parseval定理

1、譜密度在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)中,譜密度、功率譜密度和能量譜密度是一個用于信號的通用概念，它表示每赫茲的功率、每赫茲的能量這樣的物理量綱。解釋在物理學(xué)中,信號通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號的功率譜密度（powerspectraldensity,PSD或者譜功率分布（spectralpowerdistribution,SPD。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特數(shù)（W/HN表示，或者使用波長而不是頻率，即每納米的瓦特數(shù)（W/nm來表示。盡管并非一定要為信號或者它的變量賦予一定的物理量綱，下面的討論中假設(shè)信號在時域

2、內(nèi)變化。定義能量譜密度能量譜密度描述的是信號或者時間序列的能量或者變化如何隨著頻率分布。如果f（t）是一個有限能量信號，即平方可積，那么信號的譜密度（）就是信號連續(xù)傅里葉變換幅度的平方。其中是角頻率（循環(huán)頻率的2冗倍），F(xiàn)（）是f（t）的連續(xù)傅里葉變換如果信號是離散的fn,經(jīng)過有限的元素之后，仍然得到能量譜密度：其中F()是fn的離散時間傅里葉變換。如果所定義的數(shù)值個數(shù)是有限的，這個序列可以看作是周期性的,使用離散傅里葉變換得到離散頻譜,或者用零值進(jìn)行擴(kuò)充從而可以作為無限序列的情況計算譜密度。乘數(shù)因子1/2冗經(jīng)常不是絕對的， 它隨著不同傅里葉變換定義的歸一化常數(shù)的不同而不同。功率譜密度上面能量

3、譜密度的定義要求信號的傅里葉變換必須存在，也就是說信號平方可積或者平方可加。一個經(jīng)常更加有用的替換表示是功率譜密度(PSD,它定義了信號或者時間序列的功率如何隨頻率分布。這里功率可能是實際物理上的功率，或者更經(jīng)常便于表示抽象的信號被定義為信號數(shù)值的平方，也就是當(dāng)信號的負(fù)載為1歐姆(ohm)時的實際功率。此瞬時功率(平均功率的中間值)可表示為：2Ps(t)由于平均值不為零的信號不是平方可積的，所以在這種情況下就沒有傅里葉變換。 幸運的是維納-辛欽定理(Wiener-Khinchintheorem)提供了一個簡單的替換方法， 如果信號可以看作是平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么功率譜密度就是信號自相關(guān)函數(shù)的傅里葉

4、變換。信號的功率譜密度當(dāng)且僅當(dāng)信號是廣義的平穩(wěn)過程的時候才存在。如果信號不是平穩(wěn)過程，那么自相關(guān)函數(shù)一定是兩個變量的函數(shù)，這樣就不存在功率譜密度，但是可以使用類似的技術(shù)估計時變譜密度。屬性,1-infnef(t)的譜密度和f(t)的自相關(guān)組成一個傅里葉變換對(對于功率譜密度和能量譜密度來說，使用著不同的自相關(guān)函數(shù)定義)。通常使用傅里葉變換技術(shù)估計譜密度，但是也可以使用如Welch法(Welchsmethod)和最大嫡這樣的技術(shù)。傅里葉分析的結(jié)果之一就是Parseval定理(Parsevalstheorem),這個定理表明能量譜密度曲線下的面積等于信號幅度平方下的面積，總的能量是：2ftdtd:

5、上面的定理在離散情況下也是成立的。另外的一個結(jié)論是功率譜密度下總的功率與對應(yīng)的總的平均信號功率相等，它是逐漸趨近于零的自相關(guān)函數(shù)。相關(guān)概念大多數(shù)“頻率”圖實際上僅僅表示了譜密度。有時完整的頻率要用兩部分來表示，一部分是對應(yīng)于頻率的“幅度”(它就是譜密度)，另外一部分是對應(yīng)于頻率的“粗色”(它包含了頻譜中剩余的其它信息)。信號f(t)可以從一個完整的頻譜進(jìn)行恢復(fù)。需要注意的是f不能僅僅從譜密度這一部分進(jìn)行恢復(fù)一一它丟失了“臨時信息”。信號的譜矩心(spectralcentroid)是譜密度函數(shù)的中點，也就是說將整個分布切分成兩個相等部分的點。譜密度是頻率的函數(shù)，而不是時間的函數(shù)。但是，也可以計算一個較長信號上一小段“窗口”的譜密度，并且根據(jù)與事件相關(guān)的窗口進(jìn)行繪圖，這樣的圖形稱為頻譜圖(spectrogram)。這是短時傅里葉變換和小波等許多譜分析技術(shù)的基礎(chǔ)。應(yīng)用一一電子工程信號功率譜的概念和應(yīng)用是電子工程的基礎(chǔ)，尤其是在電子通信系統(tǒng)中，例如無線電和微波通信、雷達(dá)以及相關(guān)系統(tǒng)。人們已經(jīng)花費了很大的精力和大量的金錢投入到開發(fā)、生產(chǎn)“頻