泛函極值及變分法

1、第二章 泛函極值及變分法（補(bǔ)充內(nèi)容）2.1 變分的基本概念2.1.1 泛函和變分泛函是一種廣義的函數(shù)，是指對(duì)于某一類函數(shù)y(x)中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量J有一值與之對(duì)應(yīng)，或者說(shuō)數(shù)J對(duì)應(yīng)于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立，則我們稱變量J是函數(shù)y(x)的泛函，記為Jy(x)。例1：如果表示兩固定端點(diǎn)A(xA，yA)，B(xB，yB)間的曲線長(zhǎng)度J（圖2.1.1），則由微積分相關(guān)知識(shí)容易得到： （2.1.1）顯然，對(duì)于不同的曲線y(x)，對(duì)應(yīng)于不同的長(zhǎng)度J，即J是函數(shù)y(x)的函數(shù)，J=Jy(x)。圖2.1.1 兩點(diǎn)間任一曲線的長(zhǎng)度例2：歷史上著名的變分問(wèn)題之一最速降線問(wèn)題，如果2.1.2所示。設(shè)在不同鉛

2、垂線上的兩點(diǎn)P1與P2連接成某一曲線，質(zhì)點(diǎn)P在重力作用下沿曲線由點(diǎn)P1自由滑落到點(diǎn)P2，這里不考慮摩擦作用影響，希望得到質(zhì)點(diǎn)沿什么樣的曲線滑落所需時(shí)間最短。圖2.1.2 最速降線問(wèn)題選取一個(gè)表示曲線的函數(shù)y(x)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)從P1到P2沿曲線y=y(x)運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)速度為：其中，S表示曲線的弧長(zhǎng)，t表示時(shí)間，于是：設(shè)重力加速度為g，則。因?yàn)镻1和P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1到x2，那么質(zhì)點(diǎn)從P1到P2所用時(shí)間便為： （2.1.2）則最速降線問(wèn)題對(duì)應(yīng)于泛函Jy(x)取最小值?；仡櫤瘮?shù)的微分：對(duì)于函數(shù)的微分有兩種定義：一種是通常的定義，即函數(shù)的增量： （2.1.3）其中A（x）與x無(wú)關(guān)，且有x0時(shí)（x,

3、x）0，于是就稱函數(shù)y(x)是可微的，其線性部分稱為函數(shù)的微分，函數(shù)的微分就是函數(shù)增量的主部。函數(shù)微分的另外一種定義：通過(guò)引入一小參數(shù)，對(duì)關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，并令0的途徑得到，即： （2.1.4）上式說(shuō)明在=0處關(guān)于的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y(x)在x處的微分。相應(yīng)地，在泛函Jy(x)中，變量函數(shù)y(x)的增量在其很小時(shí)稱為變分，用y(x)或y表示，指y(x)與它相接近的y1(x)的差，即：。泛函的變分也有類似的兩個(gè)定義：對(duì)于函數(shù)y(x)的變分y(x)所引起的泛函的增量為，當(dāng)時(shí)泛函增量的線性主部就稱為泛函J在函數(shù)y(x)處的變分，記為J，即： （2.1.5）其中Ly(x),y(x)是泛函增量的線性主部，而且其對(duì)

4、于變分y(x)是線性的。另一種定義：拉格朗日的泛函變分定義為：泛函變分是對(duì)的導(dǎo)數(shù)在=0時(shí)的值，即： （2.1.6）首先，我們進(jìn)行泛函： （2.1.7）的變分。此泛函的增量可以用Taylor展式表示為： （2.1.8）當(dāng)，上式積分中的前兩項(xiàng)是增量的線性主部，后面的項(xiàng)為高階無(wú)窮小量。根據(jù)變分的定義，該泛函的變分為： （2.1.9）（2.1.9）也稱為泛函J的一階變分，而（2.1.8）式的后三項(xiàng)為二階變分，記作2J，即： （2.1.10）也可以通過(guò)拉格朗日泛函變分的定義，得到： （2.1.11）此結(jié)果與（2.1.9）是相同的。類似地，如果泛函的值決定于兩個(gè)函數(shù)，并且這些函數(shù)是兩個(gè)變量的函數(shù)，如： （

5、2.1.12）其變分為： （2.1.13）依此類推，不難得到多個(gè)多元函數(shù)的變分。此處，泛函的變分滿足下面的一些運(yùn)算規(guī)律：（1） （2.1.14a）（2） （2.1.14b）（3） （2.1.14c）（4） （2.1.14d）2.1.2 泛函的極值和變分問(wèn)題本節(jié)將討論泛函的極值和變分。微積分知識(shí)：函數(shù)取極值的必要條件（但不是充分條件）：對(duì)于一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，如果其在定義域的某（些）點(diǎn)函數(shù)有極值，那么這個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在這（些）點(diǎn)等于零，這個(gè)（些）點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)或駐點(diǎn)。對(duì)于泛函的極值問(wèn)題，也有類似的結(jié)論，即泛函取極值的必要條件是其一階變分。簡(jiǎn)要證明：假設(shè)函數(shù)y(x)是泛函J所定義的函數(shù)集合中的

