第七章微分方程

1、第七章 微分方程函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系可以對客觀事物的規(guī)律進(jìn)行研究。但在多數(shù)情況下，無法直接找到要研究的問題所需的函數(shù)關(guān)系，卻比較容易建立起該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程。再通過解這種方程，就可得到該函數(shù)關(guān)系。微分方程是一門獨立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的理論體系。目前已廣泛的應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)、人口科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等各個領(lǐng)域,已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的重要手段。本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種常用的微分方程的解法。第一節(jié) 微分方程的基本概念一 引例下面通過幾個實例來說明微分方程的基本概念。 例1 一曲線y=y(x)通過點(1, 2), 且

2、在該曲線上任一點M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知, . (1)且y=y(x)滿足下列條件: x=1時, y=2, (2)把(1)式兩端積分, 得 , 即y=x2+C, (3)其中C是任意常數(shù). 把條件（2）代入(3)式, 得2=12+C,由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲線方程 y=x2+1. （4） 例2 列車在水平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛; 當(dāng)制動時列車獲得加速度-0.4m/s2. 問開始制動后多少時間列車才能停住, 以及列車在這段時間里行駛了多少路程? 解 設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米. 根

3、據(jù)題意, 反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 . (5)此外, 未知函數(shù)s=s(t)還應(yīng)滿足下列條件: t=0時, s=0, . (6)把(5)式兩端積分一次, 得 ; (7)再積分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2, (8)這里C1, C2都是任意常數(shù). 把條件t=0，v=20代入(7)得20=C1;把條件t=0，s=0代入(8)得0=C2.把C1, C2的值代入(7)及(8)式得 v=-0.4t +20, (9) s=-0.2t2+20t. (10)在(9)式中令v=0, 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間(s).再把t=50代入(10), 得到列車在制

4、動階段行駛的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).上面的兩個例子，盡管實際意義不相同，但解決問題的方法，都是歸結(jié)為首先建立一個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，然后通過所建立的方程，求出滿足所給的附加條件的未知函數(shù)這就是所謂的微分方程及其解微分方程。下面我們來介紹有關(guān)微分方程的一些基本概念。 二 微分方程的基本概念1微分方程及其階的概念: 一般的，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）與自變量之間的關(guān)系的方程, 叫微分方程（簡稱方程）.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程叫常微分方程.如例1中的方程（1）和例2中的方程（5）都是常微分方程。未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程叫偏微

5、分方程.本章只介紹常微分方程(以后未特殊說明常微分方程都簡稱為微分方程). 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. 例如方程（1）是一階微分方程，方程（5）是二階微分方程。一般的，n階微分方程表示為: F(x, y, y¢, × × × , y(n) )=0 或y(n)=f(x, y, y¢, × × × , y(n-1) ) 2 微分方程的解與通解 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解. 確切地說, 設(shè)函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

6、如果在區(qū)間I上, Fx, j(x), j¢(x), × × ×, j(n) (x)=0那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × × ×, y(n) )=0在區(qū)間I上的解. 如果微分方程的解中含有任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,又這些任意常數(shù)不能合并而減少個數(shù)， 這樣的解叫做微分方程的通解. 如例1中（3）式是方程（1）的通解；例2中（8）式是（5）的通解。3初始條件與特解: 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱為初始條件. 如例1中的（2）式；例2中的（6）式。一般寫成, .確定

7、了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解.要從通解中確定任意常數(shù)得到特解，需要有與任意常數(shù)個數(shù)相同的初始條件。 4初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題. 如求微分方程y¢=f(x, y)滿足初始條件的解的問題, 記為.5微分方程解的幾何意義微分方程的解的圖形是一條曲線, 叫做微分方程的積分曲線，由于通解中含有任意常數(shù)，所以它的圖形是一族積分曲線特解的圖形就是通解的積分曲線族中滿足給定的初始條件的某一條特定的積分曲線例3 驗證函數(shù)是微分方程的通解。證 求出所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)把的表達(dá)式代入所給微分方程，得這表明函數(shù)滿足所給的微分方程，它是所給方

