相似的證明與計(jì)算

1、相似的證明與計(jì)算一.選擇題1. 如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）ABCD3(2015湖南株洲,第7題3分)如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB1，CD3，那么EF的長(zhǎng)是( )ABCD如圖所示，ABC中，DEBC，若，則下列結(jié)論中正確的是（ ）ABCD如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，則SDOE：SAOC的值為（ ）ABCD如圖，在ABC中，AB=CB，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)C作CFAB，在C

2、F上取一點(diǎn)E，使DE=CD，連接AE對(duì)于下列結(jié)論：AD=DC；CBACDE；=；AE為O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項(xiàng)是（）ABCD7.（2015湖北荊州第6題3分）如圖，點(diǎn)P在ABC的邊AC上，要判斷ABPACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A ABP=CBAPB=ABCC=D=8（2015四川資陽(yáng),第10題3分）如圖6，在ABC中，ACB=90，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且ECF=45，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G現(xiàn)有以下結(jié)論：AB=；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；AF+BE=EF；MGMH=，其中正確結(jié)論為（ ）ABCD9. （20

3、15浙江嘉興，第5題4分）如圖，直線l1/ l2/ l3，直線AC分別交l1， l2， l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1， l2， l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn) .AC與DF相較于點(diǎn)H，且AH=2，HB=1，BC=5，則 的值為（ ）（A）（B）2（C） （D）12. （2015四川樂(lè)山,第5題3分）如圖，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F已知，則的值為（ ）A B C D13. （2015四川眉山，第6題3分）如圖，ADBECF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F已知AB=1，BC=3，DE=2，則EF的長(zhǎng)為（）A4B5C6D814(2015黑龍江

4、綏化，第9題 分)如圖 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 若點(diǎn)M、N分別是線段ACAB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 則BM+MN的最小值為（ ）A 10 B 8 C 5 D 615.（2015山東東營(yíng),第6題3分）若，則的值為（ ）A1 B C D16.（2015山東東營(yíng),第10題3分）如圖，在RtABC中，ABC=90，AB=BC點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)B作BGCD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連結(jié)DF給出以下四個(gè)結(jié)論：；若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF=AB；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF=DB；若，則其中正確的結(jié)論序號(hào)是（ ）A

5、B C D 17. （2015山東濰坊第9 題3分）如圖，在ABC中，AD平分BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長(zhǎng)是（）A2B4C6D819（2015安徽省,第9題，4分）如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是（ ）A2 B3 C5 D620. （2015山東濟(jì)寧，10，3分）將一副三角尺（在中，ACB=，B=；在中，EDF=，E=）

6、如圖擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.將繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角， 交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則的值為( )ECDBA第10題A. B. C. D.二.填空題1已知，則的值為_(kāi)2 如圖，ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB，BC上，DE/AC，若DB=4，DA=2，BE=3，則EC= _ .3已知：ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，若以A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則需要增加的一個(gè)條件是 _ （寫出一個(gè)即可）4如圖，在RtABC中，AB=BC，B=90，AC=10四邊形BDEF是ABC的內(nèi)接正方形（點(diǎn)D、E、F在三角形的邊上）則此正方形的面積是 _ 5 如圖

7、1，在RtABC中，B=90，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE. 將EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為. （1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， （2） 試判斷：當(dāng)0360時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.ECDBA（圖1）EDBAC（圖2）（備用圖）CBA（3） 當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).6在矩形ABCD中 ，AB=4 , BC=3 , 點(diǎn)P在AB上。若將DAP沿DP折疊 ，使點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線上的處 ，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)7. 如圖，直線是一組等距離的平行線，過(guò)直線上的點(diǎn)A作兩條射線，分別與直線，相交于點(diǎn)B，E，C，F(xiàn). 若B

8、C=2，則EF的長(zhǎng)是 8 . （2015浙江湖州，第16題4分）已知正方形ABC1D1的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長(zhǎng)C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3(如圖所示)，以此類推，若A1C1=2，且點(diǎn)A，D2， D3，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長(zhǎng)是_9. （2015浙江嘉興，第12題5分）右圖是百度地圖的一部分（比例尺1:4 000 000）.按圖可估測(cè)杭州在嘉興的南偏西_度方向上，到嘉興的實(shí)際距離約為_(kāi).10.（2015江蘇泰州,第14題3分）如圖，中，D為BC 上一點(diǎn)，BAD=C,AB=6，BD

