概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程課后習(xí)題答案非常詳細(xì)版

1、習(xí)題一解答1. 用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與隨機(jī)事件：(1) 拋一枚硬幣兩次，觀察出現(xiàn)的面，事件；(2) 記錄某電話總機(jī)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，事件一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過次；(3) 從一批燈泡中隨機(jī)抽取一只，測(cè)試其壽命，事件壽命在到小時(shí)之間。解 (1) ， . (2) 記為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則， . (3) 記為抽到的燈泡的壽命（單位：小時(shí)），則， .2. 袋中有個(gè)球，分別編有號(hào)碼1至10，從中任取1球，設(shè)取得球的號(hào)碼是偶數(shù)，取得球的號(hào)碼是奇數(shù)，取得球的號(hào)碼小于5，問下列運(yùn)算表示什么事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解 (1) 是必然事件； (2)

2、 是不可能事件； (3) 取得球的號(hào)碼是2，4； (4) 取得球的號(hào)碼是1，3，5，6，7，8，9，10； (5) 取得球的號(hào)碼為奇數(shù)，且不小于5取得球的號(hào)碼為5，7，9； (6) 取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)取得球的號(hào)碼為6，8，10； (7) 取得球的號(hào)碼是不小于5的偶數(shù)=取得球的號(hào)碼為6，8，103. 在區(qū)間上任取一數(shù)，記，求下列事件的表達(dá)式：(1)；(2)；(3)；(4).解 (1) ; (2) ; (3) 因?yàn)椋裕?4) 4. 用事件的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件： (1) 出現(xiàn)，都不出現(xiàn)（記為）； (2) 都出現(xiàn)，不出現(xiàn)（記為）； (3) 所有三個(gè)事件都出現(xiàn)（記為）； (4) 三個(gè)事

3、件中至少有一個(gè)出現(xiàn)（記為）； (5) 三個(gè)事件都不出現(xiàn)（記為）； (6) 不多于一個(gè)事件出現(xiàn)（記為）； (7) 不多于兩個(gè)事件出現(xiàn)（記為）； (8) 三個(gè)事件中至少有兩個(gè)出現(xiàn)（記為）。 解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)；(8).5. 一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三次，每次取一件，設(shè)表示事件“第次抽到廢品”，試用表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；(2) 只有第一次抽到廢品；(3) 三次都抽到廢品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有兩次抽到廢品。解 (1)； (2)； (3)；(4)； (5). 6. 接連進(jìn)行三次

4、射擊，設(shè)=第次射擊命中，三次射擊恰好命中二次，三次射擊至少命中二次；試用表示和。解 習(xí)題二解答 1從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有1件次品的概率。解 這是不放回抽取，樣本點(diǎn)總數(shù)，記求概率的事件為，則有利于的樣本點(diǎn)數(shù). 于是2一口袋中有5個(gè)紅球及2個(gè)白球，從這袋中任取一球，看過它的顏色后放回袋中，然后，再從這袋中任取一球，設(shè)每次取球時(shí)袋中各個(gè)球被取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到紅球的概率；(2) 第一次取到紅球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球?yàn)榧t、白各一的概率；(4) 第二次取到紅球的概率。解 本題是有放回抽取模式，樣本點(diǎn)總數(shù). 記(1

5、)(2)(3)(4)題求概率的事件分別為.()有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 () 有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 () 有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 () 有利于的樣本點(diǎn)數(shù)，故 .3一個(gè)口袋中裝有6只球，分別編上號(hào)碼1至6，隨機(jī)地從這個(gè)口袋中取2只球，試求：(1) 最小號(hào)碼是3的概率；(2) 最大號(hào)碼是3的概率。解 本題是無放回模式，樣本點(diǎn)總數(shù).() 最小號(hào)碼為3，只能從編號(hào)為3，4，5，6這四個(gè)球中取2只，且有一次抽到3，因而有利樣本點(diǎn)數(shù)為，所求概率為 .() 最大號(hào)碼為3，只能從1，2，3號(hào)球中取，且有一次取到3，于是有利樣本點(diǎn)數(shù)為，所求概率為 .4一個(gè)盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣，

6、接連取2次，每次取1只，試求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。解 分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為，則注意到，且與互斥，因而由概率的可加性知5擲兩顆骰子，求下列事件的概率：(1) 點(diǎn)數(shù)之和為7；(2) 點(diǎn)數(shù)之和不超過5；(3) 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)。解 分別記題(1)、(2)、(3)的事件為,樣本點(diǎn)總數(shù)()含樣本點(diǎn),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)()含樣本點(diǎn)(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) ()含樣本點(diǎn)(1,1),(1,3),(3,1