8、程的解。又因為函數(shù)中含有任意常數(shù)的個數(shù)與所給微分方程的階數(shù)相同，所以該函數(shù)是所給的微分方程的通解。 例4 已知微分方程 （11）（1）驗證 函數(shù) x=C1cos kt+C2 sin kt （12）是該微分方程的解.（2）求微分方程滿足初始條件x| t=0 =A, x¢| t=0 =0的特解. 解 所給函數(shù)（12）的導(dǎo)數(shù)為: ,.將及x的表達(dá)式代入所給方程（11）, 得-k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)º0.這表明函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt 滿足方程, 因此函數(shù)（12）是方程（11）的解. 由條件x| t=0

9、 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt, 得C1=A.再由條件x¢| t=0 =0, 及x¢(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt, 得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中, 得x=Acos kt.第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程的一般形式為 （1）若可解出，則可寫成 （2）一階微分方程有時也寫成如下的對稱形式 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 （3） 下面我們討論幾種特殊類型的一階微分方程的求解方法。 一、可分離變量的微分方程經(jīng)過整理，若一階微分方程可化為 （4）的形式，則稱此方程為可分離變量的微分方程。

10、它的特點是方程兩邊分別只含有變量和變量的部分。 對方程（4）兩邊積分就可以得出方程（4）的通解。 可分離變量的方程用積分就可以求解，不過化簡過程與積分中大不一樣，需特別注意。 例1 求微分方程的通解. 解 此方程為可分離變量方程, 分離變量后得 () （5）兩邊積分得,即 ln|y|=x2+C1,從而 .因為仍是任意常數(shù),只是取不到零， 把它記作C（）則（） 這個解是在的假定下得到的，自然不包括，其實，也是原方程的一個解（只需代入原方程驗證便知），所以需要把這個解補上，才是方程（5）的通解?，F(xiàn)取消的限制，即方程（5）的通解為 說明：從這個例子可以看到，一般的，在求解方程時，我們除了注意用積分求

11、解這一基本方法以外，還需注意兩點:一是化簡，用調(diào)整任意常數(shù)的方法，可使通解化成最簡單的形式；二是補解，從求解過程中附加的條件去看是否漏掉了某個或某些解。例2 的通解解 原方程為兩邊積分，得（）解出（）而直接從原方程驗證 和都是原方程的解，需補上。在中，令即得的解，所以取消的限制就把補上了，但無論為何值，都得不到這個解，所以需另加。最后得到方程的通解為例3 求初值問題解 先求微分方程的通解兩邊積分得（）將初始條件代入通解得即 所以初值問題的解為 二 齊次微分方程若方程（2）的右端 可寫成，即 （6）的形式，那么就稱這方程為齊次微分方程，簡稱為齊次方程，例如是齊次方程，因為它可化成.又如 (x2+

12、y2)dx-xydy=0是齊次方程，因為它可化成. .對于齊次方程，可以引入新的未知函數(shù) 將它化為可分離變量的方程。因為有y=ux, 代入方程（6），得即 分離變量, 得.兩端積分, 得.求出積分后, 再用代替u, 便得所給齊次方程的通解. 例5 解方程. 解 原方程可寫成（）,因此是齊次方程. 令, 則y=ux, ,于是原方程變?yōu)?即 .分離變量, 得（）兩邊積分, 得 u-ln|u|=ln|x|+,以代上式中的u, 得即是原方程的解，它也恰好是上式中C0的情形。在求解過程中雖然也除了yx的因子，但經(jīng)驗證其不是方程的解，所以方程通解為（為任意常數(shù)）三 一階線性微分方程 方程 (7)叫做一階線

13、性微分方程. 線性是指未知函數(shù)y和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的。如果Q(x)º0， 則方程（7）稱為齊次的；如果則方程稱為非齊的. 設(shè)（7）為非齊次線性方程，為求出（7）的解，我們先把Q(x)換成零而寫出方程 （8）則方程（8）叫做對應(yīng)于非齊次線性方程（7）的齊次線性方程。 齊次線性方程是可分離變量的方程. 分離變量后得,兩邊積分, 得,() 這就是齊次線性方程的通解。取C0就得所要補的解y0，對于一階線性齊次方程，把通解寫成這種形式，總可以把解自動補上，故不必每次都討論補解的問題了。 一階線性非齊次方程不是可分離變量的方程，我們可以采用如下方法來求，假設(shè)非齊次方程的解具有如下形式 （9）這是

