【數(shù)學(xué)】221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件2（人教A版選修2-1）

1、第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程2.2.1 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 在生活中，還有另外一種曲線比較常在生活中，還有另外一種曲線比較常見，例如見，例如引引 言言數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 實實 驗驗先回憶圓的畫法：平面內(nèi)，到定先回憶圓的畫法：平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡就點的距離等于定長的點的軌跡就是圓是圓.如果把這一個定點分裂成兩個定如果把這一個定點分裂成兩個定點，會畫出什么圖形呢？點，會畫出什么圖形呢？數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 實實 驗驗1.取一條定長的細(xì)繩；取一條定長的細(xì)繩；2.把它的兩端固定在圖紙上的兩點把它的兩端固定在圖紙上的兩點F1、F2；3.用鉛筆尖（用鉛筆尖（M）把細(xì)

2、繩拉緊，在圖紙上慢慢）把細(xì)繩拉緊，在圖紙上慢慢移動，看看能畫出什么圖形？移動，看看能畫出什么圖形？請同學(xué)們按照下列操作，動手請同學(xué)們按照下列操作，動手畫一畫：畫一畫：1.在畫橢圓的過程中，細(xì)繩的兩端的位置在畫橢圓的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運動的？是固定的還是運動的？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？有？說明了什么？3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？距離大小有怎樣的關(guān)系？數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 觀觀 察察思考思考： 結(jié)合實驗，請同學(xué)們思考：橢圓結(jié)合實驗，請同學(xué)們思考：橢圓是怎樣定義的

3、？是怎樣定義的？數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 歸歸 納納橢圓定義：橢圓定義： 我們把平面內(nèi)與兩個定點我們把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和的距離之和等于常數(shù)（大于等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫）的點的軌跡叫橢圓橢圓.兩個定點兩個定點F1、F2叫做橢圓的叫做橢圓的焦點焦點.兩焦點之間的距離叫做兩焦點之間的距離叫做焦距焦距.數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 推推 理理根據(jù)橢圓的定義如何求根據(jù)橢圓的定義如何求橢圓的方程呢？橢圓的方程呢？先來回憶：求曲線的方程的基本步驟先來回憶：求曲線的方程的基本步驟（1）建系設(shè)點）建系設(shè)點;（2）寫出點集；）寫出點集；（3）列出方程；）列出方程；（4）化簡方程；）化簡方程；（5）檢驗）檢驗第

4、一步：第一步： 如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系呢？如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系呢？ 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 推推 理理想一想：圓的最簡單的標(biāo)準(zhǔn)方程，是以想一想：圓的最簡單的標(biāo)準(zhǔn)方程，是以圓的兩條相互垂直的對稱軸為坐標(biāo)軸，圓的兩條相互垂直的對稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓是否可以采用類似的方法呢？橢圓是否可以采用類似的方法呢？OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 推推 理理 設(shè)設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的兩個焦點分是橢圓上任意一點，橢圓的兩個焦點分 別為別為F1和和F2，橢圓的焦距為，橢圓的焦距為2c(c0)，M與與F1和和F2 的的距離的和等于距離的和等于2a (2a2c0) 請同學(xué)們自己完成

5、剩下的步驟，求出請同學(xué)們自己完成剩下的步驟，求出橢圓的方程橢圓的方程.解：以焦點解：以焦點F1、F2的所在直線為的所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂的垂直平分線為直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖如圖). 設(shè)設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一是橢圓上任意一點，橢圓的焦距點，橢圓的焦距2c(c0)，M與與F1和和F2的距離的和等于正的距離的和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0yaMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222所以由橢圓

6、的定義得由橢圓的定義得：因為因為數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 推推 理理方案一方案一122222cayax整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 推推 理理，得：兩邊同除以)(222caa).0( 12222babyax所以橢圓的方程為),0(-=222bacab所以令數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 推推 理理1F2FxyOP的線段么？、找出表示請看圖片：你能從圖中22-cacaac22ca ).0( 1=+2222ba

7、bxay為到橢圓的方程類似的由方案二可以得叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也把形如)0( 1=+. 22222babxay()叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把形如01=+. 12222babyax它表示焦點在它表示焦點在y軸上的橢圓軸上的橢圓它表示焦點在它表示焦點在x軸上的橢圓軸上的橢圓1oFyx2FM1 12 2yoFFMx數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 歸歸 納納橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特征呢？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是的平方和，右邊是1;（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c滿足滿足a2=b2+c2（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

8、方程中，x2與與y2的分母哪一個大，的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上則焦點在哪一個軸上;數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 歸歸 納納例例1 1 已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0), 并且經(jīng)過點并且經(jīng)過點 .求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .53( ,)22 解解: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設(shè)所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221 (0).xyabab由橢圓的定義知由橢圓的定義知222253532(2)()(2)()2 102222a 例例 題題 演演 練練例例 題題 演演 練練又因為又因為 , ,所以所以2c 因此因此, , 所求

9、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為221 .106xy2221046.bac所以所以10.a 思考？能用其他方法求它的方程么？思考？能用其他方法求它的方程么？解法二解法二: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設(shè)它所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :22221 (0).xyabab2c224ab 22532222( )()1ab 又又由由已已知知聯(lián)立聯(lián)立,22106ab解解得得，因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :221 .106xy( 2,0),(2,0) 又又焦點的坐標(biāo)為焦點的坐標(biāo)為例例 題題 演演 練練 1.已知已知F1、F2是橢圓是橢圓

10、的兩個焦點，的兩個焦點，過過F1的直線交橢圓于的直線交橢圓于M、N兩點，則三角形兩點，則三角形MNF2的周長為的周長為 . 192522yx課課 堂堂 練練 習(xí)習(xí)202.2.已知橢圓的兩個焦點分別是已知橢圓的兩個焦點分別是F F1 1( (2,0)2,0)、F F2 2(2,0),(2,0),且過且過P(2,3)P(2,3)點，求橢圓的方程點，求橢圓的方程 . 2211 61 2xyyoF1F2MxN0 12222babyax0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的之間的關(guān)系關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義1 12