版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、習(xí)題一解答1. 用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與隨機(jī)事件:(1) 拋一枚硬幣兩次,觀察出現(xiàn)的面,事件;(2) 記錄某電話總機(jī)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),事件一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過次;(3) 從一批燈泡中隨機(jī)抽取一只,測(cè)試其壽命,事件壽命在到小時(shí)之間。解 (1) , . (2) 記為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),則, . (3) 記為抽到的燈泡的壽命(單位:小時(shí)),則, .2. 袋中有個(gè)球,分別編有號(hào)碼1至10,從中任取1球,設(shè)取得球的號(hào)碼是偶數(shù),取得球的號(hào)碼是奇數(shù),取得球的號(hào)碼小于5,問下列運(yùn)算表示什么事件:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).解 (1) 是必然事件; (2)
2、 是不可能事件; (3) 取得球的號(hào)碼是2,4; (4) 取得球的號(hào)碼是1,3,5,6,7,8,9,10; (5) 取得球的號(hào)碼為奇數(shù),且不小于5取得球的號(hào)碼為5,7,9; (6) 取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)取得球的號(hào)碼為6,8,10; (7) 取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)=取得球的號(hào)碼為6,8,103. 在區(qū)間上任取一數(shù),記,求下列事件的表達(dá)式:(1);(2);(3);(4).解 (1) ; (2) ; (3) 因?yàn)椋裕?4) 4. 用事件的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件: (1) 出現(xiàn),都不出現(xiàn)(記為); (2) 都出現(xiàn),不出現(xiàn)(記為); (3) 所有三個(gè)事件都出現(xiàn)(記為); (4) 三個(gè)事
3、件中至少有一個(gè)出現(xiàn)(記為); (5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn)(記為); (6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn)(記為); (7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)(記為); (8) 三個(gè)事件中至少有兩個(gè)出現(xiàn)(記為)。 解 (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7);(8).5. 一批產(chǎn)品中有合格品和廢品,從中有放回地抽取三次,每次取一件,設(shè)表示事件“第次抽到廢品”,試用表示下列事件:(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到廢品;(2) 只有第一次抽到廢品;(3) 三次都抽到廢品;(4) 至少有一次抽到合格品;(2) 只有兩次抽到廢品。解 (1); (2); (3);(4); (5). 6. 接連進(jìn)行三次
4、射擊,設(shè)=第次射擊命中,三次射擊恰好命中二次,三次射擊至少命中二次;試用表示和。解 習(xí)題二解答 1從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品,求其中恰有1件次品的概率。解 這是不放回抽取,樣本點(diǎn)總數(shù),記求概率的事件為,則有利于的樣本點(diǎn)數(shù). 于是2一口袋中有5個(gè)紅球及2個(gè)白球,從這袋中任取一球,看過它的顏色后放回袋中,然后,再從這袋中任取一球,設(shè)每次取球時(shí)袋中各個(gè)球被取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到紅球的概率;(2) 第一次取到紅球,第二次取到白球的概率;(3) 二次取得的球?yàn)榧t、白各一的概率;(4) 第二次取到紅球的概率。解 本題是有放回抽取模式,樣本點(diǎn)總數(shù). 記(1
5、)(2)(3)(4)題求概率的事件分別為.()有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故 () 有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故 () 有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故 () 有利于的樣本點(diǎn)數(shù),故 .3一個(gè)口袋中裝有6只球,分別編上號(hào)碼1至6,隨機(jī)地從這個(gè)口袋中取2只球,試求:(1) 最小號(hào)碼是3的概率;(2) 最大號(hào)碼是3的概率。解 本題是無放回模式,樣本點(diǎn)總數(shù).() 最小號(hào)碼為3,只能從編號(hào)為3,4,5,6這四個(gè)球中取2只,且有一次抽到3,因而有利樣本點(diǎn)數(shù)為,所求概率為 .() 最大號(hào)碼為3,只能從1,2,3號(hào)球中取,且有一次取到3,于是有利樣本點(diǎn)數(shù)為,所求概率為 .4一個(gè)盒子中裝有6只晶體管,其中有2只是不合格品,現(xiàn)在作不放回抽樣,
