必修數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

1、一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：4 5 6 7 8 9序號(hào)：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (

2、3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：例：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。例：等差數(shù)列，題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，則序號(hào)等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）67

3、0題型三、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中，成等差數(shù)列 即： （）例：1設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 （ ）A BC D是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；題型五、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 )遞推公式：中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于( )A1

4、3 B35 C49 D 63 的前項(xiàng)和為，若,則=4.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（ ）5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和，則其公差等于( ) C. D.7設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。題型六.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為。3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，=4（06全國(guó)II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，

5、則ABCD題型七判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項(xiàng)法：是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）2.已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）3.數(shù)列滿足=8， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型八.數(shù)列最值（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。 例：1等差數(shù)列中，則前項(xiàng)的和最大。 2設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 求出公差的范圍，指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。3.已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）

6、數(shù)列從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于0？（2）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的值題型九.利用求通項(xiàng)1已知數(shù)列的前項(xiàng)和則2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.已知數(shù)列中，前和求證：數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式4.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比數(shù)列等比數(shù)列定義：一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式1 在等比數(shù)列中,，則2在等比數(shù)列中，則=3.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則（ ）A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.和的等比中項(xiàng)為

7、( )三、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1.（1）（2）（3）為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,則( )2.在等比數(shù)列中，求若3.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+四、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，的首相，公比，則其前n項(xiàng)和2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已，求和3設(shè)，則等于（ ）ABCD五.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列.例：1.一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為（ ）A83 B108 C75 D632.已知數(shù)列是等比

8、數(shù)列，且六.等比數(shù)列的判定法（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； （4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。七.利用求通項(xiàng)an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列滿足：， 求；2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；滿足=8， （），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5. 設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項(xiàng)公式6. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7. 已知數(shù)

9、列滿足 （），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；8. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；9. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）累加法1、累加法 適用于：若，則 兩邊分別相加得 滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4. 設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）累乘法適用于： 若，則例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列滿足，求。，求。（4） 待定系數(shù)法 適用于解題基本步驟：1、 確定2、 設(shè)等比數(shù)列，公比為3、 列出關(guān)系式4、 比較系數(shù)求，5、 解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、 解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例：1. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)

10、公式。2在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_3.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)4已知數(shù)列中，,，求5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（5）遞推公式中既有又有把已知關(guān)系通過(guò)轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。1. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式中，前和求證：數(shù)列是等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式3已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（6）倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 公比含字母時(shí)一定要討論例：1。已知等差數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和2已知等比數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和3.設(shè)，則等于（ ）A. B. C.D.2錯(cuò)位相減法求和：如：例：1求和2.求和：是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且， （）求，的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和3裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見(jiàn)拆項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列