3靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

1、3.1 靜定梁3.1.1 單跨靜定架單跨靜定梁的計(jì)算在材料力學(xué)中已作詳細(xì)討論。例如圖3一1a所示簡(jiǎn)支伸臂梁，通過(guò)計(jì)算可繪出其內(nèi)力圖如圖31b、c所示。現(xiàn)在就圖31a所示單跨伸臂梁討論與內(nèi)力圖有關(guān)的些問(wèn)題。 圖 3-1若以x表示梁中某截面的位量，則此截面上的內(nèi)力可用x的函數(shù)來(lái)表示，這就是內(nèi)力函數(shù),據(jù)此作出的圖形就是內(nèi)力圖。掌握各內(nèi)力函數(shù)之間和內(nèi)力函數(shù)與荷載之間的微分關(guān)系將有助于對(duì)內(nèi)力圖進(jìn)行分析。圖3-2所示為某一梁中的個(gè)微段考慮該微段的平衡，可得如下的微分關(guān)系式： （3-1）=F（X）內(nèi)力圖總是由苦干段直線和曲線所組成。例如圖31b所示彎矩圖，由五段直線和一段曲線組成；圖3lc所示的剪力圖，由五

2、段直線組成。內(nèi)力圖的這種特點(diǎn)是由梁上荷載的分布情況所決定的。一般說(shuō)，分布于梁上的荷載使梁的某些區(qū)段成為無(wú)荷載區(qū)(q=0)；使另一 些區(qū)段成為分布荷載區(qū)(通常為均布荷載區(qū)，即q為常數(shù)；或者直線分布荷載區(qū)，即q為x的一次函數(shù))。根據(jù)式(31)的微分關(guān)系可知，在無(wú)荷載區(qū)段，因q0，所以剪力為常數(shù)，彎矩M為x的一次函數(shù)，故圖為平行于基線(x軸)的直線，M圖為斜直線(如圖31中AG梁的AC、CD、EF、FB、BG段)。在均布荷載區(qū)段，因q為常數(shù)，所以剪力為x的一次函數(shù)，彎矩M為x的二次函數(shù)。因此，圖為斜直線，M圖為二次拋物線(如圖3一l中AG梁的DE段)。同理，在荷載為直線分布的區(qū)段，因q為x的一次函數(shù)

3、，所以圖為二次拋物線，M圖為三次拋物線，本章習(xí)題36中的AB段將是這一情況。集中荷載作用點(diǎn)(如圖3 1中AG梁的C、B點(diǎn))、集中力矩作用點(diǎn)(如AG梁的F點(diǎn))以及分布荷載的兩端(如AG梁的D、E點(diǎn))是荷載分布的間斷點(diǎn)。在這些點(diǎn)處，內(nèi)力圖具有定的特征。如集中荷載作用點(diǎn)處，剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折；集中力矩作用點(diǎn)處彎矩圖發(fā)生突變，剪力圖無(wú)變化；分布荷載的兩端處，彎矩圖的直線段與曲線段在此相切等。梁的端點(diǎn)的內(nèi)力有時(shí)是給定的，不需計(jì)算。如鉸支端(如圖31中AG梁的A端)，有集中力矩作用時(shí)，其彎矩等于集中力矩的大小；無(wú)力矩作用時(shí)則等于零。對(duì)于自由端(如圖31中AG梁的G端)，受集中荷載作用時(shí)，其剪力

4、等于集中荷載之值，而彎矩等于零；若無(wú)荷載作用則其剪力和彎矩均等于零。以上扼要說(shuō)明了內(nèi)力圖的一些特征，將有肋于正確地繪出內(nèi)力圖。學(xué)習(xí)中應(yīng)注意加深理解，熟練掌握。 繪制內(nèi)力圖時(shí)，可根據(jù)荷載分布情況分段進(jìn)行。如圖3l中AG梁的M圖，可分為六段。對(duì)于直線段，只要將兩端的彎矩堅(jiān)標(biāo)定出，然后以直線連接即得。M圖的曲線段，例如均布荷載作用的DE區(qū)段，定出兩端點(diǎn)的豎標(biāo)后再采用疊加法繪出其圖形。下面介紹用疊加法繪制均布荷載作用區(qū)段的M圖。圖33a為某一受均布荷載作用的桿段，圖33b為具有同樣跨度的受同一均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁。因?yàn)楹奢d相同所以它們有同樣的微分關(guān)系=-q積分兩次后可得()=-+式中、為兩個(gè)待定常數(shù)。

5、利用=0時(shí)，；時(shí)，可以求得、。上述邊界條件不但適用于桿段，而且也適用于圖33b所示的簡(jiǎn)支梁。由此可知，桿的彎矩方程與圖33b所示簡(jiǎn)支梁的彎矩方程將完全相同，所以它們的彎矩圖也相同。對(duì)于簡(jiǎn)支梁來(lái)說(shuō)，其彎矩圖等于圖33c和圖33d所示兩個(gè)彎矩圖疊加。圖33c為兩端力矩和作用下的彎矩圖，圖33d為均布荷載作用下的彎矩圖。疊加方法可按下述步驟進(jìn)行：首先用虛線畫出兩個(gè)端力矩作用下的彎矩圖，也就是圖33e中的虛線再過(guò)桿端中點(diǎn)作桿軸的垂線交虛線于c點(diǎn)，然后過(guò)c點(diǎn)在垂線上沿荷載q的指向量取長(zhǎng)度等于的線段，最后用光滑曲線將a、d、b三點(diǎn)連接，此曲線與基線所圍成的圖形即為疊加后的彎矩圖(圖33e)。圖31a中DE