6、接連取2次,每次取1只,試求下列事件的概率:(1) 2只都合格;(2) 1只合格,1只不合格;(3) 至少有1只合格。解 分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為,則注意到,且與互斥,因而由概率的可加性知5擲兩顆骰子,求下列事件的概率:(1) 點(diǎn)數(shù)之和為7;(2) 點(diǎn)數(shù)之和不超過5;(3) 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)。解 分別記題(1)、(2)、(3)的事件為,樣本點(diǎn)總數(shù)()含樣本點(diǎn),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)()含樣本點(diǎn)(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) ()含樣本點(diǎn)(1,1),(1,3),(3,1
7、),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18個(gè)樣本點(diǎn)。 6把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機(jī)地分配到5間空置的宿舍中去,假設(shè)每間宿舍最多可住8人,試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率。解 記求概率的事件為,樣本點(diǎn)總數(shù)為,而有利的樣本點(diǎn)數(shù)為,所以 .7總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:(1) 事件:“其中恰有一位精通英語”;(2) 事件:“其中恰有二位精通英語”;(3) 事件:“其中有人精通英語”。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為(1) ;(
8、2) ;(3) 因,且與互斥,因而 .8設(shè)一質(zhì)點(diǎn)一定落在平面內(nèi)由軸、軸及直線所圍成的三角形內(nèi),而落在這三角形內(nèi)各點(diǎn)處的可能性相等,計(jì)算這質(zhì)點(diǎn)落在直線的左邊的概率。解 記求概率的事件為,則為圖中陰影部分,而,最后由幾何概型的概率計(jì)算公式可得111/3圖2.3.9(見前面問答題2. 3)10已知,求(1),;(2);(3);(4);(5).解 (1),;(2);(3);(4), ;(5)11設(shè)是兩個(gè)事件,已知,試求及解 注意到 ,因而 . 于是, ;.習(xí)題三解答1已知隨機(jī)事件的概率,隨機(jī)事件的概率,條件概率,試求及.解 2一批零件共100個(gè),次品率為10%,從中不放回取三次(每次取一個(gè)),求第三次
9、才取得正品的概率。解 .3某人有一筆資金,他投入基金的概率為0.58,購買股票的概率為0.28,兩項(xiàng)投資都做的概率為0.19(1) 已知他已投入基金,再購買股票的概率是多少?(2) 已知他已購買股票,再投入基金的概率是多少?解 記基金,股票,則(1) (2) .4給定,驗(yàn)證下面四個(gè)等式: ,解 5有朋自遠(yuǎn)方來,他坐火車、船、汽車和飛機(jī)的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火車,遲到的概率是0.25,若坐船,遲到的概率是0.3,若坐汽車,遲到的概率是0.1,若坐飛機(jī)則不會(huì)遲到。求他最后可能遲到的概率。解 遲到,坐火車,坐船,坐汽車,乘飛機(jī),則 ,且按題意,.由全概率公式有: 6已知甲袋
10、中有6只紅球,4只白球;乙袋中有8只紅球,6只白球。求下列事件的概率:(1) 隨機(jī)取一只袋,再從該袋中隨機(jī)取一球,該球是紅球;(2) 合并兩只袋,從中隨機(jī)取一球,該球是紅球。解 (1) 記該球是紅球,取自甲袋,取自乙袋,已知,所以(2) 7某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間,生產(chǎn)同一產(chǎn)品,每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%,35%,40%,各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,求該廠產(chǎn)品的次品率。解 8發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6,0.4發(fā)出和,由于通信受到干擾,當(dāng)發(fā)出時(shí),分別以概率0.8和0.2收到和,同樣,當(dāng)發(fā)出信號(hào)時(shí),分別以0.9和0.1的概率收到和。求(1) 收到信號(hào)的概率;(2) 當(dāng)收到時(shí),發(fā)出
11、的概率。解 記 收到信號(hào),發(fā)出信號(hào)(1) (2) .9設(shè)某工廠有三個(gè)車間,生產(chǎn)同一螺釘,各個(gè)車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%,35%,40%,各個(gè)車間成品中次品的百分比分別為5%,4%,2%,如從該廠產(chǎn)品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是車間生產(chǎn)的概率。解 為方便計(jì),記事件為車間生產(chǎn)的產(chǎn)品,事件次品,因此 10設(shè)與獨(dú)立,且,求下列事件的概率:,.解 11已知獨(dú)立,且,求.解 因,由獨(dú)立性有從而 導(dǎo)致 再由 ,有 所以 。最后得到 12甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為1/3,1/2,2/3,求目標(biāo)被命中的概率。解 記 命中目標(biāo),甲命中,乙命中,丙命中,則 ,因而13設(shè)六
12、個(gè)相同的元件,如下圖所示那樣安置在線路中,設(shè)每個(gè)元件不通達(dá)的概率為,求這個(gè)裝置通達(dá)的概率。假定各個(gè)元件通達(dá)與否是相互獨(dú)立的。21解 記 通達(dá),43元件通達(dá),65則 , 所以圖3.1 14假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周五個(gè)工作日里每天是否發(fā)生故障相互獨(dú)立,試求一周五個(gè)工作日里發(fā)生3次故障的概率。解 .15燈泡耐用時(shí)間在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。解 .16設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27,求事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.解 記在第次試驗(yàn)中出現(xiàn),
