階段質(zhì)量檢測(一)導(dǎo)數(shù)和應(yīng)用

1、階段質(zhì)量檢測（一）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用( 時間：120 分鐘滿分： 150分 )一、選擇題 ( 本大題共12 小題，每小題 5 分，共60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若 f ( x) sin cos x，則 f (x) 等于 ()A sin xB cosxC cos sin xD 2sin cosx解析：選 A函數(shù)是關(guān)于 x 的函數(shù)，因此 sin 是一個常數(shù)2以正弦曲線 y sinx 上一點(diǎn) P 為切點(diǎn)的切線為直線l ，則直線 l 的傾斜角的圍是()3A. 0，4 4 ，B 0 ，) 33C.4，4D.0，4 2，4解析：選 Ay cosx， cos 1,1，切線的斜率圍

2、是 1,1 ，傾斜角x3的圍是 0，4 4 ， .3函數(shù) f ( x) 的定義域為開區(qū)間 ( a，b) ，導(dǎo)函數(shù)f (x) 在 ( a，b) 的圖象如圖所示，則函數(shù) f ( x) 在開區(qū)間 ( a， b) 有極小值點(diǎn) ()A1 個C3 個B2個D4個解析：選A設(shè)極值點(diǎn)依次為x1， x2， x3 且a x1x2 x3 b，則f ( x) 在 ( a， x1) ， ( x2，x3) 上遞增，在( x1， x2) ，( x3， b) 上遞減，因此，x1， x3 是極大值點(diǎn)，只有x2 是極小值點(diǎn)4函數(shù) f ( x) x2 lnx 的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. 0，22B. 2，2C.，2，0，222D.2

3、， 0，0，2 2212x2 12解析：選 A f (x) 2xxx，當(dāng) 0 x2時， f (x) 0，故 f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為20，.25函數(shù) f ( x) 3x 4x3( x 0,1)的最大值是 ()1A 1B. 2C 0D 1解析：選Af (x) 3 12x2，令 f (x) 0，11則 x 2 ( 舍去 ) 或 x2， f (0) 0， f (1) 1，131f 2 2 2 1， f ( x) 在0,1上的最大值為 1.6函數(shù) f ( x) x3 ax2 3x 9，已知 f ( x) 在 x 3 處取得極值，則a ()A 2B 3C 4D 5解析：選D f (x) 3x2 2

4、ax 3， f ( 3) 0. 3×( 3) 2 2a×( 3) 3 0， a 5.13127函數(shù) f ( x) 3ax 2ax 2ax 1的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a 的取值圍是 ()36A. ，1078 3B. 5， 168 1C. 3， 163 6D. ， 10 7，解析：選 Df (x) ax2 ax 2a a( x2)( x 1) ，要使函數(shù) f ( x) 的圖象經(jīng)過四個象限，則 f ( 2) f (1)<0 ，即107a 1 a1 <0，解得36<36或> .a10a 7故選 D.8. 已知函數(shù)f ( x) 的導(dǎo)函數(shù)f (x) a( x

5、b) 2 c 的圖象如圖所示，則函數(shù)f ( x) 的圖象可能是()解析：選 D由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0 時，函數(shù) f ( x) 遞減，排除A、 B；當(dāng) 0<x<x1 時，( )>0 ，函數(shù)f(x) 遞增因此，當(dāng)x0 時，f(x) 取得極小值，故選D.fx9定義域為 R 的函數(shù)f(x) 滿足f(1) 1，且f() 的導(dǎo)函數(shù)()>1，則滿足 2 (x)<xxfx2f1 的 x 的集合為 ()A x| 1<x<1B x| x<1C x| x<1 或 x>1D x| x>11解析：選B令 g( x) 2f ( x) x 1， f

6、 (x)> 2， g(x) 2f (x) 1>0， g( x) 為單調(diào)增函數(shù)， f (1) 1， g(1) 2f (1) 1 1 0，當(dāng) x<1 時，g( x)<0 ，即 2f ( x)< x 1，故選 B.10某產(chǎn)品的銷售收入y1( 萬元 ) 是產(chǎn)量 x( 千臺 ) 的函數(shù)： y1 17x2，生產(chǎn)成本y2( 萬元 )是產(chǎn)量x( 千臺 ) 的函數(shù)：y2 2x3x2( x 0) ，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)()A6 千臺B7千臺C8 千臺D9千臺解析：選 A232232設(shè)利潤為 y，則 y y1 y217x (2x x ) 18x 2x ，y 36x 6x ，令 y 0

7、得 x 6或 x0( 舍 ) ， f ( x) 在(0,6) 上是增函數(shù)，在 (6 ， ) 上是減函數(shù)，x6 時 y 取得最大值11已知定義在 R 上的函數(shù) f ( x) ， f ( x) x· f (x) 0，若 a b，則一定有 ()A af ( a) bf ( b)B af ( b) bf ( a)C af ( a) bf ( b)D af ( b) bf ( a)解析：選 C x· f ( x) x f ( x) x· f (x) f ( x) x· f (x) 0，函數(shù) x·f ( x) 是 R 上的減函數(shù)， a b， af ( a)

