中考數(shù)學(xué)專題：相似三角形判定在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題(解析版)

1、專題37 相似三角形判定在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)O、點(diǎn)A （2，4）、點(diǎn)B （3，3），與x軸交于點(diǎn)C，直線AB交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）直線AFx軸，垂足為點(diǎn)F，AF上取一點(diǎn)G，使GBAAOD，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)； （3）過(guò)直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N，若BMN=OAF，求直線BM的函數(shù)表達(dá)式【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， 83）；（3）y=13x2或y=-3x+6【解析】（1）解：將原點(diǎn)O（0,0）、點(diǎn)A （2，4）、點(diǎn)B （3，3），分別代入y=ax2

2、+bx+c，得 ，解得 ，y=x2-4x= ，頂點(diǎn)為（2，-4）.（2）解：設(shè)直線AB為y=kx+b，由點(diǎn)A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ，直線AB為y=x-6.當(dāng)y=0時(shí)，x=6，點(diǎn)D（6，0）.點(diǎn)A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，DF=AF，又AFx軸，AD0=DAF=45，GBAAOD， ， ，解得 ，F(xiàn)G=AF-AG=4- ，點(diǎn)G（2， ）.（3）解：如圖1，BMN=OAF， ，MBN=AOF，設(shè)直線BM與AF交于點(diǎn)H，ABH=AOD，HAB=ADO， ，則 ，解得AH= ，H（2， ）.設(shè)直線

3、BM為y=kx+b，將點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入得 ，解得 直線BM的解析式為y= ；如圖2，BD=AD-AB= BMN=OAF，GDB=ODA，HBDAOD ，即 ，解得DH=4點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得： ，解得k=-3，b=6直線BM的解析式為y=-3x+6綜上所述，直線MB的解析式為y= 或y=-3x+62、在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，-6），L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為.（1）求拋物線L的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PDy軸，垂足為D.若POD與AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

4、.【答案】(1) y=x25x6；(2)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。【思路引導(dǎo)】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；(2)由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A(3，0)、B(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L的表達(dá)式為yx25x6，設(shè)P(m，m25m6)(m0)，根據(jù)PDy軸，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m25m6)，可得PDm，ODm25m6，再由RtPOD與RtAOB相似，分RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可得.【解析】 (1)由題意，得，解得：，L：

5、y=x25x6；(2)拋物線L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為，點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A(3，0)、B(0，6)，設(shè)拋物線L的表達(dá)式y(tǒng)x2bx6，將A(3，0)代入yx2bx6，得b5，拋物線L的表達(dá)式為yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，設(shè)P(m，m25m6)(m0)，PDy軸，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO與RtAOB相似，有RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，當(dāng)RtPDORtAOB時(shí)，則，即，解得m11，m26，P1(1，2)，P2(6，12)；當(dāng)RtODPRtAOB時(shí)，則，即，解得m3，m4

6、4，P3(，)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【方法總結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的特點(diǎn)、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確把握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.3、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，直線交二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)C為的中點(diǎn). （1）求的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）

7、或；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，如圖1，易求出拋物線的對(duì)稱軸，可得OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出m的值；（2）設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QHx軸于點(diǎn)H，利用可得關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，注意到，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由此可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)為x軸上方的點(diǎn)時(shí)，若存在點(diǎn)P，可先求出直線BQ的解析式，由BPBQ可求得直線BP的解析式，然后聯(lián)立直線BP和拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再計(jì)算此時(shí)兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊

8、是否成比例即可判斷點(diǎn)P是否滿足條件；當(dāng)點(diǎn)Q取另外一種情況的坐標(biāo)時(shí)，再按照同樣的方法計(jì)算判斷即可.【解析】解：（1）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，如圖1，軸，拋物線的對(duì)稱軸是直線，OE=1，將點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式得：，；（2）設(shè)，點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QHx軸于點(diǎn)H，解得：或（舍），；點(diǎn)在軸下方時(shí)，OA=1，OC=3，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，；（3）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，若存在點(diǎn)P，使，則PBQ=COA=90，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得：，不存在； 當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程

9、組：，解得：，不存在.綜上所述，不存在滿足條件的點(diǎn)，使.【方法總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵.4、如果一條拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，a，b，c稱為“拋物線系數(shù)”（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是_（填“真”或“假”）命題；（2）若一條拋物線系數(shù)為1，0，2，則其“拋物線三角形”的面積為_(kāi)；（