6、段的彎矩圖就是按這一方法繪出的。 下面討論斜簡(jiǎn)支梁。如圖34a所示，斜簡(jiǎn)支梁的傾角為，作用在梁上的均布荷載沿水平分布，若軸沿梁軸布置，則得坐標(biāo)系；若軸沿水平方向布置，則得坐標(biāo)系。 現(xiàn)討論斜簡(jiǎn)支梁計(jì)算中的兩個(gè)問(wèn)題：1. 斜簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力表達(dá)式 列內(nèi)力表達(dá)式時(shí)，按習(xí)慣取坐標(biāo)系，任一截而K的位置以表示。 取圖34b所示隔離體，由得彎矩表達(dá)式為 (a)當(dāng)x時(shí)，即得斜梁中點(diǎn)的彎矩為。若以表示相應(yīng)水平面支梁(其荷載和跨度與斜簡(jiǎn)支梁相同，如圖34c所示)的彎矩，則式(a)可寫為 (b)考慮圖3-4b所示隔離體上各力對(duì)軸投影的平衡條件，可得剪力表達(dá)式為 (c)或?qū)懗?(d)式中為相應(yīng)水平簡(jiǎn)支梁的剪力?？紤]圖3-

7、4b所示隔離體上各力對(duì)軸投影的平衡條件，可得軸力表達(dá)式為 (e)或?qū)懗?. 斜簡(jiǎn)支梁內(nèi)力圖的繪制 繪制斜梁的內(nèi)力圖時(shí)一般是以梁軸為基線，且內(nèi)力圖豎標(biāo)與梁軸垂直。為此，應(yīng)將各內(nèi)力方程中的自變量x變換為。注意到兩組坐標(biāo)系間有如下關(guān)系：式中cos為常數(shù)。利用上式格式(a)、(c)、(e)中的自變量x轉(zhuǎn)換為后，可以看出斜簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下，彎矩圖的形狀也是二次拋物線，剪力圖和軸力圖的形狀均為斜直線。根據(jù)內(nèi)力方程可繪出圖34a所示斜簡(jiǎn)支梁的彎矩圖、剪力圖和軸力圖分別如圖35a、b和c所示。3.1.2 多跨靜定梁多跨靜定梁是工程實(shí)際中比較常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)，它的基本組成型式有圖36所示的兩種。圖36a所示的是

8、在伸臂梁AC上依次加上CE、EF兩根梁。圖36b所示的是在AC和DF兩根伸臂梁上再加上一小懸跨CD。通過(guò)幾何組成分析可知，他們都是幾何不變且無(wú)多余約束的體系，所以均為靜定結(jié)構(gòu)。 根據(jù)多跨靜定梁的幾何組成規(guī)律，可以將它的各部分區(qū)分為基本部分和附屬部分。例如圖36a所示的梁中，AC是通過(guò)三根既不全平行也不全相交于一點(diǎn)的二根鏈桿與基礎(chǔ)聯(lián)結(jié)，所以它是幾何不變的（CE梁是通過(guò)鉸C和支座鏈桿D聯(lián)結(jié)在AC梁和基礎(chǔ)上；EF梁又是通過(guò)鉸E和支座鏈桿聯(lián)結(jié)在CE梁和基礎(chǔ)上。由此可知，AC梁直接與基礎(chǔ)組成一幾何不變部分，它的幾何不變性不受CE和EF影響，故稱AC梁為該多跨靜定梁中的基本部分。而CE梁要依靠AC梁才能保

9、證其幾何不變性，故稱CE梁為AC梁的附屬部分。同理，EF梁相對(duì)于AC和CE組成的部分來(lái)說(shuō)，也是附屬部分，而AC和CE組成的部分，相對(duì)于EF梁來(lái)說(shuō)，則是基本部分。上述組成順序可用圖37a來(lái)表示。這種圖形稱為層次圖。通過(guò)層次圖可以看出力的傳遞過(guò)程。例如作用在最上面的附屬部分FF上的荷載不但會(huì)使EF梁受力，而且還通過(guò)E支座將力傳給CE梁再通過(guò)C支座傳給AC梁。同樣，荷載能使CE梁和AC梁受力，但它不會(huì)傳給FF梁。因此，的作用對(duì)EF梁的內(nèi)力無(wú)影響。同理，作用在基本部分AC梁上的荷載只在AC梁上引起內(nèi)力和反力，而對(duì)附屬部分CE和EF都不會(huì)產(chǎn)生影響?？傊饔迷诟綄俨糠稚系暮奢d將使支承它的基礎(chǔ)部分產(chǎn)生反力

10、和內(nèi)力，而作用在基本部分上的荷載則對(duì)附屬部分沒(méi)有影響。據(jù)此，計(jì)算多跨靜定梁時(shí)，應(yīng)先從附屬部分開(kāi)始，按組成順序的逆過(guò)程進(jìn)行。例如，對(duì)圖36a所示多跨靜定梁，應(yīng)先取EF梁計(jì)算，再依次考慮CE梁和AC梁。這樣，每步都是單跨靜定梁的計(jì)算問(wèn)題，用材料力學(xué)的方法即可解決。對(duì)圖3-6b所示的梁。如果僅承受豎向荷載作用，則不但AC梁能獨(dú)立承受荷載維持平衡，DE梁也能獨(dú)立承受荷載維持平衡。這時(shí)，AC梁和DF梁都可分別視為基本部分。其層次圖如圖37b所示，由層次圖可知，對(duì)該梁的計(jì)算應(yīng)從附屬部分CD梁開(kāi)始，然后再計(jì)算AC梁與DF梁。上述先附屬部分后基本部分的計(jì)算原則，也適用于由基本部分和附屬部分組成的其他類型的結(jié)構(gòu)

