導(dǎo)體和電介質(zhì)2008

1、電荷激發(fā)電場，靜止電荷激發(fā)靜電場, 靜電場用電場強(qiáng)度和電勢描述;電荷分布決定電場分布情況，電場也影響電荷分布。(本章討論導(dǎo)體和電介質(zhì)的靜電特性)導(dǎo)體中存在自由電荷，在電場作用下電荷分布變化，電場發(fā)生改變。電介質(zhì)中幾乎沒有自由電荷，在外電場作用下介質(zhì)分子內(nèi)電荷能在很小范圍內(nèi)重新分布，使電場發(fā)生改變。-教學(xué)目標(biāo)：* 了解靜電場中導(dǎo)體的靜電平衡條件以及靜電屏蔽現(xiàn)象。* 了解電介質(zhì)極化及其微觀解釋。* 了解介質(zhì)中的高斯定理和安培環(huán)路定理。 * 理解電容的定義及其物理意義。* 了解靜電場的物質(zhì)性。理解電能密度的概念。* 在簡單對稱情況下，能計算靜電場里貯存的場能。教學(xué)內(nèi)容(5學(xué)時)：§9-1靜

2、電場中的導(dǎo)體§9-2 電介質(zhì) 電介質(zhì)中的高斯定理§9-3 電容器§9-4 靜電場中的能量教學(xué)重點(diǎn)：* 理解靜電場中導(dǎo)體的靜電平衡條件；* 理解電位移矢量、介質(zhì)中的高斯定理及其應(yīng)用；* 理解電容和電容器的概念，掌握電容的計算；* 理解電場能量和電能密度。作業(yè)：9-04)、9-06)、9-12)、9-14)、9-16)、 9-19)、9-21)、9-29)、9-36)、9-42)。-§9-1 靜電場中的導(dǎo)體導(dǎo)體靜電感應(yīng)感應(yīng)電荷附加電場靜電平衡(導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡后，導(dǎo)體的電場及電荷分布滿足一定的條件)電荷守恒定律一 導(dǎo)體靜電平衡條件(a) 原來的電場 (b)

3、放入導(dǎo)體球后的電場1) 場強(qiáng)條件靜電平衡導(dǎo)體中的電場強(qiáng)度為零，導(dǎo)體表面的場強(qiáng)與表面垂直。2) 電勢條件靜電平衡的導(dǎo)體是一個等勢體，表面是一個等勢面。推論一 靜電平衡導(dǎo)體內(nèi)各處的凈電荷為零，電荷只分布于導(dǎo)體表面。推論二 靜電平衡導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度的大小與表面電荷密度的關(guān)系為： () （9-1） 圖9-3 導(dǎo)體表面附近的電場 (若沒有其它電場的影響，導(dǎo)體上曲率越大的地方電荷面密度也越大)例 有兩塊面積較大的導(dǎo)體薄板平行放置，面積均為S，距離為d(見圖)。若給a板電荷Qa，b板電荷Qb， (1) 求導(dǎo)體板四個表面電荷分布、空間的場強(qiáng)分布及兩板之間的電勢差；(2) 若b板接地，再求電荷分布、場強(qiáng)分

4、布及兩板電勢差。 解 (1) 不考慮邊緣效應(yīng)，靜電平衡時電荷將分布在導(dǎo)體板的表面上形成四個均勻帶電平面，設(shè)電荷面密度分別為、。由電荷守恒定律可知:(1)(2)由靜電平衡條件，導(dǎo)體板內(nèi)的A點(diǎn)和B點(diǎn)的場強(qiáng)為零，先分析A點(diǎn)的場強(qiáng):A點(diǎn)的場強(qiáng)由四個均勻帶電平面場強(qiáng)迭加，向右為正，則: 在A點(diǎn)的場強(qiáng)為: 在A點(diǎn)的場強(qiáng)為: 依次類推，A點(diǎn)的合場強(qiáng)為: 故有: (3)同理，B點(diǎn)場強(qiáng)為:(4)聯(lián)解四式可得: 兩板左邊的場強(qiáng): 兩板之間的場強(qiáng): 兩板右邊的場強(qiáng): （可驗(yàn)證三區(qū)間的場強(qiáng)與附近導(dǎo)體表面電荷密度關(guān)系均滿足: ）兩板之間的電勢差: (2) 若將B板接地可考慮作一個延伸到無窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)體，若以無窮遠(yuǎn)處作為電

