數(shù)列經(jīng)典講義教師版

1、數(shù)列和數(shù)列的練習(xí)一、數(shù)列及其相關(guān)概念1 數(shù)列：按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，它可以有限，也可以無限2數(shù)列的項及通項：數(shù)列中的每個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第項（首項），第項，第項數(shù)列的一般形式可以寫成：或簡記為，其中是數(shù)列的第項，又稱為數(shù)列的通項3數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式來表示，則稱這個公式為這個數(shù)列的通項公式4數(shù)列的分類數(shù)列的分類方式一般有三種：（1）項數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列；（2）從第項起每一項都比它的前一項大的數(shù)列稱為遞增數(shù)列；從第項起，每一項都比它的前一項小的數(shù)列稱為遞減數(shù)列；這兩種數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)

2、數(shù)列各項都相等的數(shù)列稱為常數(shù)列；既不是單調(diào)數(shù)列，又不是常數(shù)列的，稱為擺動數(shù)列，即有些項小于它的前一項，有些項大于它的前一項；（3）如果數(shù)列的任一項的絕對值都小于某個正數(shù)，則稱此數(shù)列為有界數(shù)列，否則稱為無界數(shù)列5數(shù)列的表示方法數(shù)列是定義域為正整數(shù)集（或它的一個有限子集）的一類特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是函數(shù)的解析式數(shù)列的表示方法通常有三種：（1）通項公式法（對應(yīng)函數(shù)的解析式法）；（2）圖象法（無限多個或有限多個孤立的點，取決于是無窮數(shù)列，還是有窮數(shù)列）；（3）列表法6數(shù)列和函數(shù)、集合的區(qū)別（1）數(shù)列和函數(shù)：數(shù)列是以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)（2）數(shù)列和集合的區(qū)別和聯(lián)系：集合是沒

3、有順序的，數(shù)列是有順序的7數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第一項，且從第二項開始的任一項與它的前一項間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的遞推公式例如，給出遞推公式和初始值的數(shù)列是一個確定的數(shù)列，所以遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，即遞推法8 數(shù)列的前項和數(shù)列的前項和定義為：數(shù)列的前項和構(gòu)成了一個新的數(shù)列，且一、數(shù)列的基本概念1. （2010年東城一模7） 已知數(shù)列的通項公式，設(shè)其前項和為，則使 成立的最小自然數(shù)等于（ ）A B C D2. （2011年海淀二模5）已知正項數(shù)列中，則等于（ ）A.16 .8 . .43. 數(shù)列滿足，則等于（ ）A B C D-34. （2011年

4、東城區(qū)期末理11）在數(shù)列中，若，且對任意的正整數(shù)都有，則的值為5. （2010年東城二模6）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABC（2，3）D（1，3）6. 已知是定義在上不恒為零的函數(shù)，對于任意的，都有成立數(shù)列滿足，且則數(shù)列的通項公式_ 二、數(shù)列的遞推公式7. （2006年重慶12）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項 8. 數(shù)列中，對所有的，都有，求數(shù)列的通項公式9. 若數(shù)列中，且（是正整數(shù)），則數(shù)列的通項公式時 10. 已知數(shù)列，滿足，則的通項 11. 求滿足下列條件的數(shù)列的通項公式（1）已知滿足求（2）已知滿足，且，求二、與的關(guān)系12. （2011年四川9）數(shù)列的前

5、n項和為，若，則（ ）A3 ×44 B3 ×44+1 C44D44+113. 設(shè)數(shù)列的前n項和為則=_14. 已知下列個數(shù)列的前項和的公式，求的通項公式（1）；（2）；（3）15. 已知下列個數(shù)列的前項和的公式，求的通項公式（1）（2）等差數(shù)列 二、等差數(shù)列1等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示用遞推公式表示為an - an - 1 = d (n ³ 2)或an + 1 - an = d (n Î N*)2等差數(shù)列的通項公式：an

6、 = a1 + (n - 1)d = am + (n - m)d3等差中項的概念：定義：如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項其中說明：a，A，b成等差數(shù)列 Û 4等差數(shù)列的前n和公式：5等差數(shù)列的性質(zhì)：(1) 在等差數(shù)列an中，從第2項起，每一項是它相鄰兩項的等差中項(2) 在等差數(shù)列an中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列如：a1，a3，a5，a7，；a3，a8，a13，a18，(3) 在等差數(shù)列an中，對任意m，n Î N*，an = am + (n - m)d，(n ¹ m)(4) 在等差數(shù)列an中，若m + n = s + t (m，n，