11、。下面舉例說(shuō)明多跨靜定梁的計(jì)算方法。圖38a所示多跨靜定梁，由于僅受豎向荷載作用，故AB和CE均為基本部分，其層次圖如圖38b所示。各根梁的隔離體示于圖38c中。從附屬部分BC開(kāi)始，依次求出各根梁上的豎向約束力和支座反力。鉸C處的水平約束力，由CE梁的平衡條件可知其值為零，并由此得知也等于零。求出各約束力和支座反力后，便可分別繪出各根梁的內(nèi)力圖。將各根梁的內(nèi)力圖置于同一基線上，則得出該多跨靜定梁的內(nèi)力圖如圖38d、e所示。在FG、GD兩個(gè)區(qū)段內(nèi)剪力是同一常數(shù)由微分關(guān)系可知這兩區(qū)段內(nèi)的彎矩圖形有相同的斜率。因此，彎矩圖中FG與GD兩段的斜直線相互平行。同樣的理由，因?yàn)樵贖左、右相鄰截面上的剪力相

12、等，所以彎矩圖中HF區(qū)段內(nèi)的直線與DH區(qū)段內(nèi)的曲線在H點(diǎn)相切。3.2 靜定平面剛架 平面剛架是由梁和柱組成的平面結(jié)構(gòu)。如圖39a所示為站臺(tái)上用的“T”形剛架，它由兩根橫梁和一根立柱組成。梁與柱的聯(lián)結(jié)處在構(gòu)造上為剛性聯(lián)結(jié)，即當(dāng)剛架受力而變形時(shí)，匯交于聯(lián)結(jié)處的各桿端之間的夾角始終保持不變。這種結(jié)點(diǎn)稱為剛結(jié)點(diǎn)。具有剛結(jié)點(diǎn)是剛架的持點(diǎn)。圖39a所示剛架柱子的下端用細(xì)石混凝土填縫而嵌固于杯形基礎(chǔ)中，可看作是固定支座。又因橫梁傾斜坡度不大，可近似地以水平直桿代替，故其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖39b所示。剛架受荷載作用后的變形圖如圖39c所示，匯交于剛結(jié)點(diǎn)A的各桿端都轉(zhuǎn)動(dòng)了同一角度。圖310a為另一靜定剛架，由橫梁CD

13、和立柱AC組成，其中結(jié)點(diǎn)C為剛結(jié)點(diǎn)。剛架的內(nèi)力是指各桿件中垂直于桿軸的橫截面上的彎矩M、剪力和軸力。在計(jì)算靜定剛架時(shí)，通常應(yīng)由整體或某些部分的平衡條件，求出各支座反力和各鉸接處的約束力，然后逐桿繪制內(nèi)力圖。值得指出，前述有關(guān)梁的內(nèi)力圖的繪制方法，對(duì)于剛架中的每一桿件同樣適用。例如圖310a中的立柱AC，在C點(diǎn)的下鄰截面處截?cái)嗔⒅⒔財(cái)嘀ё鵄的鏈桿，取出立柱AC的隔離體(圖310b)。將此隔離體與相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁(圖3一10b)比較，并注意軸力對(duì)彎矩和剪力不產(chǎn)生影響，則不難看出，二者的彎矩圖、剪力圖相同。由此可見(jiàn)，上節(jié)繪制內(nèi)力圖的方法也適用于立柱AC。剛架桿件中一般有軸力，這是它們與梁的主要區(qū)別。

14、應(yīng)該指出，當(dāng)荷載與桿軸垂直時(shí)，此桿的軸力沿桿軸無(wú)變化。柱AC只受垂直于軸線的集中力作用，所以AC柱中的軸力為常數(shù)，只要將它的任一截面的軸力求得，便可繪出其軸力圖。計(jì)算圖310a所示剛架的過(guò)程如下：一、求支座反力對(duì)于圖310a所示剛架，可通過(guò)考慮整體平衡，先求出各支座反力由 ， 得 由 ， 得 由 ， 得 然后根據(jù)其他平衡條件進(jìn)行校核。例如由，即，得知反力計(jì)算無(wú)誤。二、繪制內(nèi)力圖1彎矩圖根據(jù)各桿的荷載情況進(jìn)行分段繪圖，即對(duì)于無(wú)荷載區(qū)段，只須定出兩控制截面的彎矩值，即可連成直線圖形；對(duì)于承受均布荷載的區(qū)段，則可利用相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩圖進(jìn)行疊加。通常規(guī)定彎矩圖繪在纖維受拉的一邊。由圖3一10a所示剛架

15、的荷載情況，可知其彎矩圖應(yīng)分為AB、BC和CD三段來(lái)繪制。這三段都是無(wú)荷載區(qū)段，故取A、B、C、D為控制截面。為了使內(nèi)力表達(dá)得清晰，在內(nèi)力符號(hào)的右下方添上兩個(gè)下標(biāo)以標(biāo)明內(nèi)力所屬桿件(或桿段)，前一個(gè)下標(biāo)表示該內(nèi)力所屬桿端。例如桿段BC，B端的彎矩用來(lái)表示，而C端的彎矩則用表示。各控制截面彎矩計(jì)算如下：A端為鉸，所以截取圖310d所示隔離體，由可求得（右側(cè)受拉）截取圖310b所示隔離體，由可求得（右側(cè)受拉）截取圖310c所示隔離體，由可求得（下邊受拉）此外，又注意到。于是，由上述控制截面的彎矩值，即可繪出圖313a所示的彎矩圖。彎矩圖作出后，應(yīng)進(jìn)行校核。為此可取各剛結(jié)點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)其是否滿足力矩平衡條