5、勢零點(diǎn)，則地面和接地的導(dǎo)體電勢均為零。此時B板右表面的電荷應(yīng)為零, 即否則將有電場線由B板向右延伸到無窮遠(yuǎn)處，按電場線電勢降落的結(jié)論，意味B板電勢與無窮遠(yuǎn)的電勢不同，這顯然不符合等勢條件。此時 (2)式由于B板和地面交換電荷已不成立，而(1)、(3)、(4)式仍成立。注意到已有，可解得: 即電荷分布集中于兩導(dǎo)體板的內(nèi)側(cè)(一個典型的平板電容器的電荷分布)。進(jìn)而可求出三個區(qū)域此時的場強(qiáng)為: 兩板間的電勢差為: 二 導(dǎo)體空腔 靜電屏蔽一個達(dá)到靜電平衡的導(dǎo)體空腔能隔斷空腔內(nèi)和空腔外電荷的相互影響_靜電屏蔽 三種靜電屏蔽現(xiàn)象(1) 空腔外電荷對空腔內(nèi)無影響證明: 空腔內(nèi)的場強(qiáng)也為零。在導(dǎo)體中作一閉合曲面

6、S包圍空腔，由高斯定理可知，由于曲面S上的場強(qiáng)為零故電場通量為零，所以S內(nèi)的凈電荷為零。由于空腔內(nèi)沒有電荷，這表明空腔內(nèi)表面的凈電荷也為零?？疾焓欠窨赡茉趦?nèi)表面上存在等值異號電荷分布而在空腔內(nèi)形成電場？如果真是這樣，正電荷將發(fā)出電場線，由于導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為零，意味著電場線不能穿過導(dǎo)體而只終止于同樣位于空腔內(nèi)表面負(fù)電荷上，違背導(dǎo)體等勢條件，所以：空腔內(nèi)表面也不能有電荷分布。(2) 空腔內(nèi)電荷對空腔外無影響 導(dǎo)體球接地證明: 在導(dǎo)體中作一閉合曲面包圍空腔，由高斯定理可知，曲面內(nèi)凈電荷為零，即空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷應(yīng)與空腔內(nèi)部的電荷等值異號，即為。按電荷守恒定律，空腔外表面有感應(yīng)電荷，并在空腔外產(chǎn)生一電場

7、。把導(dǎo)體球接地(圖b)，這時外表面的感應(yīng)電荷被中合，導(dǎo)體電勢為零。同于空腔外沒有電荷分布，所以也沒有電場，可見：一個接地的導(dǎo)體空腔能屏蔽空腔內(nèi)電荷對外部的影響。(3) 導(dǎo)體空腔屏蔽了內(nèi)外電荷相互影響證明: 按靜電屏蔽，如把空腔中點(diǎn)電荷移到球心，則腔內(nèi)表面 電荷均勻分布，腔內(nèi)電場是一對稱點(diǎn)電荷電場而不受到空腔外電荷的非對稱性影響。如腔內(nèi)電荷不在球心并把腔外點(diǎn)電荷移到遠(yuǎn)處，腔外表面電荷均勻分布，腔外電場將是一均勻帶電球面電場而不受腔內(nèi)電荷的非對稱性的影響。-例 一半徑為R1的導(dǎo)體球帶有電量q，球外有一內(nèi)、外半徑為R2和R3的同心導(dǎo)體球殼帶電為Q；1) 求導(dǎo)體球和和球殼的電勢；2) 若用導(dǎo)線連接球和

8、球殼，再求它們的電勢； 3) 若不是連接而是使外球接地，再求它們的電勢。解(1) 由靜電平衡條件可知電荷只分布于導(dǎo)體表面。在球殼中作一閉合曲面可求得球殼內(nèi)表面感應(yīng)電荷為。由電荷守恒，球殼外表面電量為。由于球和球殼同心放置，滿足球?qū)ΨQ性，故電荷均勻分布形成三個均勻帶電球面（見圖a）。用電勢迭加原理可直接求出導(dǎo)體球的電勢為: 導(dǎo)體球殼的電勢為:(2) 若用導(dǎo)線連接球和球殼，球上電荷q和球殼內(nèi)表面電荷中合，電荷只分布于球殼外表面（見圖b）。此時球和球殼的電勢相等，為:(3) 若使球殼接地，球殼外表面電荷被中合，只有球和球殼的內(nèi)表面帶電(見圖c)，此時球殼電勢為零球的電勢為:（可先求空間場強(qiáng)分布，再用

