第三講動點形成平行四邊形問題

1、第三講 動點形成平行四邊形問題的討論【知識點說明】一般是以二次函數為背景，由點的運動，形成平行四邊形。由于這種圖形邊及頂點較三角形多，所以更復雜，要有一定的想象能力，打破空間上的思維定勢，一般盡量把可能出現的情況想象出來，先畫草圖，再根據情況解決。當然該問題仍然有其規(guī)律，題中一般會有三個或兩個定點。我們在確定定點的情況下，也就可以確定一些定邊，以定邊為標準，分別以它“做邊或對角線”兩種情況進行討論，下面我們通過問題來體會。（一）已知三個定點，再找一個定點構成平行四邊形（平面內有三個點滿足）例1、已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)， 與y軸的正半軸交于點C1 接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線

2、與軸的另一個交點B的坐標；2 點C在以AB為直徑的P上時，求拋物線的解析式；3 標平面內是否存在點,使得以點M和中拋物線上的三點A、B、C 為點的四邊形是平行四邊形？若存在,請求出點的坐標；若不存在,請說明理由（二）、已知兩個定點，再找兩個點構成平行四邊形確定兩定點連接的線段為一邊，則兩動點連接的線段應和已知邊平行且相等）例2、已知，如圖拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側。點B的坐標為(1，0),OC=30B (1) 求拋物線的解析式； (2) 若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值： (3) 若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以A、C、

3、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由兩定點連接的線段沒確定為平行四邊形的邊，則這條線段可能為平行四邊形的邊或對角線例3、如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2（1）求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數表達式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由【鞏固練習】1、已知拋物線（）

4、與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數式分別表示點與的坐標，則； (2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應點恰好落在拋物線上，與 軸交于點，連結，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由.第1題xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2備用圖2.已知拋物線：（1）求拋物線的頂點坐標.（2）將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線，求拋物線 的解析式.（3）如下圖，拋物線的頂點為P，軸上有一動點M，在、這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原

5、點）、P、M、N四點構成以OP為一邊的平行四邊形，若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由.3、已知：如圖所示，關于的拋物線與軸交于點、點，與軸交于點（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）在拋物線上有一點，使四邊形為等腰梯形，寫出點的坐標，并求出直線的解析式；BAOCxy（3）在（2）中的直線交拋物線的對稱軸于點，拋物線上有一動點，軸上有一動點是否存在以為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由課后作業(yè)1、已知一個二次函數的圖像經過、 、三點（如圖1）.（1）求這個二次函數的解析式；（2）求的值；（3）若點在軸上，點在（1）中所求出的二次函數的圖像

6、上，且以點、Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25圖1CAB為頂點的四邊形是平行四邊形，求點、的坐標. 2、如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形 （1）求證：梯形是等腰梯形； （2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設求與的函數關系式； （3）在（2）中：當動點、運動到何處時，以點、和點、中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個數；當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由ADCBPMQ60第三講 動點形成平行四邊形問題的討論（教師）【知識點說明】一般是以二次函數為背景，由點的運動，形成平行四邊形。由于這種圖形邊及頂點較

7、三角形多，所以更復雜，要有一定的想象能力，打破空間上的思維定勢，一般盡量把可能出現的情況想象出來，先畫草圖，再根據情況解決。當然該問題仍然有其規(guī)律，題中一般會有三個或兩個定點。我們在確定定點的情況下，也就可以確定一些定邊，以定邊為標準，分別以它“做邊或對角線”兩種情況進行討論，下面我們通過問題來體會。（一）已知三個定點，再找一個定點構成平行四邊形（平面內有三個點滿足）例1、已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)， 與y軸的正半軸交于點C4 接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標；5 點C在以AB為直徑的P上時，求拋物線的解析式；6 標平面內是否存在點,使得以點M和中拋物線上的

8、三點A、B、C 為點的四邊形是平行四邊形？若存在,請求出點的坐標；若不存在,請說明理由解：對稱軸是直線：，點B的坐標是(3,0) 如圖，連接PC，點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B (3,0)， AB4 在RtPOC中，OPPAOA211， b 當時， （3）存在理由：如圖，連接AC、BC設點M的坐標為 以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CMAB，且CMAB由知，AB4，|x|4，x4點M的坐標為； 當以AB為對角線時，點M在x軸下方過M作MNAB于N，則MNBAOC90四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312

9、 點M的坐標為 綜上，坐標平面內存在點，坐標分為：（二）、已知兩個定點，再找兩個點構成平行四邊形確定兩定點連接的線段為一邊，則兩動點連接的線段應和已知邊平行且相等）例2、已知，如圖拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側。點B的坐標為(1，0),OC=30B (1) 求拋物線的解析式； (2) 若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值： (3) 若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）對稱軸，又OC=3OB=3，C（0，3）2分方法一：把B(1,0)、

10、C(0，3)代入，得：，方法二：B（1，0），A(-4，0)可令 把C(0，-3)代入，得：， ，（2）方法一：過點D作DMy軸分別交線段AC和x軸于點M、N，如圖2， A(-4，0)，C(0，-3)設直線AC的解析式為代入，求得：令， 當時，DM有最大值3 ， 此時四邊形ABCD面積有最大值。方法二：過點D作DQy軸于Q，過點C作x軸交拋物線于，從圖象可判斷當點D在下方的拋物線上運動時，四邊形ABCD才有最大值。則= ， xPCEBOAy 圖3令則當時，四邊形ABCD面積有最大值。（3）因為AC為平行四邊形的一邊，分兩種情況討論： AE也為邊時，過點C作CPx軸交拋物線于點P，過點P作PEA