13、依假設(shè) 所以, , 此即 .17加工一零件共需經(jīng)過3道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為2%、3%、5%. 假設(shè)各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率。解 注意到,加工零件為次品,當(dāng)且僅當(dāng)1-3道工序中至少有一道出現(xiàn)次品。記 第道工序?yàn)榇纹罚?則次品率 18三個(gè)人獨(dú)立破譯一密碼,他們能獨(dú)立譯出的概率分別為0.25,0.35,0.4. 求此密碼被譯出的概率。解 記 譯出密碼, 第人譯出, 則19將一枚均勻硬幣連續(xù)獨(dú)立拋擲10次,恰有5次出現(xiàn)正面的概率是多少?有4次至6次出現(xiàn)正面的概率是多少?解 (1) ;(2) .20某賓館大樓有4部電梯,通過調(diào)查,知道在某時(shí)刻,各電梯正在運(yùn)行的概
14、率均為0.75,求:(1) 在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率;(2) 在此時(shí)刻恰好有一半電梯在運(yùn)行的概率;(3) 在此時(shí)刻所有電梯都在運(yùn)行的概率。解 (1) (2) (3) 習(xí)題四解答1. 下列給出的數(shù)列,哪些是隨機(jī)變量的分布律,并說明理由。(1);(2);(3);(4)。解 要說明題中給出的數(shù)列,是否是隨機(jī)變量的分布律,只要驗(yàn)證是否滿足下列二個(gè)條件:其一條件為,其二條件為。依據(jù)上面的說明可得(1)中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律;(2)中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律,因?yàn)椋唬?)中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律;(4)中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律,這是因?yàn)椤?. 試確定常數(shù),使成為某個(gè)隨機(jī)變量X的分布律
15、,并求:;。解 要使成為某個(gè)隨機(jī)變量的分布律,必須有,由此解得;(2) (3)。3. 一口袋中有6個(gè)球,在這6個(gè)球上分別標(biāo)有-3,-3,1,1,1,2這樣的數(shù)字。從這袋中任取一球,設(shè)各個(gè)球被取到的可能性相同,求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字X的分布律與分布函數(shù)。解 X可能取的值為-3,1,2,且,即X的分布律為X-312概率X的分布函數(shù) 0 = 1 4. 一袋中有5個(gè)乒乓球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,從中隨機(jī)地取3個(gè),以X表示取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼,寫出X的分布律和分布函數(shù)。解 依題意X可能取到的值為3,4,5,事件表示隨機(jī)取出的3個(gè)球的最大號(hào)碼為3,則另兩個(gè)球的只能為1號(hào),2號(hào),即;事件表示隨機(jī)取
16、出的3個(gè)球的最大號(hào)碼為4,因此另外2個(gè)球可在1、2、3號(hào)球中任選,此時(shí);同理可得。X的分布律為X345概率X的分布函數(shù)為 0 1 5. 在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律。解 依題意X服從參數(shù)的二項(xiàng)分布,因此,其分布律,具體計(jì)算后可得X012345概率6. 從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件一件的抽取。設(shè)每次抽取時(shí),各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等。在下列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律。(1) 每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品;(2) 每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中;(3) 每次取出一件產(chǎn)品后總
17、是放回一件正品。解 (1)設(shè)事件表示第次抽到的產(chǎn)品為正品,依題意,相互獨(dú)立,且而即X服從參數(shù)的幾何分布。(2)由于每次取出的產(chǎn)品不再放回,因此,X可能取到的值為1,2,3,4,X的分布律為X1234概率(3)X可能取到的值為1,2,3,4,所求X的分布律為X1234概率由于三種抽樣方式不同,導(dǎo)致X的分布律也不一樣,請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)它們的不同處。7. 設(shè)隨機(jī)變量,已知,求與的值。解 由于,因此。由此可算得 即 解得;此時(shí),。 8. 擲一枚均勻的硬幣4次,設(shè)隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)國徽的次數(shù),求X的分布函數(shù)。解 一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國徽的概率為,因此X服從的二項(xiàng)分布,即由此可得X的分布函數(shù) 0, ,