9、電勢定義 用場強(qiáng)積分求出電勢）例 一半徑為R的導(dǎo)體球原來不帶電，在球外距球心為d處放一點(diǎn)電荷，求：球的電勢。若將球接地，求：其上的感應(yīng)電荷。解：*由于導(dǎo)體球是一個等勢體，故只要求得球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢，為球的電勢。此球心電勢可用電勢迭加原理求出，它等于點(diǎn)電荷在球心提供的電勢與導(dǎo)體球在球心提供的電勢的代數(shù)和。若導(dǎo)體球上的總電量為Q，由于Q只分布在球表面，故它在球心提供電勢為球面上各微元電荷在球心提供微元電勢積分因球上原來不帶電即總電量Q = 0，故導(dǎo)體球在球心提供的電勢為零，只有點(diǎn)電荷在球心提供電勢: * 若將導(dǎo)體球接地，則導(dǎo)體球總電量Q不再為零，而球心處電勢應(yīng)為零，即有: 可解得: -2008/0

10、4/22§ 9-2 電介質(zhì) 介質(zhì)中的高斯定理一 介質(zhì)的極化（電荷中心，分子的正、負(fù)電荷中心, 有極分子和無極分子）分子由等量正負(fù)電荷構(gòu)成，可近似把分子中正、負(fù)電荷作為兩點(diǎn)電荷處理，稱為等效電荷，等效電荷的位置稱為電荷中心。若分子正、負(fù)電荷中心不重合，則等效電荷形成一個電偶極子，其電偶極矩稱為分子的固有電矩有極分子（如HCl）。若分子正、負(fù)電荷中心重合，則分子電偶極矩為零無極分子（如H、O、N、CO分子）。表 幾種分子的電偶極矩分 子電偶極矩/1030C×mHClCOHOSONH3CO、H、C01有極分子介質(zhì)的取向極化1、原場，束縛電荷（只在表面），附加電場，反抗原場取向極化

11、2、無極分子介質(zhì)的位移極化原場，束縛電荷（只在表面），附加電場，反抗原場位移極化。（兩種極化宏觀結(jié)果相同，宏觀上可不區(qū)分）二 介質(zhì)中的電場# 真空中的庫侖定律 靜電力 ： 其中：真空介電常數(shù)# 介質(zhì)中的庫侖定律實(shí)驗(yàn)：各向同性介質(zhì)均勻地充滿電場時（簡稱均充條件）的庫侖定律為：靜電力：其中：為介質(zhì)的靜電力常數(shù)，為介質(zhì)的介電常數(shù)（電容率）。舉例：對于平板電容器，只需一種各向同性的均勻介質(zhì)充滿兩板間就夠了；而對于點(diǎn)電荷，原則上要充滿到無窮遠(yuǎn)的地方。實(shí)驗(yàn)證明：若自由電荷分布不變，當(dāng)介質(zhì)均勻充滿電場后，介質(zhì)中任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E為原來真空中的電場強(qiáng)度的分之一，即：(9-2)其中：為介質(zhì)的相對介電常量，取決于

12、介質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)。對于“真空”，對于空氣，近似有，對其它介質(zhì)，。表 幾種電介質(zhì)的相對介電常量電介質(zhì)相對電容率真 空1空氣(0)水(20)變壓器油紙聚四氟乙烯聚乙烯氯丁橡膠硼硅酸玻璃510云 母陶 瓷6二氧化鈦173鈦酸鍶約250鈦酸鋇鍶約104由此推之：均充條件下介質(zhì)電學(xué)規(guī)律與真空電學(xué)規(guī)律形式上完全相同，但式中的應(yīng)改為，如：介質(zhì)中的點(diǎn)電荷電場 # 加入介質(zhì)以后場強(qiáng)的變化（由介質(zhì)中產(chǎn)生的極化電荷激發(fā)的附加電場迭加而形成的）在介質(zhì)均勻充滿電場條件下，通過真空中電場和介質(zhì)中電場的比較， 由自由電荷分布推算出極化電荷的分布。例：真空中的點(diǎn)電荷在其周圍空間任一點(diǎn)p激發(fā)的電場為：充滿介質(zhì)后，點(diǎn)電荷本身激發(fā)的