7、s，t Î N*)，則am + an = as + at(5) 等差數(shù)列an中，公差為d，若d > 0，則an是遞增數(shù)列；若d = 0，則an是常數(shù)列；若d < 0，則an是遞減數(shù)列6數(shù)列最值：(1) a1 > 0，d < 0時，Sn有最大值；a1 < 0，d > 0時，Sn有最小值(2) Sn最值的求法： 若已知Sn，可用二次函數(shù)最值的求法(n Î N*)； 若已知an，則Sn取最值時n的值(n Î N*)可如下確定或1. (1) 求等差數(shù)列8，5，2，的第20項；(2) - 401是不是等差數(shù)列- 5，- 9，- 13，的項

8、？如果是，是第幾項？解：(1) 由a1 = 8，d = 5 - 8 = - 3，n = 20，得a20 = 8 + (20 - 1) ´ (- 3) = - 49(2) 由a1 = - 5，d = - 9 - (- 5) = - 4，得數(shù)列通項公式為：an = - 5 - 4(n - 1)，由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得- 401 = - 5 - 4(n - 1)成立，解之得n = 100，即- 401是這個數(shù)列的第100項2. (2011湖南理12)設(shè)Sn是等差數(shù)列an(n Î N*)，的前n項和，且a1 =1，a4 = 7，則S5 = 【答案】25【解析

9、】由a1 =1，a4 = 7可得a1 =1，d = 2，a5 = 9，所以3. (2012遼寧理6)在等差數(shù)列an中，已知a4 + a8 = 16，則該數(shù)列前11項和S11 = ( B )A58 B88 C143 D176【解析】在等差數(shù)列中，a1 + a11 = a4 + a8 = 16，答案為B4. (2012江西理12) 設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若a1 + b1 = 7，a3 + b3 = 21，則a5 + b5 = 【答案】35【考點】本題考查等差數(shù)列的概念和運算考查等差中項的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想【解析】(解法一)因為數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，所以數(shù)列an + bn也是等差

10、數(shù)列故由等差中項的性質(zhì)，得(a5 + b5) + (a1 + b1) = 2(a3 + b3)，即(a5 + b5) + 7 = 2 ´ 21，解得a5 + b5 = 35(解法二)設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因為a3 + b3 = (a1 + 2d1) + (b1 + 2d2) = (a1 + b1) + 2(d1 + d2) = 7 + 2(d1 + d2) = 21，所以d1 + d2 = 7所以a5 + b5 = (a3 + b3) + 2(d1 + d2) = 355. 等差數(shù)列an的前n項和記為Sn，若a2 + a4 + a15的值是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列Sn

11、中也為常數(shù)的項是( C )AS7 BS8 CS13 DS15【解析】設(shè)a2 + a4 + a15 = p(常數(shù))，3a1 + 18d = p，即a7 =pS13 = 13a7 =p6. (2012浙江理7)設(shè)Sn是公差為d (d 0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是( C )A若d < 0，則數(shù)列Sn有最大項B若數(shù)列Sn有最大項，則d < 0C若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意n Î N*，均有Sn > 0D若對任意n Î N*，均有Sn > 0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：- 1，1，3，5，7，滿足數(shù)列Sn

12、是遞增數(shù)列，但是Sn > 0不恒成立故選C 7. 把正整數(shù)按下列方法分組：(1)，(2，3)，(4，5，6)，其中每組都比它的前一組多一個數(shù)，設(shè)Sn表示第n組中所有各數(shù)的和，那么S21等于( B   )A1113 B4641 C5082 D53361【分析】第21組共有21個數(shù)，構(gòu)成一個等差數(shù)列，公差為1，首項比第20組的最后一個數(shù)大1，所以先求前20組一共有多少個數(shù)解：因為第n組有n個數(shù)，所以前20組一共有1 + 2 + 3 + + 20 = 210個數(shù)，于是第21組的第一個數(shù)為211，這組一共有21個數(shù)，S21 = 21 ´ 211 +

13、0; 1 = 4641，故選B【說明】認(rèn)真分析條件，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的基本問題8. 已知數(shù)列an的前n項和Sn = 10n - n2 (n Î N*)，又bn = | an |，求bn的前n項和Tn解：由題可得：a1 = 9，當(dāng)n > 1時an = Sn - Sn - 1 = - 2n + 11，若使an = - 2n + 11 ³ 0，則n £ 5.5，即數(shù)列的前5項非負(fù)，以后各項均負(fù)，當(dāng)n 5時，Tn = Sn = 10n - n2，當(dāng)n 6時，Tn = a1 + a2 + + a5 - (a6 + a7 + + an)= 2(a1 + a2 + + a5)