6、任一函數(shù)，這里不妨設(shè)泛函Jy(x)在函數(shù)y(x)處有極大值，那么對(duì)于任一實(shí)變量，必有： （2.1.15）令，則有： （2.1.16）上式表示在處有極大值，根據(jù)函數(shù)取極值的必要條件：，得到： （2.1.17）由此就得到泛函取極大值的必要條件是其一階變分為零。同樣的方法可以證明，泛函取極小值的必要條件也是其一階變分為零。泛函實(shí)現(xiàn)局部極大或極小值的充要條件：泛函實(shí)現(xiàn)局部極大或極小值的充要條件與函數(shù)取極值的充要條件類似，除了其一階變分為零外，還需要考察二階變分的情況：1) 若泛函Jy(x)在y(x)處取局部極大值，其充分必要條件為： （2.1.18）2) 若泛函Jy(x)在y(x)處取局部極小值，其充

7、分必要條件為： （2.1.19）通常，我們將求泛函極值的問(wèn)題稱為變分問(wèn)題。變分法的基本預(yù)備定理：如果函數(shù)F（x）在線段（x1,x2）上連續(xù)，且對(duì)于只滿足某些一般條件的任意選取的函數(shù)，有： （2.1.20）則在線段（x1,x2）上有： （2.1.21）這里滿足的一般條件為： 一般或若干階可微； 在（x1,x2）的端點(diǎn)外為0； 或等。對(duì)于多變量問(wèn)題，也有類似的變分定理。二維：函數(shù)F（x，y）在（x，y）平面S內(nèi)連續(xù)，設(shè)在S的邊界上為零，且滿足連續(xù)性以及一階或若干階的可微性，對(duì)于這樣選取的，若有： （2.1.22）則在區(qū)域S內(nèi)有： （2.1.23）現(xiàn)在我們來(lái)研究最簡(jiǎn)單的泛函： （2.1.24）的極值

8、問(wèn)題。其中F為x，y和的函數(shù)，且是三階可微的。確定泛函極值的曲線的邊界是固定不變的，且有： （2.1.25）采用拉格朗日法來(lái)求其泛函變分，有： （2.1.26）令：（利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則） （2.1.27）令，則： （2.1.28）其中：（利用分部積分） （2.1.29）上式中利用到了固定邊界條件。最后，可得到變分的極值條件： （2.1.30）根據(jù)變分法預(yù)備定理，得到： （2.1.31）上式中，關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù)，即 （2.1.32）（2.1.31）式即為著名的歐拉方程，是歐拉于1744年得到的，也稱為歐拉拉格朗日方程。歐拉方程常不能簡(jiǎn)單解出，但F不顯含中的一個(gè)或兩個(gè)時(shí)，問(wèn)題得以簡(jiǎn)化：a )

9、 F不顯含y時(shí)，（2.1.31）式經(jīng)過(guò)一次積分得一階微分方程： （2.1.33）C是積分常數(shù)。b) F不顯含x時(shí)，（2.1.31）式做如下變化：由（2.1.32）式：.因此：經(jīng)過(guò)一次積分得： （2.1.34）C是積分常數(shù)。例2.1.2（續(xù)）：最速降線問(wèn)題J=.解：，不顯含x，按式（2.1.34），有：此式簡(jiǎn)化為：y(1+y2) =c1，其中c1=引入?yún)?shù)y=ctg，則有：由于因而：積分后得：.由初始條件：y(0)=0，知：c2=0.于是最速降線問(wèn)題的解為：其中c1由邊界條件y(x1)=y1來(lái)確定。再令：就得到：從解析幾何知，上述方程是擺線的參數(shù)方程，因此最速降線是半徑為R的圓沿x軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)圓周一

10、點(diǎn)所描出的曲線中的一段。例2.1.3：求泛函下的極值曲線。解：F(x,y,y) = y2 -2ycosx.則：由，對(duì)應(yīng)的歐拉方程為：.代入邊界條件得：.較復(fù)雜的泛函的歐拉方程可以仿照上述方法導(dǎo)出。a）對(duì)于取決于一個(gè)自變量的幾個(gè)函數(shù)的泛函泛函Jy1(x)，y2(x), .yn(x)的變分問(wèn)題對(duì)應(yīng)于下列歐拉方程組：（i=1,2.n） (2.1.35)例2.1.4：求泛函在邊界條件：下的極值曲線。解：則有歐拉方程組：消去z，得方程：由此解出：再由z=y得：利用邊界條件：因而極值曲線為：b) 對(duì)于泛函取決于y(x)及其n階導(dǎo)數(shù)的情況其歐拉方程： (2.1.36)它的通解含有2n個(gè)任意帶數(shù)，它們由2n個(gè)

11、邊界條件來(lái)確定。例2.1.5：邊界條件：求泛函Jy的極值曲線。解：相應(yīng)的歐拉方程為：由此得到：利用邊界條件得到：.c) 對(duì)于泛函取決于多元函數(shù)的情況其對(duì)應(yīng)的歐拉方程為： (2.1.37)例2.1.6：設(shè)泛函解：歐拉方程：則：例2.1.7：設(shè)泛函其對(duì)應(yīng)的歐拉方程是泊松方程：2.1.3 可動(dòng)邊界的變分問(wèn)題，變分問(wèn)題中的邊界條件所謂可動(dòng)邊界是指極值曲線（或曲面）的兩個(gè)端點(diǎn)或其中一個(gè)端點(diǎn)（或邊界）并不通過(guò)預(yù)先給定的點(diǎn)（或邊界）。在我們前面所討論的泛函和下的極值問(wèn)題，此時(shí)的固定邊界條件稱為幾何邊界條件或稱為強(qiáng)加邊界條件。所謂“強(qiáng)加”，是指這些邊界條件是在變分問(wèn)題中預(yù)先強(qiáng)加上去的。如果我們?cè)谇蠓汉臉O值問(wèn)