18、, , , 1, 9. 某商店出售某種物品,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),每月銷售量X服從參數(shù)的泊松分布,問在月初進(jìn)貨時(shí),要進(jìn)多少才能以99%的概率充分滿足顧客的需要?解 設(shè)至少要進(jìn)件物品,由題意應(yīng)滿足即 查泊松分布表可求得 。10. 有一汽車站有大量汽車通過,每輛汽車在一天某段時(shí)間出事故的概率為0.0001,在某天該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,求事故次數(shù)不少于2的概率。解 設(shè)X為1000輛汽車中出事故的次數(shù),依題意,X服從的二項(xiàng)分布,即,由于較大,較小,因此也可以近似地認(rèn)為X服從的泊松分布,即,所求概率為11. 某試驗(yàn)的成功概率為0.75,失敗概率為0.25,若以X表示試驗(yàn)者獲得首次成功所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)
19、,寫出X的分布律。解 設(shè)事件表示第次試驗(yàn)成功,則,且相互獨(dú)立。隨機(jī)變量X取意味著前次試驗(yàn)未成功,但第次試驗(yàn)成功,因此有所求的分布律為X12概率0.7512. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 , 0, 其他,試求:(1)常數(shù);(2)X的分布函數(shù)。解 (1)成為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)必須滿足二個(gè)條件,其一為;其二為,因此有,解得,其中舍去,即取。(2)分布函數(shù) = = 13. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求:(1)系數(shù);(2);(3)X的分布函數(shù)。解 (1)系數(shù)必須滿足,由于為偶函數(shù),所以解得;(2);(3) = = = = 14. 證明:函數(shù) (為正的常數(shù))為某個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。證 由于,且,因此
20、滿足密度函數(shù)的二個(gè)條件,由此可得為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。 15. 求出與密度函數(shù) 對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)的表達(dá)式。解 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),綜合有 16. 設(shè)隨機(jī)變量X在上服從均勻分布,求方程有實(shí)根的概率。解 X的密度函數(shù)為 ; 其他.方程有實(shí)根的充分必要條件為,即,因此所求得概率為。 17. 設(shè)某藥品的有效期X以天計(jì),其概率密度為 ; 0, 其他.求:(1) X的分布函數(shù);(2) 至少有200天有效期的概率。解 (1) = = (2) 。 18. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求X的密度函數(shù),并計(jì)算和。解 由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系,可得在的一切連續(xù)點(diǎn)處有,因此 所求概率;。 19. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函
21、數(shù)為,求(1) 常數(shù);(2);(3) 隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。解:(1)要使成為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),必須滿足,即 計(jì)算后得 解得 另外,可驗(yàn)證當(dāng)時(shí),也滿足分布函數(shù)其余的幾條性質(zhì)。(2) (3)X的密度函數(shù)。 20. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間(單位:min)服從的指數(shù)分布,其密度函數(shù)為 ,某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10min,他就離開。(1)設(shè)某顧客某天去銀行,求他未等到服務(wù)就離開的概率;(2)設(shè)某顧客一個(gè)月要去銀行五次,求他五次中至多有一次未等到服務(wù)的概率。解 (1)設(shè)隨機(jī)變量X表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間,依題意X服從的指數(shù)分布,且顧客等待時(shí)間超過10min就離開,因此,
22、顧客未等到服務(wù)就離開的概率為;(2)設(shè)Y表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù),則Y服從的二項(xiàng)分布,所求概率為21. 設(shè)X服從,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計(jì)算:(1);(2);(3);(4);(5)。解 查正態(tài)分布表可得(1);(2);(3);(4) (5)。22. 設(shè)X服從,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計(jì)算:(1);(2);(3);(4);(5);(6)。解 當(dāng)時(shí),借助于該性質(zhì),再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可求得(1);(2);(3);(4);(5);(6)。23. 某廠生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布,合格品的規(guī)格規(guī)定為,求該廠滾珠的合格率。解 所求得概率為24. 某人上班所需的時(shí)間(單位:min