7、),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18個(gè)樣本點(diǎn)。 6把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機(jī)地分配到5間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住8人，試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率。解 記求概率的事件為，樣本點(diǎn)總數(shù)為，而有利的樣本點(diǎn)數(shù)為，所以 .7總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件：“其中恰有一位精通英語”；(2) 事件：“其中恰有二位精通英語”；(3) 事件：“其中有人精通英語”。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為(1) ；(

8、2) ；(3) 因，且與互斥，因而 .8設(shè)一質(zhì)點(diǎn)一定落在平面內(nèi)由軸、軸及直線所圍成的三角形內(nèi)，而落在這三角形內(nèi)各點(diǎn)處的可能性相等，計(jì)算這質(zhì)點(diǎn)落在直線的左邊的概率。解 記求概率的事件為，則為圖中陰影部分，而，最后由幾何概型的概率計(jì)算公式可得111/3圖2.3.9（見前面問答題2. 3）10已知，求(1),；(2)；(3)；(4)；(5).解 (1)，；(2)；(3)；(4), ;(5)11設(shè)是兩個(gè)事件，已知，試求及解 注意到 ，因而 . 于是， ；.習(xí)題三解答1已知隨機(jī)事件的概率，隨機(jī)事件的概率，條件概率，試求及.解 2一批零件共100個(gè)，次品率為10%，從中不放回取三次（每次取一個(gè)），求第三次

9、才取得正品的概率。解 .3某人有一筆資金，他投入基金的概率為0.58，購買股票的概率為0.28，兩項(xiàng)投資都做的概率為0.19(1) 已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？(2) 已知他已購買股票，再投入基金的概率是多少？解 記基金，股票，則(1) (2) .4給定，驗(yàn)證下面四個(gè)等式： ，解 5有朋自遠(yuǎn)方來，他坐火車、船、汽車和飛機(jī)的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火車，遲到的概率是0.25，若坐船，遲到的概率是0.3，若坐汽車，遲到的概率是0.1，若坐飛機(jī)則不會(huì)遲到。求他最后可能遲到的概率。解 遲到，坐火車，坐船，坐汽車，乘飛機(jī)，則 ，且按題意，.由全概率公式有： 6已知甲袋

10、中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球。求下列事件的概率：(1) 隨機(jī)取一只袋，再從該袋中隨機(jī)取一球，該球是紅球；(2) 合并兩只袋，從中隨機(jī)取一球，該球是紅球。解 (1) 記該球是紅球，取自甲袋，取自乙袋，已知，所以(2) 7某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%，35%，40%，各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%，4%，2%，求該廠產(chǎn)品的次品率。解 8發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6，0.4發(fā)出和，由于通信受到干擾，當(dāng)發(fā)出時(shí)，分別以概率0.8和0.2收到和，同樣，當(dāng)發(fā)出信號(hào)時(shí)，分別以0.9和0.1的概率收到和。求(1) 收到信號(hào)的概率；(2) 當(dāng)收到時(shí)，發(fā)出

11、的概率。解 記 收到信號(hào)，發(fā)出信號(hào)(1) (2) .9設(shè)某工廠有三個(gè)車間，生產(chǎn)同一螺釘，各個(gè)車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%，35%，40%，各個(gè)車間成品中次品的百分比分別為5%，4%，2%，如從該廠產(chǎn)品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是車間生產(chǎn)的概率。解 為方便計(jì)，記事件為車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，事件次品，因此 10設(shè)與獨(dú)立，且，求下列事件的概率：，.解 11已知獨(dú)立，且，求.解 因，由獨(dú)立性有從而 導(dǎo)致 再由 ，有 所以 。最后得到 12甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為1/3，1/2，2/3，求目標(biāo)被命中的概率。解 記 命中目標(biāo)，甲命中，乙命中，丙命中，則 ，因而13設(shè)六

12、個(gè)相同的元件，如下圖所示那樣安置在線路中，設(shè)每個(gè)元件不通達(dá)的概率為，求這個(gè)裝置通達(dá)的概率。假定各個(gè)元件通達(dá)與否是相互獨(dú)立的。21解 記 通達(dá)，43元件通達(dá)，65則 ， 所以圖3.1 14假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，若一周五個(gè)工作日里每天是否發(fā)生故障相互獨(dú)立，試求一周五個(gè)工作日里發(fā)生3次故障的概率。解 .15燈泡耐用時(shí)間在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。解 .16設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率相等，若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，求事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.解 記在第次試驗(yàn)中出現(xiàn)，

