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值.3.常用不等式：（1）不等式鏈：（、均為正數(shù)）（2）柯西不等式：4.含絕對(duì)值不等式： （1）絕對(duì)值的幾何意義；（2）性質(zhì)：|a|-|b|a+b|a|+|b|.（3）推論：|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an| |a|-|b|a-b|a|+|b|等號(hào)成立的條件：|a+b|=|a|+|b|ab0|a-b|=|a|+|b|ab0|a|-|b|=|a+b|(a+b)b0|a|-|b|=|a-b|(a+b)b05.不等式的證明方法： （1）比較法：作差、作商（2）綜合法：利用已知或已證的不等式、定理、性質(zhì)（3）分析法

3、（4）換元法：三角換元、代數(shù)換元（5）構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)、向量、斜率、復(fù)數(shù)、數(shù)列、距離、定比分點(diǎn)、圖形等（6）反證法（7）放縮法（8）判別式法：（9）數(shù)學(xué)歸納法6.不等式的解法：（1）一元二次不等式ax2+bx+c0（或0）（a0）.（結(jié)合圖象求解集）如果a與ax2+bx+c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2+bx+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.x1xx2 （x-x1）（x-x2）0；xx2 （x-x1）（x-x2）0.（2）簡(jiǎn)單的高次不等式：（x-x1）（x-x2）（x-xn）0時(shí)，|x|ax2a2xa或x0 |x|ax2a2 -a xa (x-a)(x

4、+a)cx+d：分類討論（7）|ax+b|cx+d|：兩邊平方（8）m|ax+b|n：分類討論或直接去絕對(duì)值（9）|ax+b|+|cx+d|1， 則，若0a1，則.若0a0或0或0）Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是.（3）圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）（4）圓的直徑式方程： （4種證法）（圓的直徑的端點(diǎn)是、）21.圓系方程：（1）過直線l：Ax+By+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0，是待定系數(shù)（2）共交點(diǎn)圓系：過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y

5、+F2=0的交點(diǎn)的圓方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圓C2），其中1是待定系數(shù)特別的，當(dāng)=1時(shí)，（D1D2）x+（E1E2）y+（F1F2）=0為兩圓公共弦所在的直線方程.（要求：兩圓必須相交?。?2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P（x0，y0）、圓C：，d=|PC|，則：dr點(diǎn)P在圓外；d=r點(diǎn)P在圓上；dr相離0；d=r相切=0；d0.其中，表示由直線方程和圓方程聯(lián)立得到的二次方程的判別式.注：（1）當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d+r，最小距離為d-r.（2）當(dāng)直線與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)l，弦心距d，半徑r滿足：.24.弦長(zhǎng)公式：若直線

6、與二次曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則由二次曲線方程和聯(lián)立可得，則知直線與二次曲線所截得的弦長(zhǎng)|AB|.25.兩圓的位置關(guān)系：（1）代數(shù)法：由兩個(gè)圓的方程組成二元二次方程組，若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解（或只有一組實(shí)數(shù)解），則兩圓相切；若方程組沒有實(shí)數(shù)解，則兩圓相離或內(nèi)含.（2）幾何法：設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，|O1O2|=d，則：兩圓相離 dr1+r2 4條公切線；兩圓外切 d=r1+r2 3條公切線；兩圓相交|r1-r2|dr1+r22條公切線；兩圓內(nèi)切 d=|r1-r2| 1條公切線；兩圓內(nèi)含 0d|F1F2|0）.注意：若2a=|

7、F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是線段；若2a0，b0，c0）范 圍|x|a，|y|b|x|b，|y|a焦 點(diǎn)（c，0）（0，c）頂 點(diǎn)（a，0），（0，b）（0，a），（b，0）對(duì) 稱 性對(duì)稱軸：x軸、y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)離 心 率準(zhǔn) 線焦 距2c半 焦 距c長(zhǎng) 軸 長(zhǎng)2a長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a短 軸 長(zhǎng)2b短半軸長(zhǎng)b（1）幾個(gè)“不變”的量：中心到準(zhǔn)線的距離為，兩準(zhǔn)線間的距離為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)到相對(duì)準(zhǔn)線的距離為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)到相對(duì)準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為，焦點(diǎn)到相對(duì)頂點(diǎn)的距離為.（2）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧：在未知焦點(diǎn)落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)可設(shè)方程為.（3）橢圓的參數(shù)