10、3）若一條拋物線系數(shù)為1，2b，0，其“拋物線三角形”是個(gè)直角三角形，求該拋物線的解析式；（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸交于O，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)P作PQx軸于點(diǎn)Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）假；（2）22；（3）yx22x 或yx22x；（4）P（1，1）或P（1，3）或P（1，3）或（1，1）【解析】（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：y=x22，令y=0，得：x=2， S=12222=22；（3）依題意：yx22bx，它與x軸交于點(diǎn)

11、（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=(xb)2+b2，頂點(diǎn)為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：b2=122b，b2=b，解得：b0（舍去）或b1，yx22x 或yx22x（4）當(dāng)拋物線為yx22x 時(shí)AOB為等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0），則a22a2a，即a(a2)=a2a20，a=1，a=1，P（1，1）或（1， 3）當(dāng)拋物線為yx22x 時(shí)AOB為等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，a22a），Q（a，0

12、），則a22a2+a，即a(a+2)=a+2a+20，a=1，a=1，P（1，3，）或（1，1）綜上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3，）或（1，1）5、如圖1，一次函數(shù)yx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，拋物線yax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)為C，其圖象過(guò)A、D兩點(diǎn)，并與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)B（B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)），若ABAD=23；（1）求此拋物線的解析式；（2）連結(jié)AC、BD，問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，使A、C、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與ABD相似如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖2，若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AD下方，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)P

13、作y軸的平行線l與直線AD交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在直線AD上，且滿足MPNABD，求MPN面積的最大值【答案】（1）yx24x+3；（2）見(jiàn)解析;（3）MPN的面積的最大值為:24364【解析】（1）當(dāng)x0時(shí)，yx+33，則D（3，0）；當(dāng)y0時(shí)，x+30，解得x3，則A（3，0），ODOA，OAD為等腰直角三角形，AD32，ABAD=23，AB2，B（1，0），設(shè)拋物線解析式為ya（x1）（x3），把D（0，3）代入得a（1）（3）3，解得a1，拋物線解析式為y（x1）（x3），即yx24x+3；（2）作CHx軸，如圖1，yx24x+3（x2）21，C（2，1）AHCH1，ACH為等腰直角三角形，C

14、AH45，AC2，OAD為等腰直角三角形，DAO45，CAQDAB，當(dāng)AQAD=ACAB時(shí)，AQCADB，即AQ32=22，解得AQ3，此時(shí)Q（0，0）；當(dāng)AQAB=ACAD時(shí)，AQCABD，即AQ2=232，解得AQ23，此時(shí)Q（73，0）；綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（73，0）；（3）作PEAD于E，如圖2，MPNABD，MNAD=MPAB，MN322MP，設(shè)P（x，x24x+3），則M（x，x+3），MPx+3（x24x+3）x2+3x（x32）2+94，當(dāng)x32時(shí)，MP有最大值94，MN的最大值為322942728，PME45，PE22PM，PE的最大值為2294928，MPN

15、的面積的最大值為12272892824364 6、已知，拋物線（a0）與x軸交于A（3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE=（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求證：直線DE是ACD外接圓的切線；（3）在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，使，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與ACD相似，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)【答案】（1），頂點(diǎn)D（1，4）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）P（，）或（，）；（4）（0，0）或（9，0）或（0，）【解析】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，點(diǎn)A（3，0），根據(jù)

16、拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OA=3，將A（3，0），B（1，0）代入拋物線解析式中得：，解得：，拋物線解析式為；當(dāng)x=1時(shí)，y=4，頂點(diǎn)D（1，4）（2）當(dāng)=0時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），AC= =，CD=，AD= =，AC2+CD2=AD2，ACD為直角三角形，ACD=90，AD為ACD外接圓的直徑，點(diǎn)E在 軸C點(diǎn)的上方，且CE=，E（0，），AE= =，DE= =，DE2+AD2=AE2，AED為直角三角形，ADE=90，ADDE，又AD為ACD外接圓的直徑，DE是ACD外接圓的切線；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：，直線AC的解析式為y=x+3，