13、場強(qiáng)不因極化電荷的出現(xiàn)而改變。極化電荷分布在介質(zhì)與點(diǎn)電荷交界面上一很小范圍，可視為一點(diǎn)電荷，在p點(diǎn)激發(fā)電場為：介質(zhì)中的場強(qiáng)是與迭加結(jié)果為：又由(9-2)式可知，介質(zhì)中點(diǎn)電荷電場中的合場強(qiáng)為真空中場強(qiáng)的，故有： (9-3)比較這兩式即可得到：(9-4)自上式表示由電荷和束縛電荷的總和等于自由電荷的。于是，得點(diǎn)電荷周圍的極化電荷電量為：(9-5)（由于，故極化電荷與自由電荷反號）介質(zhì)中的點(diǎn)電荷電場(9-3)式為：(9-6)與點(diǎn)電荷在真空中場強(qiáng)比較，公式形式不變，唯一的變化是把換成。（介質(zhì)中的場強(qiáng)比真空中要小，這是由于極化電荷的場強(qiáng)影響的結(jié)果，但極化電荷在式子中并未出現(xiàn)，它們影響已包含在之中）三 介

14、質(zhì)中的高斯定理# 真空中靜電場的高斯定理 （式子右邊的q是閉合曲面S內(nèi)的凈電荷）# 當(dāng)電場中有介質(zhì)時的高斯定理自由電荷與極化電荷的總和即，于是高斯定理記作：（極化電荷一般情況下是一未知量，不方便，設(shè)法用自由電荷來表示）說明：介質(zhì)均勻充滿電場時，極化電荷出現(xiàn)在自由電荷旁，每個地方自由電荷和極化電荷的總電量均為自由電荷的，代入高斯定理有：若電場E中只有一種介質(zhì)，于是有： 定義： 電位移矢量(9-7)即：在電場中任一點(diǎn)，電位移矢量等于該點(diǎn)介質(zhì)的介電常數(shù)與電場強(qiáng)度E之積。于是高斯定理表示為： (9-8)介質(zhì)中的高斯定理（簡稱D高斯定理）表明：電場中通過任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面 圍住的凈自由電荷

15、?？梢宰C明：介質(zhì)中的高斯定理對任意電荷分布和任意介質(zhì)分布都成立。若介質(zhì)就是“真空”，此時 ，介質(zhì)中高斯定理(9-8)式還原為高斯定理原形式： # 電力線，簡稱D線電位移矢量D在電場空間構(gòu)成一矢量場，其矢量線稱為電力線（D線）（D線的方向表示D的方向，D線的密度表示D的大?。〥的通量稱為電通量或D通量，表示通過曲面S的D線條數(shù)。D高斯定理表示：在閉合面S上的D通量等于曲面S內(nèi)自由電荷的代數(shù)和（即凈自由電荷）：D高斯定理物理意義：D線發(fā)自于正的自由電荷，終止于負(fù)自由電荷，與E線不同。* E線始于正電荷，終于負(fù)電荷而無論電荷是自由還是束縛的。* D線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與極化電荷無關(guān)，但不能認(rèn)為D與極化電荷

16、無關(guān)。* 場強(qiáng)E是由自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生的，故E與極化電荷的分布相關(guān)，D亦與極化電荷的分布相關(guān)。下圖：在一均勻電場中放入一介質(zhì)球前后的E線和D線的分布情況（極化電荷對電場的影響，特別是對E和D方向的影響十分明顯）電位移矢量的單位： c/m2（庫倫每平方米-與電荷面密度的單位相同）四 介質(zhì)中高斯定理的應(yīng)用電場中有介質(zhì)時，一般不宜用迭加原理求場強(qiáng)E和電勢V，（否則必須要考慮極化電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場強(qiáng)和電勢）常用方法：在一定的對稱條件下，用D高斯定理求出D，由得到E，進(jìn)而用求出V。- 若導(dǎo)體外有介質(zhì)，求證：導(dǎo)體表面附近的電位移矢量與導(dǎo)體表面電荷面密度的關(guān)系為。證明 如圖，在導(dǎo)體表面附近作一底面為的