23、)已知上班時(shí)間為8:30,他每天7:50出門,求:(1)某天遲到的概率;(2)一周(以5天計(jì))最多遲到一次的概率。解 (1)由題意知某人路上所花時(shí)間超過40分鐘,他就遲到了,因此所求概率為;(2)記Y為5天中某人遲到的次數(shù),則Y服從的二項(xiàng)分布,5天中最多遲到一次的概率為。習(xí)題五解答1. 二維隨機(jī)變量只能取下列數(shù)組中的值:,且取這些組值的概率依次為,求這二維隨機(jī)變量的分布律。解 由題意可得的聯(lián)合分布律為XY01-100002002. 一口袋中有四個(gè)球,它們依次標(biāo)有數(shù)字。從這袋中任取一球后,不放回袋中,再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時(shí),袋中每個(gè)球被取到的可能性相同。以X、Y分別記第一、二次取到的球上
24、標(biāo)有的數(shù)字,求的分布律及。解 X可能的取值為,Y可能的取值為,相應(yīng)的,其概率為或?qū)懗蒟Y12310230。3. 箱子中裝有10件產(chǎn)品,其中2件為次品,每次從箱子中任取一件產(chǎn)品,共取2次,定義隨機(jī)變量X、Y如下:X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品。分別就下面兩種情況求出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律:(1)放回抽樣;(2)不放回抽樣。解 (1)在放回抽樣時(shí),X可能取的值為,Y可能取的值也為,且或?qū)懗?XY0101(2)在無放回情形下,X、Y可能取的值也為0或1,但取相應(yīng)值的概率與有放回情形下不一樣,具體為或?qū)懗蒟Y01014
25、. 對(duì)于第1題中的二維隨機(jī)變量的分布,寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解 把第1題中的聯(lián)合分布律按行相加得X的邊緣分布律為X-102概率按列相加得Y的邊緣分布律為Y01概率5. 對(duì)于第3題中的二維隨機(jī)變量的分布律,分別在有放回和無放回兩種情況下,寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解 在有放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率在無放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率6. 求在D上服從均勻分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)及分布函數(shù),其中D為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域。解 區(qū)域D見圖5.2。易算得D的面積為,所以的密度函數(shù)y1-1 0 1 x 的分布函數(shù)
26、當(dāng)或時(shí),; 圖5.2 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),綜合有 7. 對(duì)于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布,寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。解 X的邊緣密度函數(shù)為= = Y的邊緣密度函數(shù)為 = = 8. 在第3題的兩種情況下,X與Y是否獨(dú)立,為什么?解 在有放回情況下,由于,而,即;容易驗(yàn)證,由獨(dú)立性定義知X與Y相互獨(dú)立。在無放回情況下,由于,而,易見,所以X與Y不相互獨(dú)立。9. 在第6題中,X與Y是否獨(dú)立,為什么?解 ,而,易見,所以X與Y不相互獨(dú)立。10. 設(shè)X、Y相互獨(dú)立且分別具有下列的分布律:X-2-100.5Y-0.513概率概率寫出表示的分布律的表格。解 由于X與Y相互獨(dú)立,因此例如
27、其余的聯(lián)合概率可同樣算得,具體結(jié)果為XY-0.513-2-100.511. 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X服從上的均勻分布,Y服從參數(shù)為5的指數(shù)分布,求的聯(lián)合密度函數(shù)及。解. 由均勻分布的定義知 由指數(shù)分布的定義知 因?yàn)閄與Y獨(dú)立,易得的聯(lián)合密度函數(shù) y 0.2 x 圖5.3概率,其中區(qū)域見圖5.3,經(jīng)計(jì)算有。 12. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 求:(1)系數(shù);(2);(3)證明X與Y相互獨(dú)立。解 (1)必須滿足,即,經(jīng)計(jì)算得;(2);(3)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) = 同理可求得Y的邊緣密度函數(shù)為 易見,因此X與Y相互獨(dú)立。13. 已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 (1)求常數(shù);(2)分
28、別求關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù);(3)X與Y是否獨(dú)立?解 (1)滿足,即解得;(2)X的邊緣密度函數(shù) = Y的邊緣密度函數(shù)為 = (3),而,易見,因此X與Y不相互獨(dú)立。14. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為XY01012且,(1) 求常數(shù)的值;(2)當(dāng)?。?)中的值時(shí),X與Y是否獨(dú)立?為什么?解 (1)必須滿足,即,可推出,另外由條件概率定義及已知的條件得由此解得,結(jié)合可得到,即 (2)當(dāng)時(shí),可求得,易見因此,X與Y不獨(dú)立。15. 對(duì)于第2題中的二維隨機(jī)變量的分布,求當(dāng)時(shí)X的條件分布律。解 易知,因此時(shí)X的條件分布律為X|Y=2123概率16. 對(duì)于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布,求當(dāng)時(shí)Y的