17、A（3，0），D（1，4），線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），過(guò)點(diǎn)N作NPAC，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)直線NP的解析式為y=x+c，則2+c=2，解得：c=4，直線NP的解析式為y=x+4，由y=x+4，y=x2+2x+3聯(lián)立得：x2+2x+3=x+4，解得：x=或x=，y=，或y=，P（，）或（，）；（4）分三種情況：M恰好為原點(diǎn)，滿足CMBACD，M（0，0）；M在x軸正半軸上，MCBACD，此時(shí)M（9，0）；M在y軸負(fù)半軸上，CBMACD，此時(shí)M（0，）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，）7、如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三點(diǎn)(1)求出拋物線的

18、解析式；(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 (1) y12x252x2;(2)點(diǎn)P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).【解析】解：(1)該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0，2)，可設(shè)該拋物線的解析式為yax2bx2.將A(4，0)，B(1，0)代入，得16a+4b2=0a+b2=0，解得 a=12b=52 ，此拋物線的解析式為y12x252x2.(2)存在， 設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12m252m2，當(dāng)1m4時(shí)，AM4m，PM12m252m2.

19、又COAPMA90，當(dāng)AMPMAOOC21時(shí)，APMACO，即4m2(12m252m2)解得m12，m24(舍去)，P(2，1) 當(dāng)AMPMOCOA12時(shí)，APMCAO，即2(4m)12m252m2.解得m14，m25(均不合題意，舍去)，當(dāng)1m4時(shí)，P(2，1) 類似地可求出當(dāng)m4時(shí)，P(5，2) 當(dāng)m1時(shí)，P(3，14)或P(0，2)， 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).8、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（9，10），ACx軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P且與

20、y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1) 拋物線的解析式為y=x2-2x+1，(2) 四邊形AECP的面積的最大值是，點(diǎn)P（，）；(3) Q（4,1）或（-3，1）.【解析】解：(1)將A(0，1)，B(9，10)代入函數(shù)解析式得：819bc10，c1，解得b2，c1，所以拋物線的解析式y(tǒng)x22x1；(2)ACx軸，A(0，1)，x22x11，解得x16，x20(舍)，即C點(diǎn)坐標(biāo)為(6

21、，1)，點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(9，10)，直線AB的解析式為yx1，設(shè)P(m，m22m1)，E(m，m1)，PEm1(m22m1)m23m.ACPE，AC6，S四邊形AECPSAECSAPCACEFACPFAC(EFPF)ACEP6(m23m)m29m.0m6，當(dāng)m時(shí)，四邊形AECP的面積最大值是，此時(shí)P()；(3)yx22x1(x3)22，P(3，2)，PFyFyp3，CFxFxC3，PFCF，PCF45，同理可得EAF45，PCFEAF，在直線AC上存在滿足條件的點(diǎn)Q，設(shè)Q(t，1)且AB，AC6，CP，以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，當(dāng)CPQABC時(shí)，CQ:ACCP:AB，(6t

22、):6，解得t4，所以Q(4，1)；當(dāng)CQPABC時(shí)，CQ:ABCP:AC，(6t)6，解得t3，所以Q(3，1).綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，1)或(3，1).9、如圖，已知直線y=2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D（1）若拋物線的解析式為y=2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B

23、、P、D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）M(12,92) N(12,3) 答案見(jiàn)解析 （2）存在，y=2x2+2x+4或y=52x2+3x+4【解析】（1）如圖1，y=2x2+2x+4=2(x12)2+92，頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為(12，92)，當(dāng)x=12時(shí)，y=212+4=3，則點(diǎn)N坐標(biāo)為(12，3)；不存在理由如下：MN=923=32，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m+4)，則D(m,2m2+2m+4)，PD=2m2+2m+4(2m+4)=2m2+4m，PD/MN，當(dāng)PD=MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即2m2+4m=32，解得m1

24、=12（舍去），m2=32，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(32，1)，PN=(1232)2+(31)2=5，PNMN，平行四邊形MNPD不為菱形，不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；（2）存在如圖2，OB=4，OA=2，則AB=22+42=25，當(dāng)x=1時(shí)，y=2x+4=2，則P(1,2)，PB=12+(24)2=5，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4，把A(2,0)代入得4a+2b+4=0，解得b=2a2，拋物線的解析式為y=ax22(a+1)x+4，當(dāng)x=1時(shí)，y=ax22(a+1)x+4=a2a2+4=2a，則D(1,2a)，PD=2a2=a，DC/OB，DPB=OBA，當(dāng)PDBO=PBBA時(shí)，P

