外接球?qū)ｍ椨?xùn)練帶詳細答案

1、一選擇題1、已知球的半徑為2，圓和圓是球的互相垂直的兩個截面，圓和圓的面積分別為和，則（）A1BC2D【答案】D【解析】因由球心距與截面圓的半徑之間的關(guān)系得，故，應(yīng)選D?？键c：球的幾何性質(zhì)及運算。2、在三棱錐中，中點為，則此三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】C【解析】如圖,易知，由余弦定理可得，因，故;同理，故，所以是棱長為的正方體的四個頂點，其外接球就是正方體的外接球，半徑為，所以外接球的面積為，應(yīng)選C?？键c：球與幾何體的外接和表面積的計算公式。3、球的球面上有四點，其中四點共面，是邊長為2的正三角形，面面，則棱錐的體積的最大值為（）ABCD4【答案】A【解析】設(shè)球心和的外心為，延

2、長交于點，則由球的對稱性可知，繼而由面面可得所在的平面，所以是三棱錐的高；再由四點共面可知是的中心，故，當(dāng)三棱錐的體積最大時，其高為，故三棱錐的體積的最大值為，應(yīng)選A?？键c：幾何體的外接球等有關(guān)知識的運用。【易錯點晴】球與幾何體的外接和內(nèi)切問題一直是高中數(shù)學(xué)中題的重要題型，也高考和各級各類考試的難點內(nèi)容。本題將三棱錐與球外接整合在一起考查三棱錐的體積的最大值無疑是加大了試題的難度。解答本題時要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息，先確定球心的位置是三角形的外心，再求外接球的半徑并確定當(dāng)為三棱錐的高時，該三棱錐的體積最大并算出其最大值為。4、已知在三棱錐中，面，若三棱錐的外接球的半徑是3，則的最大值是（

3、）A36B28C26D18【答案】D【解析】因為面，所以，又因為,所以平面，所以，所以有，則由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值是,故選D.考點：1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.長方體外接球的性質(zhì)；3.基本不等式.【名師點睛】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、長方體外接球的性質(zhì)、基本不等式,中檔題；立體幾何的最值問題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值或利用基本不等式來求解5、如圖所示是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體外接球的表面積為（）A

4、BCD【答案】C【解析】幾何體為一個四棱錐，外接球球心為底面正方形（邊長為4）中心，所以半徑為，表面積為，選C.考點：三視圖，外接球【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.6、如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】由三視圖可知，這個幾何體是三棱錐.如圖所示，為球心

5、，為等邊三角形的外心，由圖可知，故外接球面積為.考點：三視圖.【思路點晴】設(shè)幾何體底面外接圓半徑為則其體對角線長為;長方體的外接球球心是其體對角線中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線,交點即為球心.7、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球半徑為（）ABCD【答案】C【解析】從三視圖可以看出這是一個正方體上的一個四面體,如圖,其中正的邊長為,其外接圓的半徑,同樣正的外接圓的半徑是,由球的對稱性可知球心必在正方體的對角線上,且,該球經(jīng)過六個點,設(shè)球心到平面的距離為;球心到平面的距離為,而兩個平面和之間的距離為,則由

6、球心距、垂面圓半徑之間的關(guān)系可得,所以,即,又,將其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半徑,應(yīng)選C.考點：三視圖的識讀和理解及幾何體體積的計算.【易錯點晴】本題以網(wǎng)格紙上的幾何圖形為背景,提供了一個三棱錐的幾何體的三視圖,要求求其外接球的半徑,是一道較為困難的難題.難就難在無法搞清其幾何形狀,只知道是一個三棱錐（四面體）是沒有任何用的.通過仔細觀察不難看出這是一個正方體上的一個四面體,如圖,正的邊長為,其外接圓的半徑,同樣正的外接圓的半徑是,由球的對稱性可知球心必在對角線上,且經(jīng)過六個點,設(shè)球心到平面的距離為；球心到平面的距離為,而兩個平面和之間的距離為,則由球心距垂面圓半徑之間的關(guān)系可得