16、件。例如，取結(jié)點(diǎn)C為隔離體(圖311)，并寫出其力矩平衡方程如下：， 可見(jiàn)計(jì)算無(wú)誤。2剪力圖剪力仍規(guī)定以使隔離體有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正。在圖310中所示的剪力都為正向?，F(xiàn)因本例所分的三個(gè)區(qū)段都為無(wú)荷載區(qū)段，故各區(qū)段的剪力分別為一常數(shù)。只須求出每個(gè)區(qū)段中某一截面的剪力值便可作出剪力圖。正號(hào)的剪力對(duì)于水平桿件一般繪在桿軸的上側(cè)，并注明正號(hào)。對(duì)于豎桿和斜桿，正、負(fù)剪力可分繪于桿件兩側(cè)，并注明符號(hào)。分別由圖310b、c、d所示隔離體，即可求得， ， 繪出剪力圖為圖313b所示。3軸力圖一般規(guī)定軸力以拉力為正。本例中兩桿的軸力都為常數(shù)，由圖310b、c、d所示隔離體可分別求得， 正號(hào)的軸力對(duì)于水平桿

17、件一般繪在桿件的上側(cè)，并注明正號(hào)。對(duì)于豎桿和斜桿，正、負(fù)軸力可分繪于桿件兩側(cè)，并注明符號(hào)。圖3一13c所示即為剛架的軸力圖。為了校核所作剪力圖和軸力圖的正確性，可用任一截面截取出剛架的某一部分，檢驗(yàn)其平衡條件和是否得到滿足。例如，可截取如圖312所示隔離體，由滿足和可知所得剪力圖和軸力圖無(wú)誤。為了便于讀者進(jìn)一步掌握上述內(nèi)力圖的繪制方法，下面再舉兩例加以說(shuō)明。 例31 試作圖314a所示剛架的內(nèi)力圖。解：1求支座反力由 ， 得 由 ， 得 由 ，得 再由進(jìn)行校核，有故知反力計(jì)算無(wú)誤。2繪制內(nèi)力圖(1)彎矩圖為了計(jì)算方便，暫規(guī)定彎矩的符號(hào)以使剛架內(nèi)側(cè)纖維受拉的為正，懸臂DE部分則以使下邊纖維受拉為

18、正。根據(jù)荷載情況可知，彎矩圖可分為AB、BC、CD、DE和DF五段來(lái)繪制。各段控制截面的彎矩，可截取隔離體由平衡條件求得，也可根據(jù)任一截面上的彎矩等于該截面任一側(cè)的所有外力對(duì)其形心的力矩的代數(shù)和，直接寫出各控制截面上的彎矩。如果先從剛架的左側(cè)開(kāi)始，可知：計(jì)算、時(shí)，取截面以右部分考慮較簡(jiǎn)便，于是有懸臂部分的彎矩為負(fù)，說(shuō)明懸臂上側(cè)受拉。其他彎矩為負(fù)，說(shuō)明桿件的外側(cè)受拉。求得上述各控制截面的彎矩值后，便可繪制彎短圖。根據(jù)荷載分布情況可知該剛架的彎矩圖除CD、DF段外，其余各段的彎矩圖都為直線，以直線聯(lián)結(jié)兩端豎標(biāo)即得。至于CD段的彎矩圖，則可利用疊加法來(lái)繪制。整個(gè)剛架的彎矩圖如圖314b所示。為了校核

19、彎矩圖，可取結(jié)點(diǎn)D為隔離體，檢驗(yàn)它是否滿足這平衡條件。由圖15可知 對(duì)其他剛結(jié)點(diǎn)，也可按同樣方法進(jìn)行校核，并可證實(shí)所得的彎矩圖無(wú)誤。（2）剪力圖各段控制截面上的剪力，等于該截面任一側(cè)的全部外力在截面方向上投影的代數(shù)和，從而可作出剪力圖如圖314c所示。（3）軸力圖桿件中任一截面上的軸力，等于該截面任一側(cè)的全部外力在垂直于截面方向上投影的代數(shù)和，于是可作出如圖314d所示的軸力圖。最后，取結(jié)點(diǎn)D來(lái)檢驗(yàn)其剪力和軸力是否滿足和兩個(gè)平衡條件。由圖316有可知所得剪力圖和軸力圖無(wú)誤。例32 試作圖317a所示三鉸剛架的內(nèi)力圖。解：1計(jì)算反力由 ， 得 由 ， 得 由 可知， 取CB部分為隔離體（圖318

20、a），由， 得 于是 為了校核反力，取AC部分為隔離體(圖318b)，根據(jù)檢驗(yàn)如下：故知反力計(jì)算無(wú)誤。2繪制內(nèi)力圖根據(jù)荷載情況，可分為AD、DC、CE和EB四段，分別計(jì)算出各段控制截面得內(nèi)力，即可作出如圖317b、c和d所示的彎矩圖、剪力圖和軸力圖。對(duì)于AD和EB段仿照前例方法不難求得有關(guān)內(nèi)力，現(xiàn)對(duì)傾斜段DC和CE的控制截面上的內(nèi)力計(jì)算說(shuō)明如下：(1)求DC段控制截面的內(nèi)力取圖3-19a所示隔離體，由，有為了便于計(jì)算，取坐標(biāo)系，列出投影方程。由，有即 得 由，有 可得 再取DC為隔離體(圖319b)，由，有得由 ，有即 得 此外，因C端為鉸，故。(2)求CE段控制截面的內(nèi)力取圖319c所示隔離