9、=4，則CD的長(zhǎng)為_(kāi). 11.（2015山東臨沂,第18題3分）如圖，在ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，則_.12.（2015湖北荊州第16題3分）如圖，矩形ABCD中，OA在x軸上，OC在y軸上，且OA=2，AB=5，把ABC沿著AC對(duì)折得到ABC，AB交y軸于D點(diǎn)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 13（2015廣東省,第13題，4分）若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，則它們的面積比是 .14. （2015四川涼山州,第17題4分）在ABCD中，M，N是AD邊上的三等分點(diǎn)，連接BD，MC相交于O點(diǎn)，則SMOD：SCOB= B2yB1C2C3A2A3A1OC1D1D2x1

10、5. （2015四川成都,第23題4分）已知菱形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2，A1B1C160，對(duì)角線A1C1，B1D1相交于點(diǎn)O以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A1，OB1所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系以B1D1為對(duì)角線作菱形B1C2D1A2菱形A1B1C1D1，再以A2C2為對(duì)角線作菱形A2B2C2D2菱形B1C2D1A2，再以B2B2為對(duì)角線作菱形B2C3D2A3菱形A2B2C2D2，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在x軸的正半軸上得到點(diǎn)A1，A2，A3，An，則點(diǎn)An的坐標(biāo)為_(kāi)16、（2015四川自貢,第14題4分）一副三角板疊放如圖，則與的面積之比為 .17 、（2015四川自貢,第15

11、題4分）如圖，將線段放在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格，點(diǎn)點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在線段上畫出點(diǎn)，使,并保留作圖痕跡.18. （2015浙江杭州,第16題4分）如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB=BC，AD=CD，A=C=90，B=150，將紙片先沿直線BD對(duì)折，再將對(duì)折后的圖形沿從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線裁剪，剪開(kāi)后的圖形打開(kāi)鋪平，若鋪平后的圖形中有一個(gè)是面積為2的平行四邊形，則CD=_19（2015廣東梅州,第12題，3分）已知：ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，若以A，E， F為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則需要增加的一個(gè)條件是 （寫出一個(gè)即可）20（2015甘肅蘭州,第17題，4分）

12、如果（），且，那么=_21. （2015山東省德州市，17，4分）如圖1，四邊形ABCD中，ABCD,AD=DC=CB=a，A=60.取AB的中點(diǎn)A1，連接A1C,再分別取A1C,BC的中點(diǎn)D1，C1,連接D1C1,得到四邊形A1BC1D1,如圖2; 同樣方法操作得到四邊形A2BC2D2,如圖3;，如此進(jìn)行下去，則四邊形AnBCnDn的面積為 .三.解答題1. （2015山東省德州市，23，10分）(1)問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，DPC=A=B=90.求證：ADBC=APBP.(2)探究如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)DPC=A=B=時(shí)，上述結(jié)論是否依然

13、成立？說(shuō)明理由.(3)應(yīng)用請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：如圖3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足DPC=A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值. AABBEECDCDFFGG第23題圖1第23題圖22（2015安徽省,第23題，14分）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC (1)求證：ADBC；(2)求證：AGDEGF；(3)如圖2，若AD、BC所在

14、直線互相垂直，求的值3（2015山東威海，第22題9分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AC為直徑的O交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的長(zhǎng)4（2015四川廣安，第25題9分）如圖，PB為O的切線，B為切點(diǎn)，過(guò)B作OP的垂線BA，垂足為C，交O于點(diǎn)A，連接PA、AO，并延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)E，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D（1）求證：PA是O的切線；（2）若=，且OC=4，求PA的長(zhǎng)和tanD的值6(2015黑龍江綏化，第28題 分)如圖1，在正方形ABCD中，延長(zhǎng)BC至M ,使BM=DN ,連接MN交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：BD+2DE=BM (2)

15、如圖2 ，連接BN交AD于點(diǎn)F ，連接MF交BD于點(diǎn)G若AF:FD=1:2 ,且CM=2，則線段DG=_7（2015山東濰坊第21題10分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AC為直徑的O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DFAB，垂足為F，連接DE（1）求證：直線DF與O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的長(zhǎng)8（2015山東威海，第23題10分）（1）如圖1，已知ACB=DCE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45，求AD的長(zhǎng)（2）如圖2，已知ACB=DCE=90，ABC=CED=CAE=30，AC=3，AE=8，求AD的長(zhǎng)9.（2015江蘇徐州,第25題8分）如圖

16、，平面直角坐標(biāo)系中，將含30的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值= cm10.（2015江蘇徐州,第26題8分）如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以O(shè)A、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、B重合），反比例函數(shù)y=（k0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE（1）連接OE，若EOA的面積為2，則k=4；（2）連接CA、DE與CA是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否

