圖形的分割與組合

1、圖形的分割與組合圖形的分割與組合是幾何學(xué)中一個(gè)非常有趣味的課題，研究圖形的分割與組合問(wèn)題不僅可以增強(qiáng)幾何圖形的直觀感覺(jué)和判斷能力，豐富對(duì)圖形的想象力，提高數(shù)學(xué)的思維能力，而且還有一定的實(shí)用價(jià)值，對(duì)工廠里的下料、工藝美術(shù)的圖案設(shè)計(jì)都有一定的用處例1 將圖121所示的圖形分成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形分析：如果我們假設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位，要拼成的正方形的面積為16，所以邊長(zhǎng)為4而這個(gè)缺角的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6，寬為3，切分后將右邊向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，作切分時(shí)應(yīng)注意到缺角的特點(diǎn)解：沿圖122中的粗線將原圖分割開(kāi)，把右塊推至左塊之上，拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，如圖123例2 將圖1

2、24中的圖形分成四個(gè)形狀相同，大小相等的四個(gè)部分，然后拼成一個(gè)正方形分析：先考慮面積，因?yàn)镾型圖案由16個(gè)大小一樣的小正方形組成，所以拼成的正方形每邊正好是4個(gè)小正方形把圖124分成大小相等的四個(gè)部分，每部分的面積都是4個(gè)小正方形 再考慮形狀如果能將圖124先分成兩個(gè)面積相等、形狀相同的圖形，然后再將其中的一個(gè)再分成兩個(gè)面積相等、形狀相同的圖形,那么達(dá)到目的了將圖124先分成兩個(gè)面積相等、形狀相同的圖形比較容易只要沿圖124中間的那條橫線的中間剪開(kāi)即可，見(jiàn)圖125現(xiàn)在再將圖125分成兩個(gè)面積相等、形狀相同的圖形，按圖125粗線剪開(kāi)即可解：按圖126將它分成形狀和面積都相同的四個(gè)部分，再按圖12

3、7拼成一個(gè)正方形 例3 有一塊長(zhǎng)6米、寬3米的長(zhǎng)方形地毯，現(xiàn)要把它放到長(zhǎng)4.5米、寬4米的房間中，能否將它剪成形狀相同，大小相等的兩塊，使其正好鋪滿房間分析：因?yàn)樵靥旱拈L(zhǎng)比要拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)多1.5米，寬少1米，所以我們將原地毯分成長(zhǎng)1.5米、寬1米的小長(zhǎng)方形，如圖128這樣分成12個(gè)小長(zhǎng)方形因?yàn)樾碌拈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4.5米、寬4米，長(zhǎng)應(yīng)減少一個(gè)小長(zhǎng)方形，寬應(yīng)增 加一個(gè)小長(zhǎng)方形可以沿對(duì)角線的方向把它剪成呈階梯狀的兩塊，并使它們的形狀和大小完全相同，如圖129，然后把它們錯(cuò)位對(duì)齊，這樣拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖1210解：按圖129中的粗線將長(zhǎng)方形分成兩塊，然后錯(cuò)位對(duì)齊，即可拼成新的長(zhǎng)方形，見(jiàn)圖1

4、210例4 圖1211是一塊正中間開(kāi)有長(zhǎng)方形孔的長(zhǎng)方形木板，尺寸如圖所示（單位：厘米）把它鋸成兩塊，拼成一個(gè)面積為100平方厘米的桌面，如何切分分析：切分前木板面積為120×90-80×10=10000（平方厘米），與拼成后的正方形面積相等拼成的正方形的邊長(zhǎng)為100厘米由于大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比正中間的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的左右分別長(zhǎng)20厘米，正中間的長(zhǎng)方形的寬為10厘米，因此先將圖1211分成20×10的小長(zhǎng)方形，如圖1212因?yàn)槠闯傻恼叫蔚倪呴L(zhǎng)為100厘米，將原大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)去掉一個(gè) 小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬增加一個(gè)小長(zhǎng)方形的寬，采用階梯形分法，分到中間缺損地方時(shí)，要考慮到兩塊的形狀必