8、 bf ( b) 12若函數(shù) f ( x) sinx，且 0<x1<x2<1，設(shè) a sin x1，b sin x，則 a， b 的大小關(guān)xxx221系是 ()A a>bB a<bCbD ，b的大小不能確定aa解析：選 Afxcos x sinx) xcosx sinx，則 ()xsinx()2，令 (xxg xg x cos x cos x xsin x. 0<x<1， g(x)<0 ，即函數(shù) g( x) 在(0,1) 上是減函數(shù)， 得 g( x)< g(0) 0，故 f (x)<0 ，函數(shù) f ( x) 在 (0,1) 上是減函數(shù)

9、，得 a>b，故選 A.二、填空題 ( 本大題共4 小題，每小題 5分，滿分20 分把答案填在題中的橫線上 )13若f( ) 1 3(1)x2 5，則f(1) _.x3xfx2 2f (1)2解析： f (x) xx 1，令 x 1，得 f (1) .32答案： 314設(shè) a 0，若曲線 yx與直線 x a， y 0所圍成封閉圖形的面積為a2，則 a_.a2 3a2 34解析：d2，0aa .S0x x3x2 3a294答案： 915已知函數(shù) f ( x) 滿足 f ( x) f ( x) ，且當(dāng) x ，時， f ( x) x sinx，22設(shè) a f (1) ， bf (2) ， c

10、f (3) ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 _ 解析： f (2) f ( 2) ，f (3) f ( 3) ，因為 f (x) 1 cos x0，故 f ( x) 在 2 ， 2 上是增函數(shù)，> 2>1> 3>0， f ( 2)> f (1)> f ( 3) ，即 c<a<b.答案： c<a<b4x16若函數(shù) f ( x) x2 1在區(qū)間 ( m,2m 1) 上單調(diào)遞增，則實數(shù) m的取值圍是 _ 解析： f (x) 4 4x22，令 f (x) 0，得 1 x 1，x2 1即函數(shù) f ( x) 的增區(qū)間為 ( 1,1) 又 f

11、( x) 在 ( m,2m 1) 上單調(diào)遞增，m 1，2 1，解得 1 0.所以 m mm2m11.答案： ( 1,0三、解答題 ( 本大題共6 小題，共70 分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 )17 ( 本小題滿分12 分 ) 若函數(shù)y f ( x) 在 x x0 處取得極大值或極小值，則稱x0 為函數(shù) y f ( x) 的極值點(diǎn) 已知 a，b 是實數(shù)， 1 和 1 是函數(shù) f ( x) x3 ax2 bx 的兩個極值點(diǎn)(1) 求 a 和 b 的值；(2) 設(shè)函數(shù) g( x) 的導(dǎo)函數(shù) g(x) f ( x) 2，求 g( x) 的極值點(diǎn)解： (1) 由題設(shè)知f (x) 3x

12、2 2ax b，且 f ( 1) 3 2a b 0， f (1) 3 2a b 0，解得 a 0，b 3.(2) 由 (1) 知 f ( x) x3 3x.因為 f ( x) 2 ( x 1) 2( x 2) ，所以 g(x) 0 的根為 x1 x2 1， x3 2，于是函數(shù)g( x) 的極值點(diǎn)只可能是1 或 2.當(dāng) x 2 時， g(x) 0；當(dāng) 2 x 1 時，g(x) 0，故 2 是 g( x) 的極值點(diǎn)當(dāng) 2 x1 或 x 1 時， g(x) 0，故 1 不是 g( x) 的極值點(diǎn)所以 g( x) 的極值點(diǎn)為 2.a x bx，曲線 y f ( x) 在點(diǎn) (2 ，f (2)18. (

13、 本小題滿分 12 分 )( 北京高考 ) 設(shè)函數(shù) f ( x) xe處的切線方程為y (e 1) 4.x(1) 求 a， b 的值；(2) 求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間解： (1) 因為 f ( x) xea x bx，所以 f (x) (1 x)e a x b.f 2 2e 2，2ea2 2b 2e2，依題設(shè)有f 2 e 1，即a 2 e b e1.a 2，解得be.(2) 由 (1)知 f ( x) xe2x ex.由 f (x) e2 x(1 x ex 1) 及 e2 x>0 知， f (x) 與 1 x ex1 同號令 g( x) 1 x ex1 ，則 g(x) 1 ex 1.

