題組8隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)

1、題組隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)一、考法解法(一)命題特點(diǎn)分析1、考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本方法與用樣本估計(jì)總體的思想：抽樣方法及抽樣中的計(jì)算，以分層抽樣為主；頻率分布直方圖的識(shí)讀與計(jì)算；莖葉圖的識(shí)讀與計(jì)算；樣本數(shù)字特征的計(jì)算.2、考查變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例：主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和簡(jiǎn)單應(yīng)用.3、考查隨機(jī)變量及其分布：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差.幾種常見(jiàn)的分布（超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等）.這一部分是高考的重點(diǎn)必考內(nèi)容，一般要命制一個(gè)大題.(二)解題方法薈萃1、統(tǒng)計(jì)知識(shí)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)放在理清基本概念、方法上，特別是分層抽樣、頻率分布直方圖與樣本的平均數(shù)、樣本的方差等基礎(chǔ)知識(shí)一定要熟練掌握.2、離散型隨機(jī)變

2、量及其分布列是高考必考內(nèi)容，應(yīng)將每一種概率分布和條件概率的特點(diǎn)弄清楚，能熟練地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率問(wèn)題.二、真題剖析1、（2015新課標(biāo)I卷理科）投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試，已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（） B. 答案：A解析：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率的求法，屬于常見(jiàn)題型，較簡(jiǎn)單.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在相同條件下各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)；每次試驗(yàn)只有“成功”或“失敗”兩種可能結(jié)果；每次試驗(yàn)“成功”的概率都p，“失敗”的概率為1-p.2、（2015新課標(biāo)I卷理科）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，

3、需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷售量（單位：）和年利潤(rùn)（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，5631469表中。（）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（）根據(jù)（）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與的關(guān)系為，根據(jù)（）的結(jié)果回答下列問(wèn)題；（i）年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（ii）年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的余率和減距的最小二乘估計(jì)分別為。解析：（）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為年銷售量

4、關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型.（）令w=，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于，所以關(guān)于的回歸方程為，因此關(guān)于的回歸方程為（）（i）由（）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值（ii）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故年宣傳費(fèi)為千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的應(yīng)用、散點(diǎn)圖、回歸方程以及根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)等統(tǒng)計(jì)知識(shí)，符合概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想：數(shù)據(jù)的收集與整理數(shù)據(jù)的分析與處理根據(jù)結(jié)論做出判斷.題目有一定的難度，屬中檔題.3、（2013新課標(biāo)I卷理科）為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到

5、該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是( )A簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B按性別分層抽樣C按學(xué)段分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣答案：C解析：因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽樣方法的特點(diǎn)及適用情況，由于學(xué)生視力男女差異不大，但小初高學(xué)生視力差異較大，故應(yīng)按學(xué)段進(jìn)行分層抽樣.題目比較簡(jiǎn)單，屬容易題.4、（2014新課標(biāo)I卷理科）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量

6、指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（II）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.(i)利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求.附：12.2.若，則，=0.9544.解析：(I) 抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為（II）（）由(I)知，從而.（）由（）知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（）的概率為依題意知，所以.點(diǎn)評(píng)：本題信息量很大，包含抽樣、頻率分布直方圖、樣本均值與方差、正態(tài)分布、數(shù)學(xué)期

7、望等，但只是考查的層次不是很深刻，只要掌握基本概念和公式即可輕松應(yīng)對(duì).5、（2012新課標(biāo)I卷理科）某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式. （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店

8、計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由.解析:（1）當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.得：（2）（i）可取，.的分布列為（ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為因?yàn)椋曰ǖ昝刻鞈?yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查分段函數(shù)、隨機(jī)變量的分布列、期望、方差等知識(shí)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)際的應(yīng)用.符合概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想：數(shù)據(jù)的收集與整理數(shù)據(jù)的分析與處理根據(jù)結(jié)論做出判斷.題目有一定的難度，屬中檔題.三、高考圈題1、將參加夏令營(yíng)的500名學(xué)生分別編號(hào)為001，002，500，這500名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到200在第一營(yíng)區(qū)，從201到350在第二營(yíng)區(qū)，從351到500在第三營(yíng)區(qū)若采用分

9、層抽樣的方法抽取一個(gè)容量50的樣本，則三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽取的人數(shù)分別為( )A20，15，15 B20，16，14C12，14，16 D21，15，14圈題理由：高考對(duì)抽樣方法的考查主要集中在分層抽樣和系統(tǒng)抽樣上.本題比較簡(jiǎn)單，屬容易題.答案：A解析：根據(jù)分層抽樣是按比例抽取的特點(diǎn)，可知三個(gè)營(yíng)區(qū)分別應(yīng)抽取的人數(shù)為20，15，15.2、為了解今年某校高三畢業(yè)班報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3組的頻率之比為1：2：3，其中第2組的頻數(shù)為12.（I）求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；（II）以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行