8、方程：（掌握推導(dǎo)方法）：（為參數(shù)）：（為參數(shù)）說明：參數(shù)叫做橢圓的離心角，橢圓上點(diǎn)P的離心角與直線OP的傾斜角不同，且.xyPF2F132.（1）在橢圓的焦三角形F1PF2中，xF2yBAF1設(shè)F1PF2=，則：面積；周長(zhǎng)C=2a+2c.（2）橢圓中，AB過點(diǎn)焦點(diǎn)F1，則ABF2的周長(zhǎng)等于4a.（3）在橢圓的焦三角形F1PF2中，張角當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)最大.（4）橢圓中過長(zhǎng)軸端點(diǎn)的最大弦為長(zhǎng)軸；過短軸端點(diǎn)的最大弦的情況為：當(dāng)離心率，即時(shí)，長(zhǎng)為，當(dāng)離心率，即時(shí)，長(zhǎng)為短軸長(zhǎng).33.橢圓的焦半徑公式：，其中F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，P（x0，y0）.特別的，（1）橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到某一焦

9、點(diǎn)F的距離d=|PF|有：|PF|max=a+c，|PF|min=a-c（即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)）.（2）橢圓的通徑等于（通徑：過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的焦點(diǎn)弦）（3）過橢圓左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則，過右焦點(diǎn)的弦.34.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P（x0，y0），橢圓C：（1）點(diǎn)P在橢圓C內(nèi).（2）點(diǎn)P在橢圓C上.（3）點(diǎn)P在橢圓C外.35.橢圓系：（1）具有相同離心率的標(biāo)準(zhǔn)橢圓系的方程為或.（2）共焦點(diǎn)的橢圓系的方程為，c為半焦距）.36.直線與橢圓的位置關(guān)系： 直線l的方程：y=kx+b，橢圓C的方程：.由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消y（以此為例），得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程Ax2+B

10、x+C=0，其判別式為. （1）直線與橢圓相交0.（2）直線與橢圓相切=0.（3）直線與橢圓相離0.特別的，相交時(shí)，若題中提到中點(diǎn)，可設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減，整理可得一個(gè)既有直線斜率又有中點(diǎn)坐標(biāo)的式子.此“點(diǎn)差法”很巧妙！ 附：橢圓的切線方程：（1）橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程是.（2）過橢圓外一點(diǎn)P（x0，y0）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）橢圓與直線相切的條件是.37.雙曲線的定義：（1）第一定義（距離定義）：| |MF1|-|MF2| |=2a（02a|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡不表示任何圖形.（2）第二定義（比值定義）：，其中表示點(diǎn)M到定直線的距離.38.

11、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程圖 形F1F2yxOxyF1F2a、b、c的關(guān)系c2=a2+b2（a0，b0，c0）范 圍|x|a，yR|y|a，xR焦 點(diǎn)（c，0）（0，c）頂 點(diǎn)（a，0）（0，a）對(duì) 稱 性對(duì)稱軸：x軸、y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)離 心 率準(zhǔn) 線漸 近 線焦 距2c半 焦 距c實(shí) 軸 長(zhǎng)2a實(shí)半軸長(zhǎng)a虛 軸 長(zhǎng)2b虛半軸長(zhǎng)b（1）幾個(gè)“不變”的量：中心到準(zhǔn)線的距離為，兩準(zhǔn)線間的距離為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)到相對(duì)準(zhǔn)線的距離為，頂點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，頂點(diǎn)到相對(duì)準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為，焦點(diǎn)到相對(duì)頂點(diǎn)的距離為.（2）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的技巧：在未知焦點(diǎn)落在哪