21、體，由，有得 同理，取坐標(biāo)系，列出投影方程，由，有即 得 由 ，有可得 注意到該段為無(wú)荷載區(qū)段，故剪力和軸力分別為一常數(shù)，即，求得上述兩傾斜桿段有關(guān)控制截面的內(nèi)力后，即可作出相應(yīng)的內(nèi)力圖。DC段的彎矩圖，等于相應(yīng)斜簡(jiǎn)支梁在端彎矩作用下的彎矩圖(圖317b中DC桿上的虛線)，疊加均布荷載作用下的彎矩圖(參見(jiàn)§31中圖35a)。具體登加方法與均布荷載作用下水平桿件的彎矩圖疊加法相同，只須注意豎標(biāo)應(yīng)與桿軸DC垂直。3.3 三鉸拱3.3.1 慨述拱結(jié)構(gòu)是應(yīng)用比較廣泛的結(jié)構(gòu)型式之一。在房屋建筑中，屋面承重結(jié)構(gòu)也用到拱結(jié)構(gòu)(圖3-20)拱結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖通常有三種(圖321)，圖321a和圖321

22、b所示無(wú)鉸拱和兩鉸拱是超靜定的，圖32lc所示三鉸拱是靜定的。在本節(jié)中將只討論三鉸拱的計(jì)算。拱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平反力。這種水平反力又稱為水平推力，或簡(jiǎn)稱為推力。拱結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)的區(qū)別，不僅在于外形不同，更重要的還在于在豎向荷載作用下是否產(chǎn)生水平推力。例如圖322所示的兩個(gè)結(jié)構(gòu)，雖然它們的桿軸都是曲線，但圖322a所示結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平推力，其彎矩與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁(同跨度、同荷載的梁)的彎矩相同，所以這種結(jié)構(gòu)不是拱結(jié)構(gòu)而是一根曲梁。但圖322b所示結(jié)構(gòu)，由兩端都有水平支座鏈桿，在豎向荷載作用下將產(chǎn)生水平推力，所以屬于拱結(jié)構(gòu)。由于水平推力的存在，拱中

23、各截面的彎矩將比相應(yīng)的曲梁或簡(jiǎn)支梁的彎矩要小，并且會(huì)使整個(gè)拱體主要是承受壓力。因此，拱結(jié)構(gòu)可用抗壓強(qiáng)度較高而抗拉強(qiáng)度較低的磚、石、混凝土等建筑材料來(lái)建造。拱結(jié)構(gòu)(圖323a)最高的一點(diǎn)稱為拱頂。三鉸拱的中間鉸通常是安置在拱頂處，拱的兩端與支座聯(lián)結(jié)處稱為拱趾，或者稱為拱腳。兩拱趾在同一水平線上的拱稱為平拱，否則為斜拱。兩個(gè)拱趾間的水平距離l稱為跨度。供頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱為拱高，或者稱為拱矢。拱高與跨度之比f(wàn)l稱為高跨比或矢跨比。由后面可知，拱的主要力學(xué)性能與高跨比有關(guān)。用作屋面承重結(jié)構(gòu)的三鉸拱，常在閥支座鉸之間設(shè)水平拉桿(圖323b)。這樣，拉桿內(nèi)所產(chǎn)生的拉力代替了支座推力的作用，在豎

24、向荷載作用下，使支座只產(chǎn)生豎向反力。但是，這種結(jié)構(gòu)的內(nèi)部受力情況與三鉸拱完全相同，故稱為具有拉桿的拱，或者簡(jiǎn)稱為拉桿拱。它的優(yōu)點(diǎn)在于消除了推力對(duì)支承結(jié)構(gòu)(例如磚墻)的影響。因320所示的裝配式鋼筋混凝土三鉸拱就是拉桿拱的實(shí)例。設(shè)置吊桿是為了減少拉桿的撓度，在分析拱的內(nèi)力時(shí)可以不考慮。拉桿拱的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖323b所示。3.3.2 三鉸拱的計(jì)算三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)，其全部反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程算出。為了說(shuō)明三鉸拱的計(jì)算方法，現(xiàn)以圖324a所示在豎向荷載作用下的平拱為例導(dǎo)出其計(jì)算公式如下。1. 支座反力的計(jì)算公式三鉸供的兩端都是鉸支座，因此有四個(gè)未知反力，故需列四個(gè)平衡方程進(jìn)行解算。除了三鉸拱整體

25、平衡的三個(gè)方程之外，還可利用中間鉸處不能抵抗彎矩的特性(即彎矩)來(lái)建立一個(gè)補(bǔ)充方程。首先考慮三餃拱的整體平衡，由有可得左支座豎向反力 （a）同理，由 可得右支座豎向反力由，可知再考慮的條件，取左半拱上所有外力對(duì)C點(diǎn)的力矩來(lái)計(jì)算，則由，有所以 (c)式(a)和式(b)右邊的值，恰好等于圖324b所示相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的支座反力和。式(c)右邊的分子，等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁(圖324b)上與拱的中間鉸位置相對(duì)應(yīng)的截面C的彎矩。由此可得 (31) （32） （33）由式(33)可知，推力等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁截面C的彎矩除以拱高。其值只與三個(gè)鉸的位置有關(guān)，而與各鉸間的拱軸形狀無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，只與拱的高跨比有關(guān)。當(dāng)荷載和拱的

26、跨度不變時(shí)，推力將與拱高成反比，即愈大則愈小，反之，愈小則愈大。2. 內(nèi)力的計(jì)算公式計(jì)算內(nèi)力時(shí)，應(yīng)注意到拱軸為曲線這一特點(diǎn)，所取截面應(yīng)與拱軸正交，即與拱軸的切線相垂直(圖325a)。任一截面的位置取決于該截面形心的坐標(biāo)、，以及該處拱軸切線的傾角。截面的內(nèi)力可以分解為彎矩剪力和軸力，其中沿截面方向，即沿拱軸法線方向作用，軸力沿垂直于截面的方向，即沿拱軸切線方向作用。下面分別研究這三種內(nèi)力的計(jì)算。(1)彎矩的計(jì)算公式彎矩的符號(hào)規(guī)定以使拱內(nèi)側(cè)纖維受拉的為正，反之為負(fù)。取AK段為隔離體(圖325b)，由，有得截面K的彎矩根據(jù)，可見(jiàn)式中方括號(hào)內(nèi)之值等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁(圖325c)截面K的彎矩，所以上式可改寫