29、條件密度函數(shù)。解 X的邊緣密度函數(shù)為(由第7題所求得) 由條件密度函數(shù)的定義知當(dāng)時(shí)Y的條件密度函數(shù)為 = 習(xí)題六解答1. 設(shè)X的分布律為X-2-0.5024概率求出:以下隨機(jī)變量的分布律。(1);(2);(3)。解 由X的分布律可列出下表概率-2-0.502401.524631.51-1-340.250416由此表可定出(1)的分布律為0246概率(2)的分布律為-3-113概率(3)的分布律為0416概率其中。2. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)的泊松分布,記隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量Y的分布律。解 由于X服從參數(shù)的泊松分布,因此而 ;。即Y的分布律為Y01概率3. 設(shè)X的密度函數(shù)為 求以下隨機(jī)變量的密度
30、函數(shù):(1);(2);(3)。解 求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)可通過先求其分布函數(shù),然后再求密度函數(shù)。如果為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),則也可利用性質(zhì)求得。(1)解法一:設(shè),則Y的分布函數(shù)= = 解法二:,而,則 = = (2)設(shè),則,Y的密度函數(shù) = (3)設(shè),由于X只取中的值,所以也為單調(diào)函數(shù),其反函數(shù),因此Y的密度函數(shù)為 = 4. 對(duì)圓片直徑進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量值X服從上的均勻分布,求圓面積Y的概率密度。解 圓面積,由于X均勻取中的值,所以X的密度函數(shù) 且為單調(diào)增加函數(shù),其反函數(shù),Y的密度函數(shù)為 = 5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,試求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解 ,所以,此時(shí)不為單調(diào)函數(shù)不能直接利用性
31、質(zhì)求出。須先求Y的分布函數(shù)。 . = 6. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解 的反函數(shù),因此所求的Y的密度函數(shù)為 = 7. 設(shè)X服從,證明服從,其中為兩個(gè)常數(shù)且。證明 由于,所以,記,則當(dāng)時(shí),為單增函數(shù),其反函數(shù),因此Y的密度函數(shù)為,即證明了。8. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布,隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量函數(shù)Y的分布律。解 ,則 而 ;。因此所求分布律為Y-101概率09. 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律XY求以下隨機(jī)變量的分布律:();();();()。解概率-210-1210123246369從而得到(1)概率()-1012概率()從聯(lián)合分布律可求得的邊緣分布律為
32、概率由此得的分布律為概率()1236概率. 設(shè)隨機(jī)變量、相互獨(dú)立,,() 記隨機(jī)變量,求的分布律;() 記隨機(jī)變量,求的分布律。從而證實(shí):即使、服從同樣的分布,與的分布并不一定相同,直觀地解釋這一結(jié)論。解()由于,且與獨(dú)立,由分布可加性知,即,經(jīng)計(jì)算有概率()由于概率因此概率 易見與的分布并不相同。直觀的解釋是的與的取值并不相同,這是因?yàn)榕c并不一定同時(shí)取同一值,因而導(dǎo)致它們的分布也不同。. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY() 求的分布律;() 求的分布律。解 ()隨機(jī)變量可能取到的值為,中的一個(gè),且綜合有概率()隨機(jī)變量可能取到的值為,中的一個(gè),且同理可求得綜合有概率. 設(shè)二維隨機(jī)變量服從在
33、上的均勻分布,其中為直線,所圍成的區(qū)域,求的分布函數(shù)及密度函數(shù)。解 的聯(lián)合密度函數(shù)為-2 0 2 x 圖6.2 y 2 設(shè),則的分布函數(shù) 其中區(qū)域,當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.2,此時(shí)-2 0 2 x y 2當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.3,此時(shí)-2 0 2 x y 2圖6.4圖6.3其中是區(qū)域限在中的那部分。當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.4,此時(shí)-2 0 2 x y 2圖6.5其中是區(qū)域限在中的那部分。當(dāng)時(shí),積分區(qū)域見圖6.5,此時(shí)。綜合有 的密度函數(shù) 13. 設(shè)的密度函數(shù)為,用函數(shù)表達(dá)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。解 設(shè),則的分布函數(shù)。對(duì)積分變量作變換,得到于是 ,交換積分變量的次序得從而,的密度函數(shù)為,把與的地位對(duì)換,