12、個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)可設(shè)方程為或. 39.（1）在雙曲線的焦三角形F1PF2中，F(xiàn)1PF2=，則面積. （2）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為b.40.雙曲線的焦半徑公式：（掌握推導(dǎo)過程）（1）若點(diǎn)P在右支上，則，；（2）若點(diǎn)P在左支上，則，.其中F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，P（x0，y0）.特別的，雙曲線的通徑等于.41.點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系：點(diǎn)P（x0，y0），雙曲線C：（1）點(diǎn)P在雙曲線C內(nèi).（2）點(diǎn)P在雙曲線C上.（3）點(diǎn)P在雙曲線C外.42.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系：（1）若雙曲線方程為，則漸近線方程為，即.（2）若漸近線方程為，即，則雙曲線方程可設(shè)為.43.特殊雙曲線： （1）等

13、軸雙曲線：實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線，即，. 性質(zhì)：兩條漸近線方程為且互相垂直；.（2）共軛雙曲線：有相同的漸近線且焦點(diǎn)不在同一坐標(biāo)軸上的雙曲線.即與.若設(shè)它們的離心率分別為、，則且.共軛雙曲線有相等的焦距，四個(gè)焦點(diǎn)共圓.44.雙曲線系：（重點(diǎn)掌握方法、思路）（1）具有相同焦點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線系的方程為 .（2）與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為.（3）若雙曲線與有相同的漸近線，則可設(shè)為.（4）若雙曲線與有相同的離心率，則可設(shè)為或兩種情形.45.直線與雙曲線的位置關(guān)系： 直線l的方程：y=kx+b，雙曲線C的方程：. 由直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消y（以此為例），得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程Ax2+Bx+

14、C=0，其判別式為. （1）直線與雙曲線相交0.（2）直線與雙曲線相切=0.（3）直線與雙曲線相離時(shí)，直線l只與雙曲線的一支相交，交點(diǎn)有兩個(gè)；如圖（3），0.（2）直線與拋物線相切=0.（3）直線與拋物線相離0.注意：方程組消元后可能出現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)為0的方程，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是相切，而是直線與拋物線的對(duì)稱軸平行.特別的，相交時(shí)，若題中提到中點(diǎn)，可設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，兩式相減，整理可得一個(gè)既有直線斜率又有中點(diǎn)坐標(biāo)的式子. （“點(diǎn)差法”）涉及直線與拋物線的有關(guān)問題求解時(shí)，一要注意直線斜率是否存在，并分類討論解決；二要注意焦半徑公式和韋達(dá)定理的應(yīng)用.附：拋物線的切線方

15、程（1）拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是.51.圓錐曲線的對(duì)稱問題：（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是.（2）二次曲線以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為.（3）二次曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是.52.幾個(gè)定值： （1）橢圓：橢圓上不與坐標(biāo)軸平行的弦的斜率與該弦中點(diǎn)和橢圓中心連線的斜率之積為定值，若焦點(diǎn)在y軸上，則定值為；橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)連線斜率乘積是定值，若焦點(diǎn)在y軸上，則定值為；橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓短軸的兩端點(diǎn)連線斜率乘積是定值，若焦點(diǎn)在y軸上，則定值為；（2）雙曲線：雙曲線上不與坐標(biāo)軸平行的弦的斜率

16、與該弦中點(diǎn)和雙曲線中心連線的斜率之積為定值，若焦點(diǎn)在y軸上，則定值為；雙曲線上任意一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）與左、右兩個(gè)頂點(diǎn)的連線的斜率乘積是定值，若焦點(diǎn)在y軸上，則定值為；雙曲線上任一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）與兩頂點(diǎn)A、B的連線交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|OM|ON|=，若焦點(diǎn)在y軸上，則|OM|ON|=；M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若PM、PN斜率都存在，則它們的斜率之積為定值，若焦點(diǎn)在y軸上，則定值為.（3）拋物線：拋物線有，其中、為A、B的縱坐標(biāo).53.曲線A+B=C表示哪些曲線？ 在待定系數(shù)A、B、C滿足一定的條件下，曲線可以表示點(diǎn)、直線、圓、橢圓、雙曲線.54.求軌跡方程（或軌跡）的常用方法：（1）直接法：由題設(shè)所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替此等式，化簡(jiǎn)得曲線得方程，即.（2）定義法（待定系數(shù)法）：利用所學(xué)過的直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的定義直接寫出所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：若動(dòng)點(diǎn)P隨已知曲線上的