25、DBBOA，即a4=525，解得a=2，此時(shí)拋物線解析式為y=2x2+2x+4；當(dāng)PDBA=PBBO時(shí)，PDBBAO，即a25=54，解得a=52，此時(shí)拋物線解析式為y=52x2+3x+4；綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y=2x2+2x+4或y=52x2+3x+410、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作PEx軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；

26、（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）PG=；（3）存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與DEH相似，此時(shí)m的值為1或【解析】解：（1）拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），解得.拋物線的解析式為.（2）E（m，0），B（0，4），PEx軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，P（m，），G（m，4）.PG=.（3）在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與DEH相似，當(dāng)y=0時(shí)，解得x=1或3.D（3，0）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，3m0設(shè)直線B

27、D的解析式為y=kx+4，將D（3，0）代入，得3k+4=0，解得k=.直線BD的解析式為y=x+4. H（m，m+4）分兩種情況：如果BGPDEH，那么，即.由3m0，解得m=1.如果PGBDEH，那么，即.由3m0，解得m=綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與DEH相似，此時(shí)m的值為1或11、如圖，一次函數(shù)yx2的圖象與二次函數(shù)yax2+bx4的圖象交于x軸上一點(diǎn)A，與y 軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)C已知二次函數(shù)yax2+bx4的圖象與y軸交于點(diǎn)D，對(duì)稱軸為直線xn（n0），n是方程2x23x20的一個(gè)根，連接AD（1）求二次函數(shù)的解析式（2）當(dāng)SACB

28、3SADB 時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）試判斷坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點(diǎn)C，使得以點(diǎn)A、B、C組成的三角形與ADB 相似？若存在，試求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y2x2+2x4；（2）點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）；（3）在 x 軸上有一點(diǎn) C（4，0）或（6，0），使得以點(diǎn) A、B、C 組成的三角形與ADB 相似【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，則x=-2A（-2，0）由2x2-3x-2=0，得x1=-12，x2=2，二次函數(shù)y=ax2+bx-4的對(duì)稱軸為直線x=-12，4a2b40b2a12，解得a2b2，二次函數(shù)的解析式為：y=2x2+2x-4；（2）SAD

29、B=12BDOA=2，SACB=3SADB=6點(diǎn)C在x軸上，SACB=12ACOB=122AC=6，AC=6點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），當(dāng)SACB=3SADB時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）或（-8，0）；（3）存在理由：令x=0，一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B（0，-2），AB=22+22=22，OAB=OBA=45在ABD中，BAD、ADB都不等于45，ABD=180-45=135，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊AC與BD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，ADBBCA，ACAB=ABBD=1，AC=BD=2，OC=OA+AC=2+2=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0）當(dāng)AC與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，ADBCBAACAB=ABBD=222，AC=2AB

30、=222=4，OC=OA+AC=2+4=6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，0）綜上所述，在x軸上有一點(diǎn)C（-4，0）或（-6，0），使得以點(diǎn)A、B、C組成的三角形與ADB相似12、如圖，拋物線（a0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)

31、的三角形和AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0m3）；（3）存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）拋物線（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），解得拋物線的解析式為（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，A（3，0），點(diǎn)C（0，4），解得直線AC的解析式為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的條件下，連接PC，在C

32、D上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似理由如下：由題意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似，分兩種情況：若PFCAEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90PCM為直角三角形若CFPAEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM為等腰三角形

33、綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形13、如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x2交于B，C兩點(diǎn)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；求證：ABC是直角三角形；若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)y=x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過(guò)程略；(3)（53，0）或（73，0）或（1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，又拋物線

34、過(guò)原點(diǎn)，0=a（0-1）2+1，解得a=-1，拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得y=x2+2xy=x2 ,解得x=2y=0或x=1y=3 ,B（2，0），C（-1，-3）；（2）如圖，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，-x2+2x），ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分別求得AB=2 ，BC=32，MNx軸于點(diǎn)NABC=MNO=90，當(dāng)ABC和MNO相似時(shí)