7、,所以,即,又,將其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半徑,其中計算時可用等積法進行.8、一直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的表面上，則球的半徑為（）ABCD【答案】A【解析】球的半徑滿足考點：外接球【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.9、若某圓柱體的上部挖掉一個半球，下部挖掉一個圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則

8、此幾何體的表面積是A24B248C244 D32答案：C10、已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形,則三棱錐的外接球的球心到平面的距離是（）（A） （B）1（C）（D）【答案】A【解析】因為三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，在面內(nèi)的射影為中點，平面，上任意一點到的距離相等，在面內(nèi)作的垂直平分線，則為的外接球球心，即為到平面的距離，故選A考點：球內(nèi)接多面體；點到面的距離的計算【名師點睛】(1)一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系(2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方

9、體或正方體確定直徑解決外接問題(3)一般三棱錐的外接球的球心可通過其中一個面的外心作此平面的垂線，則球心必在此垂線上11、已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形,則三棱錐的外接球的球心到平面的距離是（）（A） （B）1（C）（D）【答案】A12、某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐外接球的表面積是（）ABCD【答案】B【解析】幾何體為一個四棱錐，其頂點為長方體四個頂點，長方體的長寬高為4,3,3，因此四棱錐外接球直徑為長方體對角線，即，表面積是選B.考點：三視圖【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，

10、再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.13、已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）A B C D【答案】A【解析】連接，則由已知得，可知三棱錐是棱長為的正四面體，其高為，則三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為考點：三棱錐外接球14、半徑為1的三個球平放在平面上，且兩兩相切，其上放置一半徑為2的球，由四個球心構(gòu)成一個新四面體，則該四面體外接球的表面積為（）A BCD【答案】A【解析】由已知條件可知

11、，該四面體是底面邊長為的等邊三角形，且側(cè)棱長為.該四面體外接球半徑計算公式為，其中為底面外接圓半徑，故.考點：球的內(nèi)接幾何體.15、在正三棱錐中，是的中點，且，底面邊長，則正三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】【解析】根據(jù)三棱錐為正三棱錐，可證明出ACSB，結(jié)合SBAM，得到SB平面SAC，因此可得SA、SB、SC三條側(cè)棱兩兩互相垂直最后利用公式求出外接圓的直徑，結(jié)合球的表面積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積取AC中點，連接BN、SN，N為AC中點，SA=SC，ACSN，同理ACBN，SNBN=N，AC平面SBN，SB平面SBN，ACSB，SBAM且ACAM=A，SB平面S

12、AC？SBSA且SBAC，三棱錐S-ABC是正三棱錐，SA、SB、SC三條側(cè)棱兩兩互相垂直底面邊長側(cè)棱SA=2，正三棱錐S-ABC的外接球的直徑為：，正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是，故選：B考點：空間線面垂直的判定與性質(zhì)；球內(nèi)接多面體16、已知三棱錐,在底面中,面,則此三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】底面三角形內(nèi)，根據(jù)正弦定理，可得,滿足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜邊,所以三棱錐的外接球的球心就是的中點,是其外接球的直徑，,所以外接球的表面積,故選D.考點：球與幾何體17、已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，則球的表面積為為（）

13、A B C D【答案】C【解析】由題意，三棱柱為直三棱柱，底面為直角三角形，把直三棱柱補成四棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，所以外接球半徑為則三棱柱1外接球的表面積是故選C考點：幾何體的外接球18、如圖，是邊長為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點，在同一個球面上，則該球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】按如圖所示作輔助線，為球心，設(shè)，則，同時由正方體的性質(zhì)知，則在中，即，解得，所以球的半徑，所以球的表面積為，故選D考點：1、球內(nèi)接多面體的性質(zhì)；2、球的表面積公式.19、在平行四邊形中，將此平行四邊形沿折成直二面角，則三棱錐外接球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】因為平行