27、為即拱內(nèi)任一截面的彎矩，等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁對(duì)應(yīng)截面的彎矩減去由于拱的推力FH所引起的彎矩。由此可知，因推力的存在，三鉸拱中的彎矩比相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩為小。(2)剪力的計(jì)算公式剪力的符號(hào)通常規(guī)定以使截面兩側(cè)的隔離體有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正，反之為負(fù)。取AK段為隔離體，將其上各力對(duì)截面投影(圖325b)，由平衡條件得 式中等于相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在截面K處的剪力，于是上式可改寫為式中為截面K處拱軸切線的傾角。(3)軸力的計(jì)算公式因拱軸通常為受壓，所以規(guī)定使截面受壓的軸力為正，反之為負(fù)。取AK段為隔離體將其上各力向垂直于截面K的方向上投影(圖325b)，由平衡條件得 有了上述公式，則不難求得任一截面的內(nèi)力，從而作

28、出三鉸拱的內(nèi)力圖，具體作法見(jiàn)下例。例33 試?yán)L制圖326a所示三鉸拱的內(nèi)力圖。其拱鈾為一拋物線，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)選在左支座時(shí)，拱軸方程由下式表達(dá)：解：先求支座反力，根據(jù)式(3-1)、（3-2）、（3-3）可得反力求出后，即可根據(jù)式(34)、(35)、(36)繪制內(nèi)力圖。為此，將拱跨分成八等分，列表（表31）算出各截面上的、值，然后根據(jù)表中所得數(shù)值繪制、圖，如圖326c、d、e所示。這些內(nèi)力圖是以水平線為基線繪制的。圖326b為相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。今以截面1（離左支座1.5m處)和截面2(離左支座3.0m處)的內(nèi)力計(jì)算為例，對(duì)表31說(shuō)明如下。在截面1，有1.5m，由拱軸方程可求得截面1處的切線斜率為

29、tan于是根據(jù)式（34）、（35)、(36)求得該截面的彎矩、剪力和軸力分別為在截面2因有集中荷載作用，該截面兩邊的剪力和軸力不相等，此處、圖將發(fā)生改變?，F(xiàn)計(jì)算該截面內(nèi)力如下：其他各截面內(nèi)力的計(jì)算與以上類同。三、拱的合理軸線對(duì)于三鉸拱來(lái)說(shuō)，在一般情況下，截向上有彎短、剪力和軸力作用，而處于偏心受壓狀態(tài)，其正應(yīng)力分布不均勻。但是，在給定荷載作用下，可以選取一根適當(dāng)?shù)墓拜S線，使拱上各截面只承受軸力，而彎矩為零。此時(shí)，任截面上正應(yīng)力應(yīng)力分布將是均勻的，因而拱體材料能夠得到充分地利用，這樣的拱軸線稱為合理軸線。由式(34)，任意截面的彎矩為上式說(shuō)明，三鉸拱的彎矩是由相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩與疊加而得。當(dāng)拱的跨

30、度和荷載為已知時(shí)，不隨拱軸線改變而變，而則與拱的軸線有關(guān)(注意：前已指出推力的數(shù)值只與三個(gè)鉸的位置有關(guān)，而與各鉸可的軸線形狀無(wú)關(guān))。因此，可以在三個(gè)鉸之間恰當(dāng)?shù)剡x擇拱的軸線形式，使拱中各截面的彎矩都為零。為了求出合理軸線方程，由式(3 4)根據(jù)各截面彎矩都為零的條件應(yīng)有由式(37)可知：合理軸線的豎標(biāo)與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩豎標(biāo)成正比，是這兩個(gè)豎標(biāo)之間的比例系數(shù)。當(dāng)拱上所受荷載為已知時(shí)，只需求出相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩方程，然后除以推力，便可得到拱的合理軸線方程。例34 試求圖327a所示對(duì)稱三鉸供在均布荷載作用下的合理軸線。解：作出相應(yīng)簡(jiǎn)支梁如圖327b所示，其彎矩方程為由式（33）求得所以由式（37）得

31、到合理軸線方程為由此可見(jiàn)，在滿跨的豎向均布荷載作用下，三鉸拱的合理軸線是一根拋物線。房屋建筑中拱的軸線常采用拋物線。3.4 靜定平面桁架3.4.1 概述桁架結(jié)構(gòu)在土木工程中應(yīng)用很廣泛。特別是在大跨度結(jié)構(gòu)中，桁架更是一種重要的結(jié)構(gòu)型式。圖328a、c所示鋼筋混凝土屋架和鋼木屋架就屬于桁架；武漢長(zhǎng)江大橋和南京長(zhǎng)江大橋的主體結(jié)構(gòu)也是桁架結(jié)構(gòu)。桁架的型式、朽架桿件之間的連接方式以及它所用的材料是多種多樣的。在分析桁架時(shí)必須抓住矛盾的主要方面，選取既能反映這種結(jié)構(gòu)的本質(zhì)又便于計(jì)算的計(jì)算簡(jiǎn)圖?？茖W(xué)試驗(yàn)和理論分析的結(jié)果表明，各種桁架有著共同的特性：在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，桁架中各桿的內(nèi)力主要是軸力，而彎矩和剪力則