5、須相同，如圖1212中的粗線切分，最后拼成一個(gè)正方形，如圖1213解：按圖1212中的粗線分成兩塊，然后錯(cuò)位對(duì)齊，即可拼成新的正方形，如圖1213例5 將圖1214分成大小、形狀相同的四塊，每塊帶黑子和白子各一個(gè)分析：一個(gè)正方形分成四塊，根據(jù)對(duì)稱性，一般是從中心點(diǎn)分開(kāi)的圖中有相同的符號(hào)挨在一起必須分開(kāi)，因此可以先在它們中間畫(huà)上切分線，并將這些切分線繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，得到另外三段切分線，如圖1215按照上述方法，可以畫(huà)出所有這樣的切分線，如圖1216 中間的四個(gè)小方格必然分屬于四小塊，不可能兩格同屬于一塊，因此也要分開(kāi)，由于這個(gè)正方形的面積是6

6、×6=36個(gè)面積單位，因此切分后的每一塊的面積為9個(gè)面積單位，即由9個(gè)小方格組成，不能斷開(kāi)在圖1216的基礎(chǔ)上，從最里層開(kāi)始，沿著切分線，根據(jù)題目要求，就得到答案解：按圖1217中的粗線將正方形分成了大小、形狀相同的四塊，且每塊帶黑子和白子各一個(gè)圖形的分割與組合<練習(xí)題>1將圖1218分成兩塊拼成一個(gè)正方形 2將圖形1219分成四個(gè)形狀、大小相同的圖形，然后拼成一個(gè)正方形3將一塊長(zhǎng)6米、寬3.5米的長(zhǎng)方形剪成形狀相同、面積相等的兩塊，拼成一個(gè)長(zhǎng)為5米、寬為4.2米的新的長(zhǎng)方形4有一個(gè)長(zhǎng)100厘米、寬70厘米的長(zhǎng)方形桌面，中間損壞了一塊現(xiàn)在想在中間挖去一個(gè)長(zhǎng)60厘米，寬10

7、厘米的小長(zhǎng)方形，如圖1220，然后把它分成兩塊，拼成一個(gè)正方形桌子，應(yīng)怎么切拼？5將圖1221所示的正方形分成兩塊，使得這兩塊的形狀和大小都相同，并且每一塊中只含有A、B、C、D、E五個(gè)字母6如圖1222，有兩個(gè)正方形請(qǐng)把每一個(gè)正方形分成兩塊，兩個(gè)正方形共分成四塊，使這四塊的形狀和大小都相同，并且每一塊中都有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字 答案僅供參考：  1切拼方法如圖121 2因?yàn)樾》礁竦膫€(gè)數(shù)是36個(gè)，所以拼成的一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為6個(gè)小方格，將圖12-19分成四個(gè)形狀、大小相同的圖形，只需將圖12-19從圖的對(duì)稱中心切開(kāi)即可，如圖12-2，然后按照?qǐng)D12-3拼成一個(gè)正方形 3因

8、為新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)少1米，寬多0.7米，因此將原長(zhǎng)方形分成長(zhǎng)為1米，寬為0.7米的小長(zhǎng)方形，如圖12-4，按階梯形分法分成相同的兩塊，然后錯(cuò)位對(duì)齊，即可拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖12-54因?yàn)槠闯傻恼叫蔚淖烂娴拿娣e為：100×70-60×10=6400（平方厘米）所以正方形的桌子的邊長(zhǎng)為80厘米 原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少20厘米，寬增加10厘米將原長(zhǎng)方形分成長(zhǎng)為20厘米，寬為10厘米的小長(zhǎng)方形，利用階梯形分法，分到中間缺損地方時(shí)，要考慮到兩塊的形狀必須相同，按如圖12-6中的粗線切分，最后拼成一個(gè)正方形，如圖12-7 5圖中有相同的字母挨在一起時(shí)，要從它們之間切開(kāi)，因此先在它們之間畫(huà)上切分線，然后將這些切分線繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到一些切分線，根據(jù)切分線進(jìn)行切分，分成形狀、大小相同的兩塊，每塊有18個(gè)小方格本題有兩種切法，如圖12-8（1）、（2）6把兩個(gè)正方形疊在一起考慮為了便于區(qū)別