14、- (a1 + a2 + + an)= 2S5 - Sn = 50 - (10n - n2)，故第n組的第一個數(shù)是(n2 - n - 1) + 2 = n2 - n + 19. 設(shè)等差數(shù)列an的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn(1) 若a11 = 0，S14 = 98，求數(shù)列an的通項公式；(2) 若a1 ³ 6，a11 > 0，S14 £ 77，求所有可能的數(shù)列an的通項公式解：(1) 由S14 = 98，得2a1 + 13d = 14，又a11 = a1 + 10d = 0，解得d = - 2，a1 = 20，所以數(shù)列an的通項公式是：an = 22 -

15、2n(2) 由，得，即由 + 得- 7d < 11，即， + 得，又d Î Z，d = - 1，從而得10 < a1 £ 12，由a1 Î Z，得a1 = 11或a1 = 12，故所有可能的數(shù)列an的通項公式是：an = 12 - n和an = 13 - n等比數(shù)列 三、等比數(shù)列1等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比公比通常用字母q表示(q ¹ 0)，即：an + 1an = q (q ¹ 0)注意條件“從第2項起”、“常數(shù)”q

16、由定義可知：等比數(shù)列的公比和項都不為零2等比數(shù)列的通項公式為：an = a1qn - 1 (a1 ¹ 0，q ¹ 0)說明：(1) 由等比數(shù)列的通項公式可知：當(dāng)公比q = 1時，該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；(2) 由等比數(shù)列的通項公式知：若an為等比數(shù)列，則= qn - m，即an = amqn - m3等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項其中G2 = ab，即說明：兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項，它們互為相反數(shù)4等比數(shù)列前n項和公式： (錯位相減法)說明：(1) a1，q，n，Sn中已知三個可求第四個；(2) 注意求和公式中是qn，

17、通項公式中是qn - 1，不要混淆；(3) 應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)分q ¹ 1和q = 1的情況討論5等比數(shù)列的性質(zhì)：(1) 等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果an是等比數(shù)列的第n項，am是等比數(shù)列的第m項，公比為q，則有an = amqn - m(2) 對于等比數(shù)列an，若m + n = s + t (m，n，s，t Î N*)，則am × an = as × at(3) 若an是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，m Î N*，那么當(dāng)q ¹ -1或m為奇數(shù)時，Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比數(shù)列(4) 等比數(shù)列an中，an

18、 + 1 = anq，an + 12 = anan + 2(5) 等比數(shù)列an中，若公比為q，則 當(dāng)a1 > 0，q > 1或a1 < 0，0 < q < 1時為遞增數(shù)列； 當(dāng)a1 < 0，q > 1或a1 > 0，0 < q < 1時為遞減數(shù)列； 當(dāng)q < 0時為擺動數(shù)列； 當(dāng)q = 1時為常數(shù)列10. 求下列各等比數(shù)列的通項公式：(1) a1 = - 2，a3 = - 8； (2) a1 = 5，且2an + 1 = - 3an解：(1) a3 = a1q2 Þ q2 = 4 Þ q = ± 2

19、，an = a1qn - 1，an = - 2n，或an = (- 2)n(2) ，又a1 = 5，11. 已知a1，a2，a3，a8是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比q ¹ 1，則( A   ) Aa1 + a8 > a4 + a5 Ba1 + a8 < a4 + a5 Ca1 + a8 = a4 + a5 Da1 + a8與a4 + a5的大小關(guān)系不確定【分析】比較兩數(shù)大小用到作差比較法解：a1 + a8 = a1 + a1q7 = a1(1 + q7)，a4 + a5 = a1q3 + a1q4 = a1(q3 + q4)，a1 + a8 - (a4

20、 + a5) = a1(1 + q7) - a1(q3 + q4)= a1(1 + q7 - q3 - q4) = a1(1 - q3) (1 - q4)a1，a2，a3，a8的各項均為正數(shù)，a1 > 0，q > 0當(dāng)q > 1時有q3 > 1，q4 > 1，a1(1 - q3) (1 - q4) > 0；當(dāng)0 < q < 1時有q3 < 1，q4 < 1，也有a1(1 - q3) (1 - q4) > 0，對任意正數(shù)q ¹ 1都有a1 + a8 - (a4 + a5) > 0，即a1 + a8 > a4