14、四邊形中，沿折成直二面角，所以三棱錐的外接球的直徑為，且，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為；故選A考點：1.平面圖形的折疊問題；2.多面體與球的組合20、如圖,在菱形中,為對角線的中點,將沿折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】設(shè)分別是等邊三角形的外心，則畫出圖象如下圖所示，由圖象可知，,故，,外接球面積為.考點：球的內(nèi)接幾何體.21、已知從點出發(fā)的三條射線，兩兩成角，且分別與球相切于，三點若球的體積為，則，兩點間的距離為()（A）（B）（C）3 （D）【答案】B【解析】連接交平面于，由題意可得：和為正三角形，所以因為，所以，所以又因

15、為球的體積為，所以半徑，所以考點：點、線、面間的距離計算【思路點睛】連接交平面于，由題意可得：由可得 ，根據(jù)球的體積可得半徑，進而求出答案22、在半徑為1的球面上有不共面的四個點A，B，C，D且，則等于（）A16 B8 C4 D2【答案】B【解析】如圖，構(gòu)造長方體，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，根據(jù)題意，得，則；故選B考點：多面體與球的組合23、“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視

16、圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）【答案】B【解析】因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋），且正視圖和側(cè)視圖是一個圓，所以從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，即俯視圖是有兩條對角線且為實線的正方形；故選B考點：三視圖24、某一簡單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是（）ABCD【答案】C【解析】從三視圖可以看出該幾何體是底面對角線長為正方形高為正四棱柱,故其對角線長為,故該幾何體的外接球的面積為,選C.考點：三視圖與幾何體的外接球25、如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點AED，EBF，

17、FCD分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使A，B，C三點重合于點A,若四面體AEFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的半徑為（）A. BC D【答案】D【解析】因為折起后三點重合，所以兩兩垂直，三棱錐的外接球，就是棱長為的長方體的外接球，球半徑滿足，故選D.考點：幾何體外接球的性質(zhì).26、已知三棱錐SABC，滿足SASB，SBSC，SCSA，且SA=SB=SC，若該三棱錐外接球的半徑為，Q是外接球上一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為（）A3 B2 C D【答案】D【解析】因為三棱錐中，且，所以三棱錐的外接球即為以為長寬高的正方體的外接球，因為該三棱柱外接球的半徑為，所以正方體的對角線長為，所

18、以球心到平面的距離為，所以點到平面的距離的最大值為，故選D考點：球的性質(zhì)及組合體的應(yīng)用27、一個直棱柱的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個頂角為的等腰三角形，則該直三棱柱外接球的表面積為（）A20BCD【答案】A【解析】由三視圖可知，該三棱柱為底面為頂角為，兩腰為的等腰三角形，高為，底面三角形的外接圓直徑為，半徑為，設(shè)該三棱柱的外接球的半徑為，則，所以該三棱柱的外接球的表面積為，故選A考點：1.三視圖；2.球的切接問題；3.球的表面積【名師點睛】本題主要考查三視圖、球的切接問題、表面積公式及空間想象能力、運算能力，中檔題；識圖是數(shù)學(xué)的基本功，空間想象能力是數(shù)學(xué)與實際生活必備的能力，本題將這些能力

19、結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用價值，同時也考查了學(xué)生對球的性質(zhì)與表面積公式的掌握與應(yīng)用、計算能力28、某四面體的三視圖如圖，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為（）ABCD【答案】B【解析】由題意此四面體是棱長為的正四面體，其外接球半徑為，所以故選B考點：三視圖，外接球，球體積【名師點睛】正四面體的內(nèi)切球與外接球：（1）正四面體的內(nèi)切球，如圖.位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可以利用體積橋證明）（2）正四面體的外接球，如圖5.位置關(guān)系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到）29、如圖所示，在直三棱柱中，點是線段的中點，則三棱錐的外接球的體積是（）ABCD【答案】A【解析】由題意可知,取的中點，連接,在直角中，,所以點在平面內(nèi)的射影是的外心，即為的中點，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，由球的截面性質(zhì)可得，即，解得，所以其外接球的體積為,故選A.考點：棱錐與球的組合