14、把相應(yīng)的齊次方程的通解中的任意常數(shù)變成新的未知函數(shù)，這種方法稱為常數(shù)變易法，這種方法是把（8）的通解中的作變換成的未知函數(shù)。為何想到解具有這樣的形式呢?我們將在后面給出解釋?，F(xiàn)在先把這一形式的函數(shù)（9）代入非齊次線性方程（7），有即 兩端積分，得 把上式代入（9），即為非齊次方程（7）的通解 （10）將（10）改寫成兩項之和 （11）上式右端第一項是對應(yīng)的齊次線性方程（8）的通解，第二項是非齊次線性方程（7）的一個特解，由此可知一階線性非齊次方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。（10）（11）即為一階線性非齊次方程的通解公式。在解一階線性非齊次方程的通解時，我們可以直

15、接套用這個公式來求它的通解，也可以用推導(dǎo)這個公式所用的方法即常數(shù)變易法來求解。但因此公式較復(fù)雜，不易記住，所以我們通常采用第二種方法做。下面我們看兩個例子。 例6求方程的通解. 解 這是一個非齊次線性方程. 先求對應(yīng)的齊次線性方程的通解. 分離變量得 , 兩邊積分得 齊次線性方程的通解為y=C(x+1)2. 用常數(shù)變易法. 把C換成u, 即令y=u×(x+1)2, 代入所給非齊次線性方程, 得,兩邊積分, 得.再把上式代入y=u(x+1)2中, 即得所求方程的通解為.例7 求方程滿足初始條件的特解。解 把方程改寫成解相應(yīng)的齊次方程用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的解為代入非齊次方程得非齊次

16、方程的通解即為再代初始條件，得解得所以所求方程的特解為下面我們對常數(shù)變易法這種方法作個說明。這種方法實際上是作了個未知函數(shù)的變換，為何會想到取相應(yīng)的齊次方程的解來作變換呢？這種想法可能是這樣來的，開始并不知道用什么函數(shù)來作變換，于是先假設(shè)方程的解為其中是新的未知函數(shù)，待定，然后代入方程觀察取成什么函數(shù)合適。如果取一個，使得，則滿足的方程為就可很容易的解出，而恰好是齊次方程,所以取成它的解也就可以很容易的求出，從而也就求出了非齊次方程的解。因此要設(shè) 利用變量代換（因變量的變量代換或自變量的變量代換），把一個微分方程化為變量可分離的方程，或化為已知其求解步驟的方程，這是解微分方程的最常用方法。下面

17、再舉一個例子。 例8 解方程. 解 若把所給方程變形為,即為一階線性方程, 則按一階線性方程的解法可求得通解. 但這里也可用變量代換來解所給方程. 令x+y=u, 則原方程化為, 即.分離變量, 得,兩端積分得u-ln|u+1|=xC以u=x+y代入上式, 得y-ln|x+y+1|=C 以上我們介紹了三類一階微分方程的求解方法，還有些類型將在后面的學(xué)習(xí)中介紹。一般的，當(dāng)我們求解一階方程時，總是先判別其類型，先看是否為可分離變量的，再看是否是線性的，然后才是齊次的，因為后兩種方程積分相對較復(fù)雜。如果都不是，就應(yīng)該考慮適當(dāng)換元后可否轉(zhuǎn)化成已知的類型。四 一階微分方程的應(yīng)用舉例利用一階微分方程來解決

18、實際問題時，首先要會列方程。列方程不完全是數(shù)學(xué)上的問題，還涉及許多其它學(xué)科的知識，下面我們通過幾個例子來介紹列方程的兩種基本方法。 例9 鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比. 已知t=0時鈾的含量為M0, 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律. 解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導(dǎo)數(shù). 由于鈾的衰變速度與其含量成正比, 故得微分方程 （12）其中l(wèi)(l>0)是常數(shù), l前的負(fù)號表示當(dāng)t增加時M單調(diào)減少. 即. 由題意, 初始條件為M|t=0=M0. 將方程（12）分離變量得.兩邊積分, 得,即 M=Ce-lt.再由初始條件, 得M0=Ce0=C,所以鈾含量M(t)

19、隨時間t變化的規(guī)律為M=M0e-lt . 由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減（圖7-1）。圖 7-2圖7-1 例10 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零. 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解 設(shè)降落傘下落速度為v(t). 降落傘在空中下落時，同時受到重力與阻力的作用（圖7-2）。則降落傘所受外力為F=mg-kv( k為比例系數(shù)).根據(jù)牛頓第二運動定律F=ma, 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 （13）按題意，初始條件為v|t=0=0.方程（13）是可分離變量的, 分離變量得,兩邊積分, 得 , ,即 () （14）將初始條件v|t