32、很小，可以忽略不計(jì)。因而從力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，各結(jié)點(diǎn)所起的作用和理想鉸是接近的。這樣，圖328a、c所示桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖分別如圖328b、d所示。這種計(jì)算簡(jiǎn)圖引用了下列假定：l各桿在兩端用絕對(duì)光滑而無(wú)摩擦的理想鉸相互聯(lián)結(jié)。2各桿的軸線都是絕對(duì)平直的，且處于同一平而內(nèi)，并通過(guò)鉸的中心。3荷載和支座反力作用在結(jié)點(diǎn)上，并且都位于桁架的平面內(nèi)。在上述理想情況下，桁架各桿均為兩端鉸接的直桿，僅在兩端受約束力作用，故只產(chǎn)生軸力。這類桿件也稱為二力桿。在軸向受拉或受壓的桿件中，由于截而上的應(yīng)力均勻分部且同時(shí)達(dá)到極限值，故材料能得到無(wú)分的利用。實(shí)際的桁架常不能完全符合上述理想情況。例如桁架的結(jié)點(diǎn)具有一定的剛性，有些

33、桿件在結(jié)點(diǎn)處可能連續(xù)不斷，或各桿之間的夾角幾乎不可能變動(dòng)。另外，各桿軸無(wú)法絕對(duì)平直，結(jié)點(diǎn)上各桿的軸線也不一定全交于一點(diǎn)，荷載不一定都作用在結(jié)點(diǎn)上等。因此，桁架在荷載作用下，其中某些桿件必將發(fā)生彎曲而產(chǎn)生彎曲應(yīng)力，并不能如理想情況只產(chǎn)生軸向均勻分布的應(yīng)力。通常把按桁架理想情況計(jì)算出來(lái)的應(yīng)力稱為初應(yīng)力或基本應(yīng)力，由于理想情況不能完全實(shí)現(xiàn)而產(chǎn)生的附加應(yīng)力稱為次應(yīng)力。關(guān)于次應(yīng)力的計(jì)算有專門的參考文獻(xiàn)論述，本節(jié)只限于討論桁架的理想情況。常用的桁架一般是按下列兩種方式組成的：1由基礎(chǔ)或由一個(gè)基本鉸結(jié)三角形開(kāi)始，依次增加二元體，組成一個(gè)桁架，如圖329a、b所示。這樣的桁架稱為簡(jiǎn)單桁架。2幾個(gè)簡(jiǎn)單桁架按照幾

34、何不變體系的簡(jiǎn)單組成規(guī)則聯(lián)成一個(gè)桁架，如圖330所示。這樣的桁架稱為聯(lián)合桁架。桁架的桿件，依其所在位置不同可分為弦桿和腹桿兩類。弦桿是指桁架上、下外圍的桿件，上邊的桿件稱為上弦桿、下邊的桿件稱為下弦桿。桁架上弦桿和下弦桿之間的桿件稱為腹桿。腹桿又分為豎桿和斜桿。弦桿上相鄰兩結(jié)點(diǎn)之間的區(qū)間稱為節(jié)間，其距離d稱為節(jié)間長(zhǎng)度(圖329a)。3.4.2 解算桁架內(nèi)力的方法1. 結(jié)點(diǎn)法所謂結(jié)點(diǎn)法就是取桁架的結(jié)點(diǎn)為隔離體，利用結(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件來(lái)計(jì)算個(gè)桿件的內(nèi)力或支座反力。因?yàn)殍旒艿母鳁U只承受軸力，作用于任一結(jié)點(diǎn)的各力組成一個(gè)平面匯交力系，所以可就每一個(gè)結(jié)點(diǎn)列出兩個(gè)平衡方程進(jìn)行解算。在實(shí)際計(jì)算中，為了簡(jiǎn)便起

35、見(jiàn)取結(jié)點(diǎn)考慮時(shí)，應(yīng)力求作用于該結(jié)點(diǎn)的未知力不超過(guò)兩個(gè)。在簡(jiǎn)單桁架中，實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)并不困難，因?yàn)楹?jiǎn)單桁架是由基礎(chǔ)或一個(gè)基本鉸接三角形開(kāi)始，依次增加二元體所組成的桁架，其最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)只包含兩根桿件。分析這類桁架時(shí)，可先由整體平衡條件求出它的反力，然后再?gòu)淖詈笠粋€(gè)結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，依次考慮各結(jié)點(diǎn)的平衡，即可使每個(gè)結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)的未知內(nèi)力不超過(guò)兩個(gè)，直接求出各桿的內(nèi)力。例35 試用結(jié)點(diǎn)法解算圖331a所示桁架中各桿的內(nèi)力。解：首先求出支座反力。以整個(gè)桁架為隔離體，由得再由得 求出反力后，可截取結(jié)點(diǎn)解算各桿的內(nèi)力。最初遇到只包含兩個(gè)未知力的結(jié)點(diǎn)有1和8兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，現(xiàn)在從結(jié)點(diǎn)1開(kāi)始，然后依2、3、4、次序進(jìn)行解算。在計(jì)算時(shí)

36、，通常假定桿件內(nèi)力為拉力，如所得結(jié)果為負(fù)，則為壓力?，F(xiàn)用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算各桿內(nèi)力如下：1 取結(jié)點(diǎn)1為隔離體(圖331b)。由得 再由得2結(jié)點(diǎn)2為隔離體(圖331c)。，得 3取結(jié)點(diǎn)3為隔離體(圖331d)。， ，可得 ， 4取結(jié)點(diǎn)4為隔離體（圖331e）。由得再由得5取結(jié)點(diǎn)5為隔離體（331f）。由得再由得6取結(jié)點(diǎn)6為隔離體(圖331g)。由得再由得7取結(jié)點(diǎn)7為隔離體(圖331h)。由得至此，桁架中各桿件的內(nèi)力都已求得。最后可根據(jù)結(jié)點(diǎn)8的隔離體(圖331i)是否滿足平衡條件和來(lái)作校核。此時(shí)有故知計(jì)算結(jié)果無(wú)誤。為了清晰起見(jiàn)，將此桁架各桿的內(nèi)力注在圖332中。桁架中內(nèi)力為零的桿件稱為零桿。如上例中的23