21、+ a5，故選A12. (2012浙江理13)設(shè)公比為q (q > 0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn若S2 = 3a2 + 2，S4 = 3a4 + 2，則q = _【答案】【解析】將S2 = 3a2 + 2，S4 = 3a4 + 2兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用a1，q表示的式子，即，兩式作差得：a1q2 + a1q3 = 3a1q(q2 - 1)，a1 ¹ 0，q ¹ 0，q + q2 = 3(q2 - 1)，又q > 0，可得q = 3(q - 1)，解之得：13. 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a6 = 9，則log3a1 + log3a2 + + lo

22、g3a10 = ( B )A12 B10 C8 D2 + log35【解析】log3a1 + log3a2 + + log3a10 = log3(a1a2a10) = log3(a5a6)5 = log395 = 1014. 若等比數(shù)列an的公比q < 0，前n項和為Sn，則S8a9與S9a8的大小關(guān)系是( A )AS8a9 > S9a8 BS8a9 < S9a8 CS8a9 = S9a8 D不確定【解析】由等比數(shù)列通項公式與前n項和公式得S8·a9 - S9·a8 = -·a1q8 -·a1q7 = - a12q7又q < 0，

23、則S8·a9 - S9·a8 > 0，即S8·a9 > S9·a815. (2012遼寧理14)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且= a10，2(an + an + 2) = 5an + 1，則數(shù)列an的通項公式為an = _【答案】2n【考點】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及方程思想和邏輯推理能力，屬于中檔題【解析】= a10， (a1q4)2 = a1q9，a1 = q，故an = q n，2(an + an + 2) = 5an + 1，2an(1 + q2) = 5anq，2(1 + q2) = 5q，解得q = 2或q =(舍去)，an

24、 = 2n16. (2011北京理11) 在等比數(shù)列an中，若，a4 = - 4，則公比q = ；| a1 | + | a2 | + + | an | = 【答案】- 2；【解析】由an是等比數(shù)列得a4 = a1q3，又，a4 = - 4，所以- 4 =q3 Þ q = - 2，| an |是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，| a1 | + | a2 | + + | an | 17. (2011江西理18) 已知兩個等比數(shù)列an，bn，滿足a1 = a (a > 0)，b1 - a1 = 1，b2 - a2 = 2，b3 - a3 = 3(1) 若a = 1，求數(shù)列an的通項公

25、式；(2) 若數(shù)列an唯一，求a的值解：(1) 當(dāng)a = 1時，設(shè)an的公比為q，則b1 = 1 + a = 2，b2 = 2 + aq = 2 + q，b3 = 3 + aq2 = 3 + q2，又bn為等比數(shù)列，則b1，b2，b3成等比數(shù)列，得(2 + q)2 = 2(3 + q2)，即q2 - 4q + 2 = 0，解得q1 = 2 +，或q2 = 2 -，所以：an = (2 +)n - 1，或an = (2 -)n - 1(2) 設(shè)an的公比為q，則由(2 + aq)2 = (1 + a)(3 + aq2)，得aq2 - 4aq + 3a - 1 = 0，a > 0， = (4

26、a)2 - 4a(3a - 1) = 4a(a + 1) > 0，故方程有兩個不同的實根，an唯一，方程必有一根為0，將q = 0代入方程得， 等差、等比數(shù)列綜合18. (2010北京文16) (本小題共13分) 已知an為等差數(shù)列，且a3 = - 6，a6 = 0()求an的通項公式；()若等比數(shù)列bn滿足b1 = - 8，b2 = a1 + a2 + a3，求bn的前n項和公式解：() 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因為a3 = - 6，a6 = 0，所以，解得a1 = - 10，d = 2，所以an = - 10 + 2(n - 1) = 2n - 12或：由a6 = a3 + 3d，及

27、a3 = - 6，a6 = 0，得d = 2，an = a6 + 2(n - 6) = 2n - 12或an = a3 + 2(n - 3) = 2n - 12() 設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，因為b2 = a1 + a2 + a3 = - 24，b1 = - 8，所以- 8q = - 24，即q = 3，所以bn的前n項和公式為= 4(1 - 3n)19. 等差數(shù)列an中，a4 = 10且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列an前20項的和S20解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a3 = a4 - d = 10 - d，a6 = a4 + 2d = 10 + 2d，a10 = a4 + 6d = 10 + 6d由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a