20、=0=0代入通解（13）得,于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為. 例11 有一個電路如圖所示，其中電源電動勢為E = Em sin w t(Em 、w都是常數(shù))，電阻R和電感L都是常量求電流i(t) 解 由電學(xué)知道, 當(dāng)電流變化時, L上有感應(yīng)電動勢. 由回路電壓定律得出,即 . 圖7-3 把E=Emsinw t代入上式, 得.初始條件為i|t=0=0. 方程為非齊次線性方程, 其中, .由通解公式, 得 . 其中C為任意常數(shù). 將初始條件i|t=0=0代入通解, 得, 因此, 所求函數(shù)i(t)為 .以上三例的方法是類似的，是利用導(dǎo)數(shù)的物理意義和物理上的一些規(guī)律列出方程。例12有旋轉(zhuǎn)曲面形狀

21、的凹鏡, 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 建立坐標(biāo)系如圖7-3設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L: y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成, 光源在原點. 在L上任取一點M(x, y), 作L的切線交x軸于A. 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線. 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA=OM, 因為 , 而 . 圖 7-4于是得微分方程,整理得. 這是齊次方程. 問題歸結(jié)為解齊次方程 . 令, 即x=yu, 得,即 , 分離變量, 得,兩邊積分, 得 , , ,以yv=x代入上式, 得. 這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線, 它繞x

22、軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 此例中列方程的方法與前兩例基本相同，只不過這里用到的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義而非物理意義。下面我們舉個例子說明列方程的另一種方法微元分析法。例13 一個半徑為R的半球形水池最初注滿水。在水池的底部有一個半徑為的小孔，水在重力作用下通過該孔流出。求在任何時刻水的深度并確定需要多長時間水池中的水全部流完。解 建立坐標(biāo)系如圖(圖7-4)所示，原點取在水池的最低點。假設(shè)在時水開始從小孔流出，又為水在時刻的深度并記為水面在時刻的半徑于是經(jīng)過一段時間以后水面將下降，此時水池中水的體積減少了圖 7-4它應(yīng)該等于在這段時間內(nèi)從小孔流出的水的體積。根據(jù)托里拆利定律

23、，水從小孔流出的速度為，其中是流量系數(shù)。它取決于小孔的形狀，為重力加速度，為時刻水面的高度，這里。于是時間內(nèi)從小孔流出的水的體積為。令的兩個表達(dá)式相等，便得到微分方程式中負(fù)號表示水深隨時間的增加而減小由于，故，因此上述方程可改寫為兩邊積分得通解為因為時，故。于是水深與時間的關(guān)系為為了求出水池中的水全部流完所需時間，只需令即可得出上面這個例子，是用微元分析法列方程的，這里的微元分析法是列定積分式子的微元法的進(jìn)一步發(fā)展，但基本思想是一致的。取微元，分析在微元內(nèi)的變化情況，找出等量關(guān)系，從而列出微分方程。這種方法要比第一種方法復(fù)雜些。通常是在第一中方法用不上時才用這種方法。第三節(jié) 可降階的高階微分方

24、程二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。本節(jié)我們將以二階微分方程為基礎(chǔ)給出高階微分方程的幾種特殊類型的降階解法。它的基本思想是通過變量代換，把二階方程降為一階方程，從而利用前一節(jié)求解一階方程的方法求出所求二階方程的通解。下面我們用降階法來討論二階微分方程的三種特殊類型。一、 型的微分方程方程 的右端僅含有自變量，設(shè)，方程變形為，積分得即 再積分得原方程的通解 對于階方程只要通過次積分就能得到它的通解這類微分方程的特點是只出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)和自變量，而都不出現(xiàn)。 例1 求微分方程y¢¢¢=e2x-cos x 的通解. 解 對所給方程接連積分三次, 得,這就是所給方

25、程的通解. 二、y¢¢= f(x, y¢)型的微分方程 方程y¢¢= f(x, y¢)的右端不顯含未知函數(shù)，設(shè)y¢=p，那么則方程化為p¢=f(x, p).設(shè)p¢=f(x, p)的通解為p=j(x,C1), 則 .原方程的通解為. 例3 求微分方程(1+x2)y¢¢=2xy¢滿足初始條件y|x=0=1, y¢|x=0=3的特解. 解 所給方程是y¢¢=f(x, y¢)型的. 設(shè)y¢=p, 代入方程并分離變量后, 有.兩邊積分,