37、、67、57三桿件就是零桿，出現(xiàn)零桿的情況可歸結(jié)如下：(1)兩桿結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載作用時(shí)(圖333a)，則該兩桿的內(nèi)力都等于零。(2)三桿結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載作用時(shí)(圖333b)，如果其中有兩桿在一直線上，則另一桿必為零桿。上述結(jié)論都不難由結(jié)點(diǎn)平衡條件得到證實(shí)。在分析桁架時(shí)，可先利用上述原則找出零桿，這樣可使計(jì)算工作簡(jiǎn)化。2. 截面法除結(jié)點(diǎn)法外，另一種分析桁架的基本方法是截面法。這種方法是用一截面，截取桁架中兩個(gè)或多于兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的某一部分為隔離體，建立靜力平衡方程求出未知的桿件內(nèi)力。作用于隔離體上的力系為平面一般力系。只要未知力數(shù)目不多于三個(gè)，則可把截面上的全部未知力求出?，F(xiàn)舉例說(shuō)明如下。例36 試求圖334

38、a所示桁架(與例35同)中25、34、35三桿的內(nèi)力。解：首先求出支座反力。由例35已得， 然后設(shè)想用截面II將34、35、25三桿截?cái)?，取桁架左邊部分為隔離體(圖334b）。為求得可取和兩未知力的交點(diǎn)3為矩心，由得為了求得，可取和兩力的交點(diǎn)5力矩心，不過(guò)，這時(shí)需要算出的力臂。不是很方便的。為此，可將沿其作用線移到點(diǎn)4(圖334c)并分解為水平與豎向兩分力。因豎向分力通過(guò)矩心5，故由得同理，為求得，可將沿其作用線移至5點(diǎn)分解(圖334d)，由，可求得。也可利用投影方程來(lái)求。結(jié)點(diǎn)法及截面法為計(jì)算桁架內(nèi)力常用的兩種方法。對(duì)于簡(jiǎn)單桁架來(lái)說(shuō)用哪種方法來(lái)計(jì)算都很簡(jiǎn)便。至于聯(lián)合桁架的內(nèi)力分析，則宜先用截面

39、法將聯(lián)合處桿件的內(nèi)力求出，然后再對(duì)組成聯(lián)合桁架的各簡(jiǎn)單桁架進(jìn)行分析。例如圖335所示聯(lián)合桁架，由截面法(用截面II截開(kāi))先求出聯(lián)系桿件34的內(nèi)力之后，則其左、右兩部分都可作為簡(jiǎn)單桁架加以處理。3.5 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析和受力特點(diǎn)3.5.1 基本特征1)在幾何組成方面，靜定結(jié)構(gòu)是沒(méi)有多余約束的幾何不變體系。在靜力學(xué)方面，靜定結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力均可由靜力平衡條件求得，且其解答是唯一的確定值。2)由于只用靜力平衡條件即可確定靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，因此其反力和內(nèi)力只與荷載以及結(jié)構(gòu)的幾何形狀和尺寸有關(guān)，而與構(gòu)件所用材料及其截面形狀和尺寸無(wú)關(guān)。3)由于靜定結(jié)構(gòu)不存在多余約束，因此可能發(fā)生的支座位移、溫度

40、改變或制造誤差會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移，而不會(huì)產(chǎn)生反力和內(nèi)力。如圖336a所示三鉸剛架，當(dāng)支座B下沉?xí)r，整個(gè)剛架將隨之發(fā)生虛線所示的剛體運(yùn)動(dòng)，但不產(chǎn)生反力和內(nèi)力。又如圖336b所示柱子，當(dāng)兩側(cè)溫度變化不同時(shí)，柱子可自由伸長(zhǎng)和彎曲而發(fā)生如圖中虛線所示的變形，也不會(huì)產(chǎn)生反力和內(nèi)力。4)靜定結(jié)構(gòu)在平衡力系作用下，其影響的范圍只限于受該力系作用的最小幾何不變部分而不致影響到此范圍以外。如圖337所示平衡力系作用的桁架，其粗線部分是受平衡力系作用的最小幾何不變部分。因此，只在粗線所示的桿件中產(chǎn)生內(nèi)力，而反力和其他桿件的內(nèi)力都等于零。5)兩個(gè)力系向同一點(diǎn)簡(jiǎn)化，如果合力相等，合力矩也相等，則該兩個(gè)力系靜力等效。靜

41、力等效的兩個(gè)力系分別作用在靜定結(jié)構(gòu)上，只會(huì)使兩力系共同占有的幾何不變部分發(fā)生不同的內(nèi)力，而結(jié)構(gòu)中其他部分的受力情況則相同。例如，圖338a、b中所示的兩個(gè)力系是靜力等效的，它們對(duì)梁的影響，在范圍之內(nèi)的內(nèi)力不同，而在以外的內(nèi)力和反力是相同的。對(duì)于這一特性可作如下說(shuō)明。如果在圖338a所示的情況下再疊加一平衡力系，則得到圖338c所示的情況。根據(jù)前述平衡力系作用下的特性可知圖338c與圖338a的受力情況只在段內(nèi)不相同。若在圖338c中把作用在上邊的力與作用在下邊的兩個(gè)大小為的力組成的平衡力系去掉，也不影響段以外的受力情況，這樣就得到圖338b所示的情況。由此可知，圖338a與圖338b中的梁只在段