34、同樣可得到的密度函數(shù)的另一種形式。習(xí)題七解答1. 設(shè)的分布律為, X-1012概率求(1),(2),(3),(4)。解 由隨機(jī)變量X的分布律,得X-1012-X+1210-1X21014P所以 另外,也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得:2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布,且已知,求的值。解3. 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次命中目標(biāo)的概率為0.4,試求的數(shù)學(xué)期望。解 所以 故 4. 國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種出口商品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量,它在2000,4000(單位:噸)上服從均勻分布。若每售出一噸,可得外匯3萬美元,若銷售不出而積壓,則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源,才能使
35、平均收益最大?解 設(shè)隨機(jī)變量Y表示平均收益(單位:萬元),進(jìn)貨量為噸Y= 則要使得平均收益最大,所以得 (噸)5. 一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1,0.2,0.3,假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解 X的可能取值為0,1,2,3,有所以X的分布律為X0123Pr0.5040.3980.0920.0066. 設(shè)X的密度函數(shù)為,求(1);(2)。解 (1) (2)注:求解(1)時(shí)利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì),求解(2)時(shí)化簡(jiǎn)為可以看成為是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩。 7. 某商店經(jīng)銷商品的利潤(rùn)率
36、的密度函數(shù)為,求,。解 (1) (2)故8. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 0 求、。解9. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY0100.30.210.40.1求、。解 關(guān)于X與Y的邊緣分布律分別為:X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,它們的密度函數(shù)分別為 求。解 ,所以,所以,X,Y相互獨(dú)立,所以。11. 設(shè)服從在A上的均勻分布,其中A為x軸、y軸及直線所圍成的區(qū)域,求(1);(2);(3)的值。y0 x解 先畫出A區(qū)域的圖-1 xAy-1-1-y 2 0 其他 0 其他 0 其他12. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 0 其他求。y10 1 x解 先畫出區(qū)域的圖
37、G 0 其他 0 其他 13. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且,求。解14. 設(shè),求(1);(2)。解:(1) (2) 15. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,求。 解 16. 驗(yàn)證:當(dāng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),按公式及按公式算得的值相等。這里,、依次表示的分布密度。 證明 17. 設(shè)的方差為2.5,利用契比曉夫不等式估計(jì)的值。 解 18. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-0.5,根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)的值。解 所以 21. 在人壽保險(xiǎn)公司里有3000個(gè)同齡的人參加人壽保險(xiǎn)。在1年內(nèi)每人的死亡率為0.1%,參加保險(xiǎn)的人在1年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元,死亡時(shí)家屬可以從保
38、險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。試用中心極限定理求保險(xiǎn)公司虧本的概率。解 設(shè)死亡人數(shù)為,保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng),即。于是,由棣莫弗拉普拉斯定理,公司虧本的概率為習(xí)題九解答 1. 設(shè)是來自服從參數(shù)為的泊松分布的樣本,試寫出樣本的聯(lián)合分布律。 解 2. 設(shè)是來自上的均勻分布的樣本,未知(1)寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù);(2)指出下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量,哪些不是?為什么?(3)設(shè)樣本的一組觀察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,寫出樣本均值、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 解(1) 0 其他(2)和是,和不是。因?yàn)楹椭胁缓傮w中的唯一未知參數(shù),而和中含有未知參數(shù)。(3)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 3. 查表求,。解
39、,。 4. 設(shè),求常數(shù),使。 解 由t分布關(guān)于縱軸對(duì)稱,所以即為。由附表5.6可查得,所以。 5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,試證:(1);(2)。證明:(1)獨(dú)立同分布于,由分布的定義,即。(2)易見,即,由分布的定義,即。 6. 設(shè)是獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量,且每一個(gè)都服從。(1)試給出常數(shù),使得服從分布,并指出它的自由度;(2)試給出常數(shù),使得服從t分布,并指出它的自由度。 解(1)易見,即為二個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)變量平方和,服從分布,即;自由度為2。(2)由于,則。又,與相互獨(dú)立,則即 即,自由度為3。 7. 設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,在下列三種情況下,分別求:(1);(2);(3),其