26、 得ln|p|=ln(1+x2)+C,即 p=y¢=C1(1+x2) (C1=±eC). 由條件y¢|x=0=3, 得C1=3, 所以 y¢=3(1+x2).兩邊再積分, 得 y=x3+3x+C2.又由條件y|x=0=1, 得C2=1, 于是所求的特解為y=x3+3x+1. 三、型的微分方程方程y¢¢=f(y, y¢)中不顯含自變量，為了求出它的解，我們令y¢=p,并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則把化為對的導(dǎo)數(shù)，即.原方程化為.設(shè)方程的通解為y¢=p=j(y, C1), 則原方程的通解為. 例5 求微分方程yy&

27、#162;¢-y¢2=0的通解. 解 設(shè)y¢=p, 則, 代入方程, 得. 在y¹0、p¹0時, 約去p并分離變量, 得.兩邊積分得ln|p|=ln|y|+lnc,即 p=Cy或y¢=Cy(C=±c). 再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為ln|y|=Cx+lnc1,或 y=C1eCx (C1=±c1)注意 關(guān)于求解過程中涉及到補解的，一定要補上。如何補，前面已經(jīng)多次講過，以后就不再討論了。 例5 求微分方程yy¢¢-y¢2=0的通解. 解 設(shè)y¢=p, 則原方程化為,

28、當(dāng)y¹0、p¹0時, 有,兩端積分，得即 py¢=C1y再分離變量并兩端積分，得原方程的通解為.第四節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 對于上一節(jié)討論的方程當(dāng)它右邊同時含有時一般不能用前面所講的降階方法求解。下面要討論的二階線性方程就是這種情形。形如 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y= （1）的方程稱為二階線性方程。這里的線性仍是指方程對于未知函數(shù)y和它的各階導(dǎo)數(shù)y¢、 y¢¢是一次的。若，即方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0 （2）稱為二階齊次線性方程；時，為二階非齊次線性方

29、程。下面我們討論二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，并根據(jù)解的結(jié)構(gòu)的理論，給出具體求某些線性方程通解的方法。然后把關(guān)于二階線性齊次方程的解的結(jié)構(gòu)理論推廣到階線性方程 （3） 一、二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)在第二節(jié)，我們知道一階非齊次線性方程的通解是由對應(yīng)齊次線性方程的通解和非齊次方程的一個特解兩部分組成的。我們還知道，根據(jù)對應(yīng)齊次方程的通解，采用“常數(shù)變易法”可以求得非齊次方程的通解。為此，在討論非齊次方程(1)的解的結(jié)構(gòu)之前，先來弄清（1）對應(yīng)齊次方程（2） 的解的結(jié)構(gòu)。 容易看出，如是二階齊次線性方程的的解，則也是它的解；如是它的解，則也是它的解。這兩個性質(zhì)組合起來即所謂解的疊加原理。定理1 如果函

30、數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0.的兩個解, 那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解, 其中C1、C2是任意常數(shù). 證明 C1y1+C2y2¢=C1 y1¢+C2 y2¢, C1y1+C2y2¢¢=C1 y1¢¢+C2 y2¢¢. 因為y1與y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0, 所以有y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P

31、(x)y2¢+Q(x)y2=0,從而 C1y1+C2y2¢¢+P(x) C1y1+C2y2¢+Q(x) C1y1+C2y2 =C1y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1+C2y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0+0=0. 這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解。 在物理上，常稱C1y1(x)+C2y2(x)為y1(x)、y2(x)的疊加，所以定理1就稱為線性齊次方程的解的疊加原理。這一性質(zhì)是線性方程特有的，