17、閉合柱面S，其側(cè)面與導(dǎo)體表面垂直。按D高斯定理，柱面上的D通量 由于在導(dǎo)體內(nèi)故，所以柱的下底沒有D通量。由于導(dǎo)體表面是等勢面，表面附近E與表面垂直，故D也與表面垂直。所以柱的側(cè)面也沒有D通量，只有柱面上底面有D通量，所以有： 得到： (9-9)故命題得證，同時還有：若為正電荷，D和E垂直于導(dǎo)體表面指向?qū)w外，若為負(fù)電荷，D和E垂直于導(dǎo)體表面指向?qū)w內(nèi)。若介質(zhì)為空氣，則（回到導(dǎo)體表面附近場強(qiáng)與電荷面密度關(guān)系）例 半徑r1的導(dǎo)體球帶電為，球外有一層內(nèi)徑為r1外徑r2的各向同性均勻介質(zhì)，介電常量為。求：介質(zhì)中和空氣中的場強(qiáng)分布和電勢分布。解 ：由于導(dǎo)體和介質(zhì)都滿足球?qū)ΨQ性，故自由電荷和極化電荷分布也

18、滿足球?qū)ΨQ性，因而電場的E和D分布也具球?qū)ΨQ性，其方向沿徑向發(fā)散，且在以O(shè)為中心的同一球面上D、E的大小相同。如圖：在介質(zhì)中作一半徑為r的球面S1，按D高斯定理：有： 故： 所以介質(zhì)中的場強(qiáng)： (方向沿徑向發(fā)散)同理在介質(zhì)外作一球面S2，則仍然有： 故介質(zhì)外的場強(qiáng)： (方向沿徑向發(fā)散)介質(zhì)中距球心為r的一點(diǎn)的電勢為：空氣中距球心為r的一點(diǎn)的電勢為：-§ 9-3 電容器* 電容器：電容器的兩極板間的電壓U與電量Q成正比： 上式中的比例常數(shù)：定義: C為電容器的電容。一 常見電容器1、平板電容器由D高斯定理可求得兩板間的電位移矢量：兩板間的電場強(qiáng)度為： (方向由A板指向B板)其中: 為介

19、質(zhì)的介電常量兩板間的電壓為： 故平板電容器的電容為： （為介質(zhì)的電容率，為真空的電容率）2、圓柱形電容器由D高斯定理可求得兩筒之間距離軸線為r的p點(diǎn)的電位移矢量 進(jìn)而求出電場強(qiáng)度：場強(qiáng)方向沿半徑方向由A指向B。將場強(qiáng)沿徑向積分可得電壓：故圓柱形電容器的電容： (9-13)單位長度上的電容為： 3、球形電容器通過D高斯定理求得兩球間距離球心為r的p點(diǎn)場強(qiáng)為：（方向沿半徑方向）兩球之間的電壓： 故球形電容器的電容為： * 孤立的導(dǎo)體球：可當(dāng)作是球形電容器的一特殊情況，B球上的電荷將均勻分布在一無窮大球面上，該電荷分布可忽略不計。B球在無窮遠(yuǎn)處電勢為零，A、B球間的電壓就是A球的電勢。設(shè)介質(zhì)為空氣，

20、則A球電勢為： (9-14) （R-A球半徑）孤立導(dǎo)體球的電容為： (9-15)（顯然，此式可由(9-14)式直接取而來）二 電容的聯(lián)接1、并聯(lián)電容器 充電以后，每個電容器兩個極板間的電壓相等為U，有： （U是電容器組的電壓）電容器組所帶總電量為： 所以電容器組的等效電容為： 由于為每個電容器的電容，所以有：(9-16)（即：并聯(lián)電容器的等效電容等于每個電容器電容之和）2 串聯(lián)電容器充電后，由于靜電感應(yīng)，每個電容器都帶上等量異號的電荷和，這也是電容器組所帶電量，故有： 電容器組上總電壓為各電容器的電壓之和： 為了方便，計算等效電容的倒數(shù)：即有： (9-17)表示: 串聯(lián)電容器的電容的倒數(shù)等于各電容器電容的倒數(shù)之和。-2008/04/24/ 平行板電容器兩板面積均為S。在兩板間平行重迭地放置兩塊面積S，厚度分別為d1和d2，介電常量分別為和的介質(zhì)板，求： 電容器的電容。解 設(shè)極板A、B分別帶電和，面電荷密度。忽略邊緣效應(yīng)，兩介質(zhì)中分別出現(xiàn)均勻電場，E和D均垂直于平板向下。如圖作兩個底面積為S1和S2的柱形高斯面S1和S2，兩底與平板平行，側(cè)面與平板垂直。上底在導(dǎo)體板內(nèi)，E=0，D=0，D通量為零。側(cè)面與D線平行，D通量也為零，只有下底有D通量。注意下底分別在兩種介質(zhì)中，由D高斯定理：有：得到：（即此時兩種介質(zhì)中的D相等）兩板之間的電壓：所