40、中。 解 (1) (2)(3),其中 8. 某市有100000個(gè)年滿18歲的居民,他們中10%年收入超過1萬,20%受過高等教育。今從中抽取1600人的隨機(jī)樣本,求:(1)樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率;(2)樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率。 解(1)引入新變量: 1,第個(gè)樣本居民年收入超過1萬 0,第個(gè)樣本居民年收入沒超過1萬其中易見:又因,故可以近似看成有放回抽樣,相互獨(dú)立。樣本中年收入超過1萬的比例即為,由于較大,可以使用漸近分布求解,即,所求概率即為(2)同(1)解法引入新變量: 1,第個(gè)樣本居民受過高等教育 0,第個(gè)樣本居民未受過高等教育其中答:(1)樣本
41、中不少于11%的人年收入超過1萬的概率為0.0918;(2)樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率為0.6826。習(xí)題十解答1. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,在下列情形下,試求總體參數(shù)的矩估計(jì)與最大似然估計(jì):(1),其中未知,;(2),其中未知,。解 (1),故的矩估計(jì)量有。另,X的分布律為,故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:令 解得的最大似然估計(jì)量。可以看出的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。(2),令,故的矩估計(jì)量。另,X的密度函數(shù)為 故似然函數(shù)為 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量??梢钥闯龅木毓烙?jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。2. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,其中X服從參數(shù)為的泊松分布,其
42、中未知,求的矩估計(jì)與最大似然估計(jì),如得到一組樣本觀測(cè)值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解 ,故的矩估計(jì)量。由樣本觀測(cè)值可算得另,X的分布律為故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量,故的最大似然估計(jì)值。3. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,其中X服從區(qū)間的均勻分布,其中未知,求的矩估計(jì)。解 ,令,故的矩估計(jì)量。4. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,X的密度函數(shù)為 其中未知,求的矩估計(jì)。解 ,令,故的矩估計(jì)量為。5. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,X的密度函數(shù)為 其中未知,求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。解 ,令,故的矩估計(jì)量為,另,似然函數(shù) 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量為。6. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,總體X服從參數(shù)為的幾何分布,即,其
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 清明節(jié)課件教學(xué)課件
- 新人音版小學(xué)音樂三年級(jí)上冊(cè)全冊(cè)教案
- 白楊課件教學(xué)
- 標(biāo)志設(shè)計(jì) 課件 2024-2025學(xué)年人教版(2024)初中美術(shù)七年級(jí)上冊(cè)
- (統(tǒng)考版)2023版高考化學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章物質(zhì)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)第3講晶體結(jié)構(gòu)與性質(zhì)學(xué)生用書
- 上海瑜伽館裝修合同樣本
- 太陽能板生產(chǎn)廢渣運(yùn)輸協(xié)議
- 主題餐廳翻新合同
- 煤炭運(yùn)輸搬運(yùn)合同
- 水族館裝修精協(xié)議
- 中央企業(yè)商業(yè)秘密安全保護(hù)技術(shù)指引2015版
- 熔化焊接與熱切割操作規(guī)程
- 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)自頂向下(第七版)課后答案-英文
- 臨時(shí)工程經(jīng)濟(jì)比選方案
- 污水管道工程監(jiān)理規(guī)劃
- 臨床常見問題的康復(fù)評(píng)定與處理
- Unit3 Topic2-SectionA課件- 仁愛版九年級(jí)英語上冊(cè)
- 江蘇開放大學(xué)行政管理學(xué)2020考試復(fù)習(xí)題答案
- 論十大關(guān)系全文
- ASTM-E505 標(biāo)準(zhǔn)圖譜參考資料 標(biāo)準(zhǔn)講義
- 三年級(jí)上冊(cè)語文課件-《24司馬光》(共15張PPT) 人教部編版
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論