17、存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在OC上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由11.（2015山東東營(yíng),第21題8分）(本題滿分8分)已知在ABC中，B=90o，以AB上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（1）求證：ACAD=ABAE；（2）如果BD是O的切線，D是切點(diǎn)，E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC=2時(shí)，求AC的長(zhǎng) 12. （2015綿陽(yáng)第25題，14分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，G是AD延長(zhǎng)線時(shí)的一點(diǎn)，且DG=AD，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著ACG的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（M不與A，G重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接BM并延長(zhǎng)AG于N（1）是

18、否存在點(diǎn)M，使ABM為等腰三角形？若存在，分析點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上時(shí)，若BNHN，NH交CDG的平分線于H，求證：BN=HN；（3）過(guò)點(diǎn)M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，矩形AEMF與ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值13. （2015浙江省紹興市，第24題，14分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是邊BC，邊AB上的點(diǎn)，連結(jié)AC，PQ，點(diǎn)B1是點(diǎn)B關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)。（1）若四邊形OABC為矩形，如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若BQ:BP=1:2，且點(diǎn)B1落在OA上，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)；

19、（2）若四邊形OABC為平行四邊形，如圖2，且OCAC，過(guò)點(diǎn)B1作B1F軸，與對(duì)角線AC、邊OC分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F。若B1E: B1F=1:3，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)，并直接寫出的取值范圍。14.（2015山東聊城,第25題12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，RtOAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上，OA=4，AB=3動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1.25個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0x4）時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)x為何

20、值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由16. （2015四川樂(lè)山,第23題10分）如圖1，四邊形ABCD中，B=D=90，AB=3，BC=2，tanA=（1）求CD邊的長(zhǎng)；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點(diǎn)P，交CB于點(diǎn)Q （點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止），設(shè)DP=x，四邊形PQCD的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍 17. （2015浙江湖州，第23題10分）問(wèn)題背景：已知在ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A，B不重合)，點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延

21、長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn) (1)初步嘗試：如圖1，若ABC是等邊三角形，DHAC，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，求證：HF=AH+CF小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問(wèn)題：思路一：過(guò)點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立.思路二：過(guò)點(diǎn)E作EMAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立.請(qǐng)你任選一種思路，完整地書(shū)寫本小題的證明過(guò)程(如用兩種方法作答，則以第一種方法評(píng)分)(2)類比探究：如圖2，若在ABC中，ABC=90，ADH=BAC=30，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是：1，求

22、的值.(3)延伸拓展：如圖3，若在ABC中，AB=AC，ADH=BAC=36，記=m，且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示 (直接寫出結(jié)果，不必寫解答過(guò)程).19. （2015四川眉山，第25題9分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長(zhǎng)AP交CD于F點(diǎn)，（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）若AEP是等邊三角形，連結(jié)BP，求證：APBEPC；（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求CPF的面積20（2015湖南省益陽(yáng)市，第20題12分）已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且APPBAP繞點(diǎn)A逆

23、時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（090）得到AP1，BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角得到BP2，連接PP1、PP2（1）如圖1，當(dāng)=90時(shí)，求P1PP2的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P2在AP1的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：P2P1PP2PA；（3）如圖3，過(guò)BP的中點(diǎn)E作l1BP，過(guò)BP2的中點(diǎn)F作l2BP2，l1與l2交于點(diǎn)Q，連接PQ，求證：P1PPQ21（2015湖北省武漢市，第23題10分）如圖，ABC中，點(diǎn)E、P在邊AB上，且AEBP，過(guò)點(diǎn)E、P作BC的平行線，分別交AC于點(diǎn)F、Q記AEF的面積為S1，四邊形EFQP的面積為S2，四邊形PQCB的面積為S3(1) 求證：EFPQBC(2) 若S1S3S2，求的值(3) 若S

24、3S1S2，直接寫出的值22. （2015四川南充,第22題8分）如圖，矩形紙片ABCD，將AMP和BPQ分別沿PM和PQ折疊（APAM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處（1）判斷AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪幾對(duì)相似三角形？（不需說(shuō)明理由）（2）如果AM1，sinDMF，求AB的長(zhǎng) 23. （2015四川南充,第24題10分）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A，B和D的距離分別為1，ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ABP，連結(jié)PP，并延長(zhǎng)AP與BC相交于點(diǎn)Q（1）求證：APP是等腰直角三角形；（2）求BPQ的大?。唬?）求CQ的長(zhǎng)24. (2015江蘇南京,第20題8分)如圖，ABC中，CD是邊AB上的高，且(1）求證：ACDCBD；(2）求ACB的大小25(2015江蘇無(wú)錫,第28題10分)如圖，C為AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC=6，N為邊OB上異于點(diǎn)O