11、C交x軸于點E，如圖3，此時四邊形ACPE為平行四邊形， C(0，-3) 令 解得：x1=0，x2=3 ，xOy PPCEEA圖4 P(3, 3)； AE為對角線時，如圖4， 設E為（x，0），由平行四邊形的對角線互相平分，得：AE的中點為（，0），P為(x4, 3)點P在拋物線上，（x4）2+（x4）3=3，解得：x4=，P2、3為(, 3)；綜上，點P的坐標為(3, 3)或(, 3)或(, 3)。兩定點連接的線段沒確定為平行四邊形的邊，則這條線段可能為平行四邊形的邊或對角線例3、如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2（1）求A、B

12、 兩點的坐標及直線AC的函數表達式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由解：（1）令y=0，解得或（1分）A（-1，0）B（3，0）；將C點的橫坐標x=2代入得y=-3，C（2，-3），直線AC的函數解析式是y=-x-1 ，（2）設P點的橫坐標為x（-1x2），則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（，GCBA圖3EFFxOy P點在E點的上方，PE=，當時，PE的最大值

13、=，（3）存在4個這樣的點F， 當AF為平行四邊形的邊時，如圖3，同例2，可求的點F為（1，0）或（3，0）；GCGA圖4FFxOy 當AF為平行四邊形的對角線時，如圖4，同例2，可求的點F為（4+，0）或（4，0）；綜上，點F的坐標為（1，0）或（3，0）或（4+，0）或（4，0）?！眷柟叹毩暋?、已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數式分別表示點與的坐標，則； (2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應點恰好落在拋物線上，與 軸交于點，連結，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形

14、？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由.第1題xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2備用圖解：（1）.4分（2）由題意得點與點關于軸對稱，將的坐標代入得，（不合題意，舍去），.2分，點到軸的距離為3.， ，直線的解析式為，它與軸的交點為點到軸的距離為.2分（3）當點在軸的左側時，若是平行四邊形，則平行且等于，把向上平移個單位得到，坐標為，代入拋物線的解析式，得：（不舍題意，舍去）， .2分當點在軸的右側時，若是平行四邊形，則與互相平分，與關于原點對稱，將點坐標代入拋物線解析式得：，（不合題意，舍去），2分存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形2、已知拋物線：（1）求拋物

15、線的頂點坐標.（2）將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線，求拋物線 的解析式.（3）如下圖，拋物線的頂點為P，軸上有一動點M，在、這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原點）、P、M、N四點構成以OP為一邊的平行四邊形，若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）依題意，頂點坐標是（2，2），（2）根據題意可知y2解析式中的二次項系數為，且y2的頂點坐標是（4，3），y2，即：y2，（3）符合條件的N點存在。如圖：若四邊形OPMN為符合條件的平行四邊形，則，且， ，作軸于點A，軸于點B，則有（AAS）點P的坐標為（4,3）10分點N在拋物線、上，且P點為、的最高點符

16、合條件的N點只能在軸下方 點N在拋物線上，則有： 解得：或， 點N在拋物線上，則有：解得：或，綜上，符合條件的N點有四個：N1（，）或 N2（，）或N#（，）或N#（，）。3、已知：如圖所示，關于的拋物線與軸交于點、點，與軸交于點（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）在拋物線上有一點，使四邊形為等腰梯形，寫出點的坐標，并求出直線的解析式；BAOCxy（3）在（2）中的直線交拋物線的對稱軸于點，拋物線上有一動點，軸上有一動點是否存在以為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由解：（1）根據題意，得， 解得，拋物線的解析式為，頂點坐標是（2，4），BAOC

17、yxQ4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4（2）點的坐標為（4，3），設直線的解析式為直線經過點點7分8分-9分（3）存在-10分 當AQ為平行四邊形的邊時，如圖，同例2，可求的點Q為、；當AQ為平行四邊形的對角線時，如圖，同例2，可求的點Q為、；綜上，點Q的坐標為：、 、-14分課后作業(yè)1、已知一個二次函數的圖像經過、 、三點（如圖1）.（1）求這個二次函數的解析式；（2）求的值；（3）若點在軸上，點在（1）中所求出的二次函數的圖像上，且以點、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點、的坐標. 解： （1）設所求的二次函數的解析式為（）. 因為拋物線（）經過、 、三點，Oy1x24356-6-5-3-

18、43-25-1123456-1-3-4-5-6-25圖1CAB 1分 解得 所求的二次函數的解析式為（2） 如圖1，由、 ，可知 點、的縱坐標相等， . . . 、， . （3）分兩種情況討論：如圖2，若是以點、為頂點的四邊形是平行四邊形的一邊， 由于點在軸上，那么必定也是這個平行四邊形的一條邊. ， 因此點應該在過點且平行于軸的直線上， 由此可知點與點重合. ， . 四邊形是平行四邊形， ， 故可得， Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25圖2CAB（E）Oy1x24356-6-5-3-43-25-1123456-1-3-4-5-6-25圖3CADDB（