12、題時(shí)，端點(diǎn)x1和x2的值均不給定。泛函取極值的必要條件依然是： （2.1.42）與固定邊界變分不同的是，這里的y在端點(diǎn)處并不總是為零，可以為任意的。這樣，由極值條件J=0除了可得到歐拉方程(2.1.31)外，還有： （2.1.43）上式由變分得出的條件稱為自然邊界條件?？梢钥闯鲞@樣的邊界條件不是預(yù)先給定的，而是從變分原理的J=0自動(dòng)導(dǎo)出，它是保證極值存在而必須滿足的條件。在力學(xué)問(wèn)題中，無(wú)約束時(shí)變分原理將自動(dòng)補(bǔ)充邊界處所缺的力學(xué)邊界條件，因而自然邊界條件往往表現(xiàn)為力學(xué)邊界條件。a）每個(gè)函數(shù)端點(diǎn)分別在直線x=a和x=b上.泛函J的極值函數(shù)除了要滿足歐拉方程外，還應(yīng)滿足： （2.1.44）b)更一般

13、情況，如果泛函Jy=函數(shù)y的端點(diǎn)（a,ya）與（b,yb）分別在曲線上移動(dòng)，泛函J的極值函數(shù)除滿足歐拉方程外，還要滿足橫截條件（transversality condition）。 (2.1.45)這里a與b本身是待定參數(shù)。 2.1.4 泛函的條件極值有些變分問(wèn)題，容許函數(shù)有時(shí)還會(huì)受到附加約束條件的限制，這就是條件極值問(wèn)題。對(duì)于這種極值問(wèn)題，可用類似于處理多元函數(shù)的條件極值的Lagrange乘數(shù)法，把范函條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題。定理（Lagrange）：略這個(gè)方法還可以推廣到等周問(wèn)題，即有如下定理：歐拉定理：略例2.1.8：等周問(wèn)題在平面上，給定長(zhǎng)度為l的所有封閉光滑的曲線中，求一條

14、曲線，使它所圍成區(qū)域的面積A最大。設(shè)所求曲線上的參數(shù)方程為：且約束條件：格林公式：若函數(shù)及其一階偏導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則有：令Y=x，X=-y，其中L是區(qū)域D的邊界，且積分沿L的正方向（即逆時(shí)針?lè)较颍?。由格林公式，曲線l所圍成的面積：于是等周問(wèn)題可歸結(jié)為求泛函：在等周條件或（1）下的極大值。作輔助泛函：由：其對(duì)應(yīng)的歐拉方程組為：積分后得：整理后：這是圓族方程，令： （0t2）代入等周條件，得：即：于是 利用邊界條件，x（t0）=x（t1） y（t0）=y（t1）可定出c1，c2，故所求極值曲線是一個(gè)圓。 2.2 力學(xué)中的變分原理 在力學(xué)中，我們有各種各樣的原理，諸如能量守恒原理、動(dòng)量守恒原理

15、、達(dá)朗伯原理、虛位移原理、哈密頓原理等等。而作為古典力學(xué)基礎(chǔ)的著名的牛頓運(yùn)動(dòng)定律實(shí)質(zhì)上也是原理。原理可以被分為兩類，即非變分的原理和變分的原理。非變分的原理直接研究真實(shí)的運(yùn)動(dòng)；而變分原理則不然，它不是專注于實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，而是考察一定約束條件下所容許的一切可能的運(yùn)動(dòng)，從中挑選出實(shí)際實(shí)現(xiàn)的一種真實(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)。如果說(shuō)非變分的原理提供的是各種各樣普通的函數(shù)關(guān)系，那么變分原理應(yīng)該是考察相應(yīng)于各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的某些特征量(泛函)并取極值(通常對(duì)應(yīng)于真實(shí)運(yùn)動(dòng))，這便是我們所熟知的變分的含義。由此可以看出，變分原理是在縱觀全局的基礎(chǔ)上更一般地來(lái)論述運(yùn)動(dòng)的，較之非變分的原理進(jìn)行了更多的概括與抽象。這樣說(shuō)并不是貶低非變分的

16、原理的重要性，事實(shí)上，很多變分的原理和非變分的原理在一定條件下都是可以互相推導(dǎo)或是等價(jià)的，只是各種原理的表述方式不同，因而在不同場(chǎng)合下應(yīng)用時(shí)方便程度不同罷了。 力學(xué)原理又可分為微分形式的表述和積分形式的表述。前者適用于運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)以及任意局部點(diǎn)，而后者適用于有限的時(shí)間間隔以及有限區(qū)域內(nèi)。在力學(xué)的諸多原理中，虛功原理是最基本的，其他的若干原理可從它得到。下面，我們首先介紹虛功原理。2.2.1 虛功原理 虛功原理亦稱虛位移原理。在分析力學(xué)中，由質(zhì)點(diǎn)系組成的力學(xué)體系的虛功原理是熟知的。 對(duì)于一個(gè)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系而言，如果考慮的是靜平衡問(wèn)題，則有分析力學(xué)的虛功原理： （2.2.1）其中Fi（i