10、員的同學(xué)中（人數(shù)很多）任選三人，設(shè)X表示體重超過(guò)60公斤的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.圈題理由：本題把概率和統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，既有統(tǒng)計(jì)中的計(jì)算，又有分布列和數(shù)學(xué)期望的考查，符合高考考查的特點(diǎn).解析:（I）設(shè)報(bào)考飛行員的人數(shù)為,前三小組的頻率分別為，則由條件可得：解得，又因?yàn)楣?(II)由（I）可得，一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60公斤的概率為，隨機(jī)變量X的分布列為：P則，或3、如圖所示是2014年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為( )A85，84 B84，85 C86，84 D84，86圈題理

11、由：莖葉圖是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中常用的一種統(tǒng)計(jì)圖表，高考中對(duì)莖葉圖的考查也比較頻繁，屬于高頻考點(diǎn).答案：A解析：由題意可知，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為85，眾數(shù)為84.四、分層訓(xùn)練1、從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)由圖中數(shù)據(jù)可知a_.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在140,150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_(kāi)答案：3解析：由所有小矩形面積為1不難得到a，而三組身高區(qū)間的人數(shù)比為3：2：1，由分層抽樣的原理不難得到140,150區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為3人2、如圖是根據(jù)某校1

12、0位高一同學(xué)的身高(單位：cm)畫(huà)出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)生身高的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生身高的個(gè)位數(shù)字，從圖中可以得到這10位同學(xué)身高的中位數(shù)是()A161 cmB162 cmC163 cm D164 cm答案：B解析：通過(guò)莖葉圖可知這10位同學(xué)的身高是155 cm，155 cm，157 cm,158 cm,161 cm,163 cm,163 cm,165 cm,171 cm,172 cm.這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是將這些數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)排列后中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為161 cm和163 cm這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以應(yīng)選B.3、已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)

13、和近視情況分別如圖所示為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A200，20B100，20C200，10D100，10答案：A解析：本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的實(shí)際應(yīng)用根據(jù)圖題中的圖知該地區(qū)中小學(xué)生一共有10 000人，由于抽取2%的學(xué)生，所以樣本容量是10 000×2%200.由于高中生占了50%，所以高中生近視的人數(shù)為2000×2%×50%20.4、由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.x5y則丟失的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次為_(kāi)答案：2和5解

14、析：由于0.x5y1，得0.x5y，于是兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為2和5.5、如圖是某青年歌手大獎(jiǎng)賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個(gè))，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2，則一定有()Aa1>a2 Ba2>a1 Ca1a2 Da1，a2的大小與m的值有關(guān)答案：B解析：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲選手葉上的數(shù)字之和是20，乙選手葉上的數(shù)字之和是25，故a2>a1.故選B.6、假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下

15、：(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200h，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率解析：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的概率為.(2)根據(jù)抽樣結(jié)果，壽命大于200h的產(chǎn)品有7570145個(gè)，其中甲品牌產(chǎn)品是75個(gè)，所以在樣本中，壽命大于200h的產(chǎn)品是甲品牌的頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以已使用了200h的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為.7、某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，將其物理成績(jī)(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的

16、信息，回答下列問(wèn)題：(1)求分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試中的平均分解析：(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有0.015×20.005)×10x1，可得x，所以頻率分布直方圖如圖所示(2)平均分為：x71(分)8、甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號(hào)召，決定各購(gòu)置一輛純電動(dòng)汽車.經(jīng)了解目前市場(chǎng)上銷售的主流純電動(dòng)汽車，按續(xù)駛里程數(shù)R（單位：公里）可分為三類車型，A：80R150，B：150R250， C：R250甲從A，B，C三類車型中挑選，乙從B，C兩

17、類車型中挑選，甲、乙二人選擇各類車型的概率如下表：若甲、乙都選C類車型的概率為.（）求，的值；（）求甲、乙選擇不同車型的概率；（）某市對(duì)購(gòu)買純電動(dòng)汽車進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：車型ABC補(bǔ)貼金額（萬(wàn)元/輛）3 4 5 記甲、乙兩人購(gòu)車所獲得的財(cái)政補(bǔ)貼和為X，求X的分布列解析：（）因?yàn)?所以，（）設(shè)“甲、乙選擇不同車型”為事件A，則所以甲、乙選擇不同車型的概率是（）X可能取值為7，8，9，10，；所以X的分布列為：X78910P9、一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)

18、2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解析：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另1天銷售量低于50個(gè)”因此P(A1)0.002)×50，P(A2)0.003×50，P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.(2)X可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為P(X0)C·(10.6)3，P(X1)C·0.6(10.6)2，P(X2)C2(10.6)，P(X3)C30.216.X的分布列為X0123P因?yàn)閄B(3，0.6)，所以期望E(X)，方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.10、某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量