14、所以當(dāng) x( ， 1) 時， g(x)<0 ，g( x) 在區(qū)間 ( ， 1) 上單調(diào)遞減；當(dāng) x (1 ， ) 時， g(x)>0 ，g( x) 在區(qū)間 (1 ， ) 上單調(diào)遞增故 g(1) 1 是 g( x) 在區(qū)間 ( ， ) 上的最小值，從而 g( x)>0 ， x ( ， ) 綜上可知， f (x)>0 ， x( ， ) ，故 f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ， ) 19 ( 本小題滿分12 分 ) 某個體戶計劃經(jīng)銷A，B 兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)投資額為x( x0) 萬元時， 在經(jīng)銷 A，B 商品中所獲得的收益分別為f ( x) 萬元與g( x) 萬元，

15、 其中f ( x) a( x 1) 2，g( x) 6ln( xb)( a 0， b0) 已知投資額為零時收益為零(1) 求 a， b 的值；(2) 如果該個體戶準(zhǔn)備投入 5 萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤解： (1) 由投資額為零時收益為零，可知 f (0) a 2 0， g(0) 6lnb 0，解得 a 2，b 1.(2) 由 (1) 可得 f ( x) 2x， g( x) 6ln( x 1) 設(shè)投入經(jīng)銷 B 商品的資金為 x 萬元 (0 x5) ，則投入經(jīng)銷 A 商品的資金為 (5 x) 萬元，設(shè)所獲得的收益為S( x) 萬元，則 S( x) 2(5

16、 x) 6ln( x1) 6ln( x1) 2x 10(0 x5) 6S(x) x 1 2，令 S(x) 0，得 x2.當(dāng) 0 x 2 時， S(x) 0，函數(shù) S( x) 單調(diào)遞增；當(dāng) 2 x5時， S(x) 0，函數(shù) S( x) 單調(diào)遞減所以當(dāng) x2 時，函數(shù) S( x) 取得最大值，S( x) max S(2) 6ln 3 612.6萬元所以，當(dāng)投入經(jīng)銷A商品 3 萬元， B商品2 萬元時，他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6 萬元20 ( 本小題滿分12 分 ) 已知函數(shù)f ( x) ax2 2ln(1 x)(a 為常數(shù)) (1) 若 f ( x) 在 x 1 處有極值，求 a

17、的值并判斷 x 1 是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；(2) 若 f ( x) 在 3， 2 上是增函數(shù)，求a 的取值圍2解： (1) f (x) 2ax 1x， x ( ， 1) ，f ( 1) 2a 1 0，1所以a 2.2x 1x 2f (x) x 1 x1 x. x<1， 1 x>0， x 2<0，因此，當(dāng) x< 1 時 f (x)>0 ，當(dāng) 1<x<1 時 f (x)<0 ， x 1 是 f ( x) 的極大值點(diǎn)(2) 由題意 f (x) 0在 x 3， 2 上恒成立，2即 2ax 1x0在 x 3， 2 上恒成立1 a x2 x在 x 3， 2

18、 上恒成立， x2 x x1 21 12， 6 ，24111 x2 x ，6121min 112，a . x x66即 a 的取值圍為1， 6 .21 ( 本小題滿分12 分 ) 已知函數(shù)f( ) x2 lnx，() x2.xmh xxa(1)當(dāng) a 0時， f ( x) h( x) 在 (1 ， ) 上恒成立，求實數(shù)m的取值圍；(2)當(dāng) m 2時，若函數(shù) k( x) f ( x) h( x) 在區(qū)間 (1,3)上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值圍解： (1) 由 f ( x) h( x) ，x得 m lnx在 (1 ， ) 上恒成立令(x) x，則( ) lnx 1 2，glnxg xxln

19、當(dāng) x (1 ，e) 時， g(x) 0；當(dāng) x (e ， ) 時， g(x) 0，所以 g( x) 在(1 ， e) 上遞減，在 (e ， ) 上遞增故當(dāng) x e 時， g( x) 的最小值為g(e) e.所以 me. 即 m的取值圍是 ( ， e (2) 由已知可得 k( x) x 2ln x a.函數(shù) k( x) 在(1,3)上恰有兩個不同零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)( x) x 2lnx 與直線 y a 有兩個不同的交點(diǎn)2 x 2(x) 1 x x ，當(dāng) x (1,2) 時， (x) 0， ( x) 遞減，當(dāng) x (2,3) 時， (x) 0， ( x) 遞增又 (1) 1， (2) 2 2ln

20、2 ， (3) 3 2ln 3 ，要使直線 y a 與函數(shù) ( x) x 2ln x 有兩個交點(diǎn)，則 2 2ln 2 a 3 2ln 3.即實數(shù)a 的取值圍是(2 2ln 2,3 2ln 3)22 ( 本小題滿分12 分 ) 已知函數(shù)f ( x) ( x 2)e x a( x 1) 2 有兩個零點(diǎn)(1) 求 a 的取值圍；(2) 設(shè) x1， x2 是 f ( x) 的兩個零點(diǎn)，證明： x1 x2<2.解： (1) f (x) ( x 1)e x 2a( x 1) ( x1)(e x 2a) 設(shè) a 0，則 f ( x) ( x2)e x， f ( x) 只有一個零點(diǎn)設(shè) a>0，則當(dāng) x ( ， 1) 時， f (x)<0 ；當(dāng) x (1 ， ) 時， f (x)>0 ，所以 f ( x) 在( ， 1) 單調(diào)遞減，在 (1 ， ) 單調(diào)遞增又 f (1) e， f (2) a，取 b 滿足 b<0 且 b<lna2，a223則 f ( b)> 2( b 2) a( b 1) a b 2b >0，故 f ( x) 存在兩個零點(diǎn)設(shè) a<0，由 f (x) 0 得 x 1 或