17、=1，2，N）是作用在質(zhì)點(diǎn)系上的給定力，包括非理想的約束力等；ri（i=1，2，3N）是質(zhì)點(diǎn)系滿足約束的任意一組無(wú)限小虛位移矢量。進(jìn)一步，如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的諸力均是有勢(shì)的，亦即對(duì)于諸力Fi存在勢(shì)函數(shù)V，使得Fi=-V/ri（i=1，2，N），則上述的虛功原理可轉(zhuǎn)化為最小勢(shì)能原理。在靜止的平衡力學(xué)系統(tǒng)的所有容許位移中，真實(shí)的位移使勢(shì)能的變分為零，即V=0。 虛功原理指出，系統(tǒng)平衡時(shí)的位置是指系統(tǒng)可能有的一切位置(對(duì)應(yīng)各種虛功值)中的這樣一種位置，此時(shí)作用力所作虛功之和為零。這樣，從系統(tǒng)可能有的一切運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中確實(shí)挑選出了平衡這樣一種實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。作為泛函的虛功取極值(虛功為零)時(shí)對(duì)應(yīng)著真實(shí)

18、的運(yùn)動(dòng)(平衡狀態(tài))。下面我們給出彈性連續(xù)體的虛功原理表述。 設(shè)彈性體在體力fx，fy，fz以及表面為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z作用下處于平衡。以x，y，z，xy，yz，xz表示任一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，則在彈性體內(nèi)有平衡方程： （2.2.2）以及在應(yīng)力邊界t上，滿足力學(xué)邊界條件：X=Fx，Y=Fy，Z=Fz （2.2.3）其中：， （2.2.4）這里l，m，n表示彈性體表面上一點(diǎn)的外法線方向余弦。 我們假定彈性體平衡時(shí)的真實(shí)的位移為u，v，w，從這個(gè)平衡位置對(duì)物體施加一組任意的無(wú)限小虛位移u，v，w，于是便有： （2.2.5）其中dv，ds分別表示彈性體的體積元和面積元。這里虛位移的選擇應(yīng)滿足另一部分位移邊界

19、u上的幾何條件，即：u=0，v=0，w=0 （2.2.6）利用高斯公式，并經(jīng)過(guò)分部積分，（2.2.5）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為： （2.2.7） （2.2.8）為虛應(yīng)變，(2.2.7)即為彈性體虛功原理。 按照彈性力學(xué)定義： （2.2.9）稱為彈性體的變形能。因此(2.2.7)中的第一項(xiàng)即為虛變形能，第二項(xiàng)(取正號(hào))為體積力所作的虛功，第三項(xiàng)（取正號(hào)）為表面力所作的虛功。 由于上述過(guò)程是從平衡位置施以虛變形，故虛功簡(jiǎn)單地表示為力與虛位移之乘積，并無(wú)因子1/2，這是虛功有別于真實(shí)功的主要特點(diǎn)。將式（2.2.7）進(jìn)行移項(xiàng)，不難看出：在任一虛位移過(guò)程中，外力作的總虛功等于彈性體的總虛變形能。 上述推導(dǎo)說(shuō)明虛功

20、原理是物體在外力作用下并滿足一定的幾何邊界條件而處于平衡的必要條件。相反的推導(dǎo)過(guò)程，我們完全可以利用虛位移的u，v，w的任意性而得到力學(xué)平衡方程（2.2.2）以及力學(xué)（自然）邊界條件(2.2.3)。這說(shuō)明虛功原理同時(shí)也是彈性體平衡及力學(xué)邊界條件的充分條件。 虛功原理是彈性力學(xué)中的變分原理的基礎(chǔ)，其在有限元法中也具有極其重要的應(yīng)用價(jià)值。盡管我們是從彈性平衡的角度給出了虛功方程，但是一般說(shuō)來(lái)，虛功原理具有普遍意義，它可以適用于一切結(jié)構(gòu)，不論材料是線性還是非線性，也不論物體的變形是彈性或非彈性。2.2.2 最小勢(shì)能原理 上節(jié)所介紹的虛功原理對(duì)于任何應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的結(jié)構(gòu)均成立，不論是彈性或是非彈性的，

21、這一節(jié)中我們將虛功原理應(yīng)用于彈性結(jié)構(gòu)。令和分別表示彈性體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變分量，在小變形情形下，必存在一個(gè)正定的狀態(tài)函數(shù)使得： （2.2.10）這里，U0稱為應(yīng)變能函數(shù)或應(yīng)變能密度。狀態(tài)函數(shù)U0是單值的函數(shù)，因而dU0是全微分，有： （2.2.11）這樣，虛功原理(2.2.7)就變?yōu)椋?（2.2.12）上式中為彈性應(yīng)變能。 進(jìn)一步，如果作用于彈形體上的體力和表面力均為有勢(shì)力，即存在勢(shì)函數(shù)（u，v，w）和（u，v，w），使得： （2.2.13ab）從而： （2.2.14）這里，V表示外力勢(shì)能，則（2.2.12）亦表示為：（U+V）=0 （2.2.15）如果定義=U+V為系統(tǒng)的總勢(shì)能，故=0。此式

22、或（2.2.15）稱為勢(shì)能駐值原理，即在滿足已知幾何邊界條件的一切容許位移u，v，w中，真實(shí)的位移使得系統(tǒng)總勢(shì)能（泛函）取極值。2.2.3 虛余能原理 前面兩節(jié)中所介紹的虛功原理及其應(yīng)用于彈性連續(xù)體而得到的最小勢(shì)能原理，都是以位移作為未知函數(shù)的，位移一旦求得，根據(jù)幾何關(guān)系式和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式不難得到相應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力分量。但是，在很多工程實(shí)際問(wèn)題中往往也需要直接以應(yīng)力作為待求的未知函數(shù)，尤其在以應(yīng)力為目標(biāo)的近似解法中，如果依舊沿用先求位移而后通過(guò)微分求應(yīng)變?cè)俚玫綉?yīng)力的方法，勢(shì)必會(huì)影響應(yīng)力解的精度。實(shí)際應(yīng)用的需要自然應(yīng)運(yùn)而生了相應(yīng)的虛余功原理及最小余能原理。 下面的討論仍以彈性連續(xù)體為例，而且其應(yīng)力

