因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之 中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法 與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的 思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式 法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、 技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(

2、1) (a+b)(a _b) = a 2-b2a2-b2=(a+b)(a _b);2 2 2 2 2 2(2) (a ± b) = a ± 2ab+ba ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3+b3- a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);22333322(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b a -b =(a -b)(a +ab+b ).下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;333222(6) a +b +c -3abc=(a

3、+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是 ABC的三邊，且a2 b2 c ab bc ca ,則ABC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 二 ab be ca= 2a2 2b2 2c2 二 2ab 2bc 2ca 2 2 2 = (a_b) (b_c) (c_a) =0=a=b = c三、分組分解法.(一) 分組后能直接提公因式例1、分解因式：am a n bm bn分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都含有 b,因此可

4、以考慮將前兩項(xiàng)分為組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=(am +a n) + (bm +b n)=a(m n) b(m n)每組之間還有公因式！=(m n )(a b)例 2、分解因式：2ax -10ay 5by -bx解法一：第一、二項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。解：原式=(2ax -10ay) (5by - bx)解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第二、三項(xiàng)為一組。原式=(2ax - bx) (-10ay 5by)=2a(x-5y) -b(x -5y)=(x _5y)(2a -b)=x(2a -b) -5y(2a -b)=(2a _b)(x_5y)(二) 分組后能直接運(yùn)用公

5、式例3、分解因式：xy2 ax ay分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就 能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。2 2解：原式=(x - y ) (ax ay)=(x y)(x -y) a(x y)=(x y)(x - y a)例4、分解因式：a2 2ab亠b2 c2 解：原式=(a2 - 2ab - b2) - c2=(a-b)2 -c2=(a -b _c)(a -b c)四、十字相乘法.(一)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2 (p q)x pq = (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1 ；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3)

6、 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。例5、分解因式：x2亠5x亠6分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2X 3的分解適合，即2+3=5。12解：x 5x 6 = x (2 3)x 2 313=(x 2)(x 3)1 X 2+1 X 3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：x2 - 7x 6-1-6解：原式=x2 (-1) (-6)x (-1)(-6)=(x _1)(x _6)(-1) + (-6) = -7(二)二

7、次項(xiàng)系數(shù)不為 1的二次三項(xiàng)式 ax2 nbx c條件：(1)(2)(3)分解結(jié)果：a 二 aa2a.c 二 g C2a?，C2b a C2 a? C|b aC2 a?C|ax2 bx c = (a1x G)(a2x c2)例7、分解因式：3x2 -11x 10 分析：1-23產(chǎn)“(-6) + (-5) = -11解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)(三) 二次項(xiàng)系數(shù)為 1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：a2 -8ab - 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。1 A8b1-16b8b+(-16b)= -8b2 2 2解：a8a

8、b1 2 8 = a 8b (16b)a 8b (16b)=(a 8b)(a -16b)222222練習(xí) 8、分解因式(1) x - 3xy 2y (2) m - 6mn 8n a - ab - 6b(四) 二次項(xiàng)系數(shù)不為 1的齊次多項(xiàng)式例 9、2x2 - 7xy 6y21 -2y2 "-3丫 (-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x -2y)(2x -3y)2 2例 10、x y -3xy 2把xy看作一個(gè)整體1-11丿 -2(-1)+(-2)= -32 2(2) a x -6ax 8解：原式=(xy -1)(xy-2)練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2 7xy-4y2五、換

9、元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -1)x-2005(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x22 2解：(1)設(shè) 2005= a，則原式=ax -(a -1)x-a =(ax 1)(x - a)=(2005x 1)(x -2005)(2)型如abcd e的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式=(x2 7x 6)(x2 5x 6) x2設(shè) x2 - 5x：；，6 = A，則 x2 - 7x 九6 = A - 2x原式=(A 2x)A x2 = A2 2Ax x2=(A x)2 = (x2 6x 6)2例 14、分解因式(1) 2x4 -x -6

10、x2 -x - 2觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于x的降幕排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。11 11解：原式=x2(2x2 _x_6牙)=x22(x2 r) _(x _) _6x xxx1 2 1 2設(shè)xt,則x 二t - 2xx原式=x2 (t2 2) -t -6 1= x2 2t2 -t -10=x2(2t5 址+ 2 卜 x2 2x+Z_5i"x+丄+ 2<X人X丿f2、f、22=x2x + -5 ix x+ 2 1=(2x -5x + 2【x +2x + 1)Ix丿

11、I x丿=(x 1)2(2x -1)(x -2)(2) x4 -4x3 x2 4x 1缶r m?-?-22丄彳丄412I/2丄 1!1丄解：原式=x (x _4x +1 + + ) = x .x+| 4x1 +1x x A x J < x；1 2 1 2設(shè) xy，貝V x 2二y 2xx原式=x (y -4y 3) = x (y-1)(y-3)=x2(x -1 1)(x -1 一3) = x2 -x-1 x2 -3x-1xx六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。例15、分解因式(1) x3 -3x2 4解法1拆項(xiàng)。解法2添項(xiàng)。原式=x3 13x23原式=x3 _3x2 _4x 4x 4=(x 1)(x

12、2 -x 1) -3(x 1)(x -1)= X(X2 - 3x - 4) (4x 4)=(x 1)(X2 -x 1 -3x 3)= x(x 1)(x - 4) 4(x 1) = (x 1)(x2 - 4x 4)=(x 1)(x - 4x 4)=(x 1)(x-2)2= (x 1)(x-2)2(2) X9 x6x3 -3解：原式=(x9 -1) (x6 -1) (x3 -1)=(x3-1)(x6x31)(x3 -1)(x31) (x3 -1)=(x3-1)(x6x31x311)=(x -1)(x2x 1)(x6 2x3 3)七、待定系數(shù)法。例 16、分解因式 X - xy _6y2 - x 1

13、3-6分析：原式的前3項(xiàng)x2 + xy6y2可以分為(x+3y)(x2y)，則原多項(xiàng)式必定可分為(x 3y m)(x -2y n)解：設(shè) x2 xy -6y2 x 13y -6 = (x 3y m)(x -2y n) (x 3y m)(x - 2y n) = x xy-6y (m n)x (3n-2m)y -mnx2 xy _6y2 x 13y6 = x2 xy _6y2 (m n)x (3n -2m)y _mnm n = 1 m = -2對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得<|3n - 2m =13，解得丿n = 3m n = -6'原式=(x 3y - 2)(x - 2y 3)例17

14、、(1)當(dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式 x2 - y2 + mx + 5y-6能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。32(2)如果x ax bx 8有兩個(gè)因式為 x 1和x 2，求a b的值。(1 )分析：前兩項(xiàng)可以分解為(xy)(x - y),故此多項(xiàng)式分解的形式必為(x y a)(xy b)解：設(shè) x2 _ y2 mx 5y _6 = (x y a)(x _ y b)2 2 2 2貝 H x - y mx5y_6 = x - y (a b)x (b _ a) y ab|a b = ma = -2a = 2比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得：<b-a=5，解得：<b=3或b = -3ab = -6m = 1m = -1當(dāng)m1時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng) m =1 時(shí)，原式=(x y - 2)(x