32、非線性方程不具有此性質(zhì)。有了疊加原理，使得我們討論線性方程比討論非線性方程要容易得多。對于線性方程，有了兩個解、，就可以構(gòu)造出無窮多個解C1y1(x)+C2y2(x)?，F(xiàn)在的問題是 C1y1(x)+C2y2(x)是否為通解。我們知道二階方程的通解應(yīng)有兩個任意常數(shù)，表面看，C1y1(x)+C2y2(x)有兩個任意常數(shù)，當(dāng)實際上是否真有兩個任意常數(shù)，這是有疑問的。例如，方程可以看出，它有兩個解和，但實際上只有一個任意常數(shù)，所以 不是該方程的通解。 從這個例子還可以看出，C1y1(x)+C2y2(x)中是否可以合并成一個常數(shù)，取決于、的性質(zhì)，若、只差一個常數(shù)倍，則可合并；否則不可合并。為了把這個問題

33、說清楚，我們引進(jìn)線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念。定義1 如兩個函數(shù)、 滿足則稱函數(shù)、線性相關(guān)；如則稱函數(shù)、線性無關(guān)。 如、是方程的兩個線性無關(guān)的解，則C1y1(x)+C2y2(x)中必不可合并，即C1y1(x)+C2y2(x)中確有兩個任意常數(shù)，它就是方程的通解。這就是二階齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)給出下面的定理。 定理2 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的兩個線性無關(guān)的解, 那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解. 例3 驗證y1=cos x與y2=sin x是方程y¢¢

34、+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解. 解 因為y1¢¢+y1=-cos x+cos x=0,y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解. 因為對于任意兩個常數(shù)k1、k2, 要使k1cos x+k2sin xº0,只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(-¥, +¥)內(nèi)是線性無關(guān)的. 因此y1=cos x與y2=sin x是方程y¢¢+y=0的線性無關(guān)解. 方程的通解為y=C1cos x+C2sin x.二、二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu): 定

35、理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x) （1）的一個特解, Y(x)是與（1）對應(yīng)的齊次方程（2）的通解, 那么 y=Y(x)+y*(x) （4）是二階非齊次線性微分方程（1）的通解. 證明 把（4）代入（1）的左端得Y(x)+y*(x)¢¢+P(x) Y(x)+y*(x)¢+Q(x) Y(x)+y*(x) = Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y + y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y*由于Y(x)是方程（2）的解，y*(x

36、)是（1）的解，則第一個括號內(nèi)的表達(dá)式恒等于零，第二個恒等于f(x)，所以，y=Y(x)+y*(x)使（1）兩端恒等，即（4）是方程（1）的解。 例如, Y=C1cos x+C2sin x 是齊次方程y¢¢+y=0的通解, y*=x2-2是y¢¢+y=x2 的一個特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解. 定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)是兩個函數(shù)之和, 即 y¢¢+P(x)y

37、¢+Q(x)y=f1(x)+ f2(x), （5）而y1*(x)與y2*(x)分別是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)與y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解. 證明 將代入方程（5）的左端，得y1+y2*¢¢+P(x) y1*+y2*¢+Q(x) y1*+y2*= y1*¢¢+P(x) y1*¢+Q(x) y1*+ y2*¢¢+P(x) y2*¢+Q(x) y

38、2*=f1(x)+f2(x).因此，是方程（5）的一個特解。有了二階線性方程解的結(jié)構(gòu)，要求齊次方程的通解只需找出它的兩個線性無關(guān)的解，而要求非齊次方程的通解，也只需在相對應(yīng)的齊次方程的基礎(chǔ)上再加上非齊次方程的一個特解，這樣就能使求解的問題大大簡化。三、階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 階線性微分方程所對應(yīng)的齊次方程為 （6） 階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)與二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)類似，在給出相關(guān)定理前，我們先來引入個函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。定義2 設(shè)為定義在區(qū)間上的個函數(shù)，如果存在個不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)時有恒等式成立，那么稱這個函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān)。定理三 如果是齊次線性方程的個線

39、性無關(guān)的解，那么，此方程的通解為其中為任意常數(shù)。定理四 如果是線性非齊次方程的一個特解，又是對應(yīng)的齊次方程（6）的通解，那么，是非齊次方程（3）的通解。第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 在上節(jié)我們討論了二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，本節(jié)將利用上節(jié)的結(jié)論來討論常系數(shù)線性微分方程的解法，其中著重討論二階的情形，高于二階的情形可類似地討論。一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程考慮二階常系數(shù)齊次線性微分方程 y¢¢+py¢+qy=0 （1）其中p、q均為常數(shù). 根據(jù)求導(dǎo)的經(jīng)驗知，指數(shù)函數(shù)erx的各階導(dǎo)數(shù)仍然是同類型的函數(shù)。所以猜想這種形式的函數(shù)y=erx 有可能是方程的解。這種猜測