23、應(yīng)變可呈各種關(guān)系。設(shè)彈性體在已知體力以及給定的邊界條件下處于平衡，u，v，w和分別表示彈性體內(nèi)一點(diǎn)處的位移分量和應(yīng)變分量。因此，在彈性體內(nèi)，有： （2.2.16）以及在邊界上： （2.2.17）進(jìn)一步，我們?cè)O(shè)平衡時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為x，y，z，xy，yz，xz，并假定物體從這個(gè)平衡狀態(tài)接受一組任意的、無(wú)限小的虛應(yīng)力（應(yīng)力的變分）x，y，z，xy，yz，xz。于是有： （2.2.18）其中Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z 是表面力相對(duì)應(yīng)于虛應(yīng)力的虛變化。 新的應(yīng)力分量應(yīng)該不違背彈性連續(xù)體的平衡方程和力學(xué)邊界條件，如下： （2.2.19）以及： （2.2.20）由彈性體平衡方程（2.2.2）和面力表達(dá)關(guān)系式（2.2.4

24、），可以得到： （2.2.21）以及： （2.2.22）利用高斯積分公式并對(duì)（2.2.18）進(jìn)行化簡(jiǎn)，我們可以得到： （2.2.23）注意到方程（2.2.21）、（2.2.22），最后得到： （2.2.24）上式即為彈性體的虛余能原理，其與（2.2.7）表示的虛功原理形成互補(bǔ)形式。上式的左邊代表彈性體的總虛余能，右端代表面力的變分在實(shí)際位移上所做的功。2.2.4 最小余能原理 在小變形情形下，彈性力學(xué)的一般理論指出，必定存在一個(gè)正定的狀態(tài)函數(shù)使得： （2.2.25）這里，稱為余能函數(shù)或余能密度。狀態(tài)函數(shù)是單值的函數(shù)，因而是全微分，有 （2.2.26）從而虛余功原理變?yōu)?（2.2.27）或（U*

25、+V*）=0 （2.2.28）其中，為彈性體的余能，為外力余能。如果定義*（U*+V*）為系統(tǒng)的總余能，故有*=0。式（2.2.28）表示余能的極值原理，事實(shí)上，這時(shí)余能(泛函)為極小值，故得最小余能原理：在滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的所有各組應(yīng)力分量的函數(shù)中，真實(shí)的一組應(yīng)力分量應(yīng)使系統(tǒng)的余能(泛函)取極小值。此處限于篇幅，我們不再給出其證明過(guò)程。2.2.5 連續(xù)介質(zhì)的哈密頓原理 前面幾節(jié)中，我們僅介紹了彈性體系的靜力平衡問(wèn)題及其原理，即體系在平衡時(shí)所取的一真實(shí)狀態(tài)，以區(qū)別與任何其他可能的一切狀態(tài)。而在工程問(wèn)題中，還會(huì)涉及到考慮時(shí)間變量的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)于不同的狀態(tài)。就數(shù)學(xué)本質(zhì)而言，靜

26、力問(wèn)題和動(dòng)力問(wèn)題沒有原則區(qū)別，只是僅僅增加了自變量的個(gè)數(shù)(即在空間坐標(biāo)自變量的基礎(chǔ)上增加了時(shí)間變量)，但其物理意義的差別是明顯的，即從靜力平衡過(guò)渡到了動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 當(dāng)牛頓建立了以三大定律及萬(wàn)有引力定律為基礎(chǔ)的力學(xué)理論后，無(wú)數(shù)的自然現(xiàn)象都得到了定量的說(shuō)明，事情似乎很完善了。后來(lái)拉格朗日在18世紀(jì)提出了一個(gè)變分原理，從這個(gè)變分原理出發(fā)，能夠十分方便地解決許多力學(xué)問(wèn)題，并且由此還可以推導(dǎo)出力學(xué)中的很多定律。他還創(chuàng)立了拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程，其比牛頓的運(yùn)動(dòng)方程適用的范圍更廣，而且用起來(lái)更為便捷。此后，哈密頓(Hamilton)發(fā)展了拉格朗日的理論，于1834年提出了有名的哈密頓原理。本節(jié)中，我們將引入對(duì)應(yīng)于

27、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的哈密頓原理。首先介紹離散質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的哈密頓原理，然后將其推廣得出彈性連續(xù)體的形式。設(shè)具有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)相對(duì)于慣性參考系的位移由矢量r1，r2，rN給出，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯(DAlembert)原理有： （2.2.29）上式中mi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，F(xiàn)i為作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力。我們來(lái)考察動(dòng)能的變分 （2.2.30）結(jié)合（2.2.29），有： （2.2.31）這里，表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，為外力所作的功。對(duì)（2.2.31）在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2間關(guān)于時(shí)間進(jìn)行積分，得到： （2.2.32）因?yàn)橄到y(tǒng)在時(shí)刻t1和t2的位置狀態(tài)可以認(rèn)為是給定的，便有，因而（2.2.32）進(jìn)一步成為： （2.2.3

28、3）如果所有的外力均為有勢(shì)力，即Fi=-V/ri（i=1，2，N），則W=-V，故上式還可寫成： （2.2.34）記L=T-V，稱為拉格朗日函數(shù)，對(duì)于保守系統(tǒng)，積分運(yùn)算和變分運(yùn)算是可以交換的，即有。 所以，哈密頓原理可以敘述如下： 對(duì)于有勢(shì)力作用下的完整質(zhì)點(diǎn)系而言，在由時(shí)刻t1狀態(tài)到時(shí)刻t2狀態(tài)的所有可能的運(yùn)動(dòng)中，實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)使得積分表示的泛函： （2.2.35）取極值。這里J有時(shí)也被稱作哈密頓作用量。 引入廣義坐標(biāo)q1，q2，qN，則，進(jìn)而哈密頓原理（2.2.34）對(duì)應(yīng)的（保守系統(tǒng)）拉格朗日方稱為， （n=1，2，N） （2.2.36）雖然，對(duì)于所假定的系統(tǒng)哈密頓原理和拉格朗日方程是等價(jià)的

29、，但前者可適用于具有無(wú)窮多自由度的系統(tǒng)，因而從這個(gè)意義上講，哈密頓原理的適用性更廣泛。 接下來(lái)，我們將哈密頓原理從離散質(zhì)點(diǎn)系推廣到彈性連續(xù)系統(tǒng)。將慣性力加入到彈性連續(xù)系統(tǒng)的虛功原理中，即： （2.2.37）如前所述，如果外力勢(shì)記為V，應(yīng)變能記為U，即： （2.2.38ab）進(jìn)而有： （2.2.39）對(duì)上式在從時(shí)刻t1和t2間關(guān)于時(shí)間進(jìn)行積分，并采用分部積分等算法，可以得到： （2.2.40）其中為彈性連續(xù)體的動(dòng)能。 令=U+V為系統(tǒng)的總勢(shì)能，以及L=T-為拉朗日函數(shù)，（2.2.40）進(jìn)一步可表示成： （2.2.41）此時(shí)，哈密頓原理敘述為：彈性連續(xù)體從時(shí)刻t1狀態(tài)到時(shí)刻t2狀態(tài)的所有可能的運(yùn)動(dòng)

30、(包括彈性體的形變)中，實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)使拉格朗日函數(shù)在這段時(shí)間內(nèi)對(duì)時(shí)間的積分取極值。 這里以梁的振動(dòng)問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明哈密頓原理的具體運(yùn)用。不難寫出梁的動(dòng)能和應(yīng)變能分別為：， （2.2.42）其中，L表示梁的長(zhǎng)度，為梁的單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，w（x，t）為梁的撓度。 根據(jù)哈密頓原理： （2.2.43）因?yàn)橛衱（x，t1）=w（x，t2）=0，于是： （2.2.44）對(duì)于（2.2.43）中的第二項(xiàng)關(guān)于應(yīng)變能的變分，進(jìn)一步化簡(jiǎn)后得到： （2.2.45）最后得到： （2.2.46）根據(jù)變分法預(yù)備定理，得梁的自由振動(dòng)方程為： （2.2.47）以及相應(yīng)的自然邊界條件： （1）w=0或 （當(dāng)t=t1及t=t2） （

31、2.2.48a） （2）或 （當(dāng)x=0及x=L） （2.2.48b） （3）或w=0 （當(dāng)x=0及x=L） （2.2.48c）其中(1)相當(dāng)于梁的初始速度給定為零或者位移為零；(2)相當(dāng)于給定梁在兩端部的彎矩為零或者轉(zhuǎn)角為零；而(3)相當(dāng)于給定梁在兩端部的剪力為零或者位移為零。2.3 變分法的近似解法 數(shù)學(xué)物理中的變分原理建立了各種類型的微分方程邊值問(wèn)題與泛函取駐值的等價(jià)關(guān)系。變分問(wèn)題的古典解法是通過(guò)解歐拉方程來(lái)解變分問(wèn)題，然而，因?yàn)榍蠼馕⒎址匠掏⒉蝗菀?，所以這個(gè)方法并不能達(dá)到預(yù)期的結(jié)果，這就要求我們必須直接尋求針對(duì)于變分問(wèn)題的新方法，即直接方法。變分學(xué)的直接方法是指不通過(guò)解歐拉方程而直接

32、近似地求解變分問(wèn)題的方法。這種方法最先大量用于求解彈性力學(xué)問(wèn)題，隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛使用和計(jì)算方法的發(fā)展，現(xiàn)今變分學(xué)的直接方法已有多種，它們的應(yīng)用范圍也越來(lái)越廣。2.3.1 變分法的近似解法立茲法及其應(yīng)用立茲法是變分問(wèn)題直接解法中最重要的一種，其基本思想是用選定的函數(shù)序列的有限線性組合逼近變分問(wèn)題的極值曲線?，F(xiàn)用一個(gè)簡(jiǎn)單的變分問(wèn)題： (2.3.1)(2.3.2)來(lái)說(shuō)明Ritz法的解題步驟。在此邊條是兩端固定的特殊情況，不失一般性，當(dāng)邊條是非齊次的，即： 而二者不同時(shí)為零時(shí)，作函數(shù)代換：便有：解題步驟： (1) 取定一相對(duì)完備函數(shù)列 并使其中每一個(gè)都滿足邊條(2.3.2)。該序列選取對(duì)下一步計(jì)算