40、是否合理，r又取何值，需代入方程驗證。 代入方程（1）得(r 2+pr+q)erx =0.，必須 r2+pr+q=0 （2）由此可見, 只要r滿足方程（2）, 函數(shù)y=erx就是方程（1）的解.（2）稱為微分方程（1）的特征方程，它是一個代數(shù)方程，它的根稱為（1）的特征根。特征方程的根有三種情形，下面分別按這三種情形求出方程的通解。 (1)特征方程有兩個不相等的實根r1r2時, 函數(shù)、是方程的兩個解，且不是常數(shù). 因此方程的通解為.(2)特征方程有兩個相等的實根r1=r2時, 這種情況，只能先得到一個解還要再找一個與之線性無關(guān)的解。即要找，使得所以可設(shè)，代入方程可以確定。，將、和代入微分方程(

41、1)，得其中，由于是特征根，故r2+pr+q=0，又由于是重根，故。所以上式只剩下積分兩次便可求出，我們只需求出一個特定的，現(xiàn)取得不是常數(shù)，與 線性無關(guān)，因此方程的通解為.(3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時, 方程（）有兩個解y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x所以線性無關(guān)。方程（）的通解為這里雖然得到了通解，但它是復(fù)數(shù)形式的解。現(xiàn)在我們是在實數(shù)范圍內(nèi)討論，還希望有實數(shù)形式的通解，這樣的解用于實際問題中也方便些。如何找到兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解呢，根據(jù)上節(jié)定理知道，方程（）的兩個解的線性組合仍是它的解，我們設(shè)法由上面兩個復(fù)數(shù)形式的解進(jìn)行線性組合，再找出兩個實的

42、線性無關(guān)的解。利用歐拉公式, 得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx, ,y1-y2=2ieaxsinbx, .故知eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程的解. 可以驗證, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通解為y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步驟為: 第一步 寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程

43、的兩個根r1、r2. 第三步 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解. 解 所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0, 即 (r+1)(r-3)=0.其根r1=-1, r2=3是兩個不相等的實根, 因此所求通解為y=C1e-x+C2e3x. 例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解. 解 所給方程的特征方程為r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是兩個相等的實根, 因此所給微分方程的通解為

44、y=(C1+C2x)e-x.將條件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 從而y=(4+C2x)e-x.將上式對x求導(dǎo), 得y¢=(C2-4-C2x)e-x.再把條件y¢|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解為x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解. 解 所給方程的特征方程為r2-2r+5=0.特征方程的根為r1=1+2i, r2=1-2i, 是一對共軛復(fù)根, 因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x).上面討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程通解的形式，可推廣到階常

45、系數(shù)齊次線性微分方程上去。因此在此不在作詳細(xì)敘述，只簡單敘述如下“形如y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y¢+pny=0稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常數(shù). rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0稱為微分方程的特征方程. 特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項單實根r對應(yīng)于一項: Cerx一對單復(fù)根r1, 2=a ±ib對應(yīng)于兩項: eax(

46、C1cosbx+C2sinbx);k重實根r對應(yīng)于k項: erx(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1);一對k 重復(fù)根r1, 2=a ±ib 對應(yīng)于2k項:eax(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx.從代數(shù)學(xué)知道，次代數(shù)方程有個根（重根按重數(shù)計），而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項，且每項各含一個任意常數(shù)。這樣就得到階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解 例4 求方程y(4)-2y¢¢

47、¢+5y¢¢=0 的通解. 解 這里的特征方程為r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i. 因此所給微分方程的通解為y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b>0. 解 這里的特征方程為 r4+b 4=0. 它的根為, . 因此所給微分方程的通解為 . 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 考慮方程 y¢¢+py¢+qy=f(x) （3）其中p、q是常數(shù). 根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次

48、線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和 y=Y(x)+ y*(x).由于二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解上面已介紹其求解方法，故這里只需討論求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的方法。的形式很多，本節(jié)我們只討論它為兩種特殊形式時方程的特解的求法。 一、 型當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時, 可以猜想, 方程的特解也應(yīng)具有這種形式.因為多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積仍然是多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積. 因此, 設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx, 將代入方程, 得等式Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(

49、x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 則l2+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的單根, 則l2+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項式: Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定