33、復(fù)雜程度有很大影響。 (2) 將線性組合： (2.3.3)視作(2.3.1)的近似解，將(2.3.3) 式代入(2.3.1) 得關(guān)于的函數(shù)， (2.3.4) (3) 求(2.3.4) 的極值，由方程組：，解得：代入(2.3.3) ，便得到問(wèn)題的近似解。的選?。?1) 對(duì)沒有約束條件的問(wèn)題，可取函數(shù)系：或者：(2) 若要求邊條：，可取函數(shù)系為：，(3) 若要求邊條：，可取函數(shù)系為：，(4) 對(duì)于積分形式的泛函，即PDE的邊值問(wèn)題，常取多項(xiàng)式為函數(shù)系：a) 當(dāng)為矩形時(shí)，可取函數(shù)系為：，b) 當(dāng)為圓時(shí)，可取函數(shù)系為：，2.3.2 變分法的近似解法伽遼金法(Galerkin)及其應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，不是

34、所有邊值問(wèn)題都存在相應(yīng)的泛函，伽遼金法是更廣泛一類微分方程邊值問(wèn)題的近似方法。（繞過(guò)找不到合適泛函的困難）伽遼金法精度較高，計(jì)算量不大，應(yīng)用較廣泛。解題步驟：(1) 取定一相對(duì)完備函數(shù)列并使其中每一個(gè)都滿足邊條。(2) 將線性組合：作為微分方程的近似解，其中待定，顯然它滿足邊界條件。(3)由解出代回(a)便得近似解。立茲法和伽遼金法的局限性：(1) 對(duì)于邊界形狀比較復(fù)雜（如多邊形）的區(qū)域，想找到合適的滿足邊界條件的相對(duì)完備的函數(shù)系是困難的。即使勉強(qiáng)湊成，也需要相當(dāng)高次的多項(xiàng)式或某些函數(shù)的特殊結(jié)構(gòu)，需較高技巧性。(2) 被積函數(shù)一般都是高次，計(jì)算量大，若積分區(qū)域稍許復(fù)雜些，則難以計(jì)算。注意：伽遼

35、金法只適用于齊次邊界條件，對(duì)于非齊次邊界條件，可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為齊次邊界條件。例2.3.1：用Ritz法求變分問(wèn)題：的近似解。解：選相對(duì)完備的函數(shù)序列：.其中每個(gè)函數(shù)均滿足邊條。作線性組合：。（1）先選取代入泛函Jy得：令得：由此：，得：得一次近似解：（2）再取.由類似上述運(yùn)算得到：.現(xiàn)討論的近似程度：對(duì)該變分問(wèn)題，其對(duì)應(yīng)的Euler方程為：.其精確解為：.在四點(diǎn)比較值如表：xyy1y20.2-0.0722-0.0888-0.07240.4-0.1256-0.1333-0.12510.6-0.1420-0.13330.14150.8-0.1050-0.0888-0.1053由表可見，y1

36、（x）相當(dāng)粗糙，但y2（x）的誤差已經(jīng)很小。例2.3.2：用Ritz法求解問(wèn)題：的近似解，其中表示區(qū)域的邊界。解：該問(wèn)題等價(jià)于求泛函的極值問(wèn)題：由方程及邊條關(guān)于x，y軸對(duì)稱，因此解對(duì)x軸，y軸也對(duì)稱，且只會(huì)出現(xiàn)偶次方，故相對(duì)完備系可取作：一次近似解為：代入泛函得：積分后，令，得：得：例2.3.3：用伽遼金法求邊值問(wèn)題解：因邊界條件非齊次，所以先作變量代換，把邊界條件化為齊次。令y=z+x，則上述邊值問(wèn)題化為： 取，一次近似解為：=積分得所以原邊值問(wèn)題的一次近似解為：例2.3.4：用Galerkin方法求Poisson方程邊值問(wèn)題：的近似解。解：相對(duì)完備系可取作其中：一次近似解為：積分后得代數(shù)方

37、程：因此，一階近似解為：§2.1 泛函的極大值和極小值問(wèn)題如果函數(shù)在附近的任意點(diǎn)上的值都不大（?。┯冢布磿r(shí)，則稱函數(shù)在上達(dá)到極大（極?。?，而且在上，有 （2-1）對(duì)于泛函,也有類似的定義。如果泛函在任何一條與接近的曲線上的值不大（或不?。┯?，也就是，如果（或）時(shí)，則稱泛函在曲線上達(dá)到極大值（或極小值），而且在上，有 （2-2）在這里，對(duì)于泛函的極值概念有進(jìn)一步說(shuō)明的必要，凡說(shuō)到泛函的極大（或極?。┲担饕钦f(shuō)泛函的相對(duì)的極大（或極小）值，也就是說(shuō)，從互相接近的許多曲線來(lái)研究一個(gè)最大（或最?。┑姆汉?，但是曲線的接近有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小的定義里，還應(yīng)說(shuō)明這些曲線有幾

38、階的接近度。如同一般函數(shù)極大（極?。┯懻撘粯樱绻汉谇€上有強(qiáng)極大（極?。┲担粌H對(duì)于那些既是函數(shù)接近而且導(dǎo)數(shù)也接近的而言是極大（極?。┲担覍?duì)于那些只是函數(shù)接近但導(dǎo)數(shù)不接近的而言，也是極大（極小）值，所以泛函在曲線上是強(qiáng)極大（極小）值時(shí)，也必在上是弱極大（極?。┲?。反之，則不然，即泛函在曲線上有弱極大（極?。┲禃r(shí)，不一定是強(qiáng)極大（極?。┲?，因?yàn)橛锌赡軐?duì)于那些只是函數(shù)接近但導(dǎo)數(shù)不接近的而言，有一個(gè)比函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都接近的所求的極大（極?。└螅ㄐ。┑臉O大（極?。┲荡嬖?。所以弱極大（極?。?，不能滿足強(qiáng)極大（極?。┑囊蟆＿@一概念可以推廣到包含多個(gè)函數(shù)的泛函中去。§2.2 求解泛函極值

39、的歐拉方程變分法的早期工作是如何將泛函駐值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為微分方程問(wèn)題。當(dāng)把泛函的駐值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為微分方程時(shí)，第一步工作就結(jié)束了，下一步是如何求解這一微分方程。這種求解方法在實(shí)際應(yīng)用上碰到很大的困難。自從里茲提出直接求泛函極值的近似法（里茲法）以后，人們才認(rèn)識(shí)到直接從泛函極值出發(fā)，而避免從微分方程式出發(fā)更為有效與方便，這樣的處理方法可以充分利用電子計(jì)算機(jī)的作用。于是人們研究的目標(biāo)有所轉(zhuǎn)移，即把原來(lái)從泛函駐值問(wèn)題化為微分方程問(wèn)題，轉(zhuǎn)變?yōu)榘盐⒎址匠虇?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槎x一個(gè)泛函，而成為泛函求駐值的問(wèn)題。對(duì)于前一種問(wèn)題由歐拉、拉格朗日等已建立了一套比較成熟、比較系統(tǒng)的方法，而對(duì)于后一類問(wèn)題，雖然正在大力進(jìn)行工作，但

40、尚不成熟。目前用的多的方法，還是根據(jù)微分方程物理和工程背景，采取嘗試和核對(duì)的方法，即先試猜一個(gè)泛函的極值和駐值問(wèn)題，然后再核對(duì)一下，看它是否與原來(lái)的微分方程問(wèn)題等價(jià)。這種方法在以后的變分原理中將經(jīng)常用到?，F(xiàn)在研究最簡(jiǎn)單泛函（2-3）式的極值問(wèn)題所得到的歐拉方程，其中能確定泛函極值曲線的邊界是固定不變的，而且有，函數(shù)將認(rèn)為是三階可微的。 （2-3）首先讓我們用拉格朗日法來(lái)求泛函的變分于是有讓，得 （2-4）其中，而且對(duì)于固定邊界條件，因?yàn)橛校?（2-5）將（2-5）式代入（2-4）式，得到變分極值條件 （2-6）根據(jù)變分法的基本預(yù)備定理，求得本題的歐拉方程為 （2-7）這里必須指出，上式中的

41、第二項(xiàng)是對(duì)的全導(dǎo)數(shù)，不是偏導(dǎo)數(shù)，且，所以 （2-8）其中，都是對(duì)的二階偏導(dǎo)數(shù)。，所以歐拉方程（2-7）式也可以寫成 （2-9）這就是1744年歐拉所得的著名方程。該方程也被稱為歐拉-拉格朗日方程。（2-9）式是關(guān)于的一個(gè)二階微分方程，其積分常數(shù)有兩個(gè)和，它的積分曲線叫做極值曲線，只有在這族極值曲線上，泛函（2-3）式才能達(dá)到極值，積分常數(shù)是由極值曲線通過(guò)這兩個(gè)端點(diǎn)條件所決定的。把泛函的變分作為泛函增量的主部，也同樣得到歐拉方程（2-7）式及（2-8）式。求泛函增量主部的過(guò)程實(shí)質(zhì)上與求微分的過(guò)程非常相似。例如從（2-3）式，因?yàn)榉e分限是固定的（不變的），所以有其是從增量引起的，其主部為于是得到（

42、2-4）式，這和拉格朗日法得到的變分表達(dá)式是相同的。這里還應(yīng)指出，（2-9）式這樣的歐拉方程，有下列四種特殊的情況，應(yīng)該予以注意。（2）和無(wú)關(guān)，即 （2-10）于是（2-9）式可以寫成 （2-11）上式可以簡(jiǎn)化為 （2-12）一次積分后 （2-13）其中為積分常數(shù)。（2）和無(wú)關(guān)，即 （2-14）代入（2-7）式，得 （2-15）積分得 （2-16）其中為積分常數(shù)。（3）和無(wú)關(guān)，即 （2-17）于是歐拉方程為 （2-18）它不是微分方程，不包含什么特定常數(shù)，一般情況，所討論的變分問(wèn)題不存在，只在個(gè)別的情況下，當(dāng)曲線（2-18）式通過(guò)固定端點(diǎn)時(shí)，才存在可能達(dá)到極值的曲線。（4）是的線性函數(shù)，即 （2-19）于是歐拉方程為 （2-20）但是 （2-21）所以（2-20）式可以簡(jiǎn)化為 （2-22）它也不是一個(gè)微分方程式，因?yàn)樗鼪]有項(xiàng)，一般說(shuō)來(lái)它不滿足固定端點(diǎn)條件，因此，變分問(wèn)題根本不存在?，F(xiàn)在我們將上述變分問(wèn)題推廣到含有高階導(dǎo)數(shù)的泛函的極值問(wèn)題和泛函變分得到的歐拉方程。我們研究泛函 （2-23）的極值，其中泛函被認(rèn)為對(duì)于，是階可微的，并且假定，端點(diǎn)上有固定條件 （2-24）端點(diǎn)上不僅給出函數(shù)值，而且還