13、依假設(shè) 所以， ， 此即 .17加工一零件共需經(jīng)過3道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為2%、3%、5%. 假設(shè)各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率。解 注意到，加工零件為次品，當(dāng)且僅當(dāng)1-3道工序中至少有一道出現(xiàn)次品。記 第道工序?yàn)榇纹罚?則次品率 18三個(gè)人獨(dú)立破譯一密碼，他們能獨(dú)立譯出的概率分別為0.25，0.35，0.4. 求此密碼被譯出的概率。解 記 譯出密碼， 第人譯出， 則19將一枚均勻硬幣連續(xù)獨(dú)立拋擲10次，恰有5次出現(xiàn)正面的概率是多少？有4次至6次出現(xiàn)正面的概率是多少？解 (1) ；(2) .20某賓館大樓有4部電梯，通過調(diào)查，知道在某時(shí)刻，各電梯正在運(yùn)行的概

14、率均為0.75，求：(1) 在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率；(2) 在此時(shí)刻恰好有一半電梯在運(yùn)行的概率；(3) 在此時(shí)刻所有電梯都在運(yùn)行的概率。解 (1) (2) (3) 習(xí)題四解答1. 下列給出的數(shù)列，哪些是隨機(jī)變量的分布律，并說明理由。（1）；（2）；（3）；（4）。解 要說明題中給出的數(shù)列，是否是隨機(jī)變量的分布律，只要驗(yàn)證是否滿足下列二個(gè)條件：其一條件為，其二條件為。依據(jù)上面的說明可得（1）中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律；（2）中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律，因?yàn)椋唬?）中的數(shù)列為隨機(jī)變量的分布律；（4）中的數(shù)列不是隨機(jī)變量的分布律，這是因?yàn)椤?. 試確定常數(shù)，使成為某個(gè)隨機(jī)變量X的分布律

15、，并求：；。解 要使成為某個(gè)隨機(jī)變量的分布律，必須有，由此解得；（2） （3）。3. 一口袋中有6個(gè)球，在這6個(gè)球上分別標(biāo)有-3，-3，1，1，1，2這樣的數(shù)字。從這袋中任取一球，設(shè)各個(gè)球被取到的可能性相同，求取得的球上標(biāo)明的數(shù)字X的分布律與分布函數(shù)。解 X可能取的值為-3，1，2，且，即X的分布律為X-312概率X的分布函數(shù) 0 = 1 4. 一袋中有5個(gè)乒乓球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，從中隨機(jī)地取3個(gè)，以X表示取出的3個(gè)球中最大號(hào)碼，寫出X的分布律和分布函數(shù)。解 依題意X可能取到的值為3，4，5，事件表示隨機(jī)取出的3個(gè)球的最大號(hào)碼為3，則另兩個(gè)球的只能為1號(hào)，2號(hào)，即；事件表示隨機(jī)取

16、出的3個(gè)球的最大號(hào)碼為4，因此另外2個(gè)球可在1、2、3號(hào)球中任選，此時(shí)；同理可得。X的分布律為X345概率X的分布函數(shù)為 0 1 5. 在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6，求擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律。解 依題意X服從參數(shù)的二項(xiàng)分布，因此，其分布律，具體計(jì)算后可得X012345概率6. 從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件一件的抽取。設(shè)每次抽取時(shí)，各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等。在下列三種情形下，分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律。（1） 每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品；（2） 每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中；（3） 每次取出一件產(chǎn)品后總

17、是放回一件正品。解 （1）設(shè)事件表示第次抽到的產(chǎn)品為正品，依題意，相互獨(dú)立，且而即X服從參數(shù)的幾何分布。（2）由于每次取出的產(chǎn)品不再放回，因此，X可能取到的值為1，2，3，4，X的分布律為X1234概率（3）X可能取到的值為1，2，3，4，所求X的分布律為X1234概率由于三種抽樣方式不同，導(dǎo)致X的分布律也不一樣，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)它們的不同處。7. 設(shè)隨機(jī)變量，已知，求與的值。解 由于，因此。由此可算得 即 解得；此時(shí)，。 8. 擲一枚均勻的硬幣4次，設(shè)隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)國徽的次數(shù)，求X的分布函數(shù)。解 一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國徽的概率為，因此X服從的二項(xiàng)分布，即由此可得X的分布函數(shù) 0， ，

18、， ， ， 1， 9. 某商店出售某種物品，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，每月銷售量X服從參數(shù)的泊松分布，問在月初進(jìn)貨時(shí)，要進(jìn)多少才能以99%的概率充分滿足顧客的需要？解 設(shè)至少要進(jìn)件物品，由題意應(yīng)滿足即 查泊松分布表可求得 。10. 有一汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天某段時(shí)間出事故的概率為0.0001，在某天該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于2的概率。解 設(shè)X為1000輛汽車中出事故的次數(shù)，依題意，X服從的二項(xiàng)分布，即，由于較大，較小，因此也可以近似地認(rèn)為X服從的泊松分布，即，所求概率為11. 某試驗(yàn)的成功概率為0.75，失敗概率為0.25，若以X表示試驗(yàn)者獲得首次成功所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)

19、，寫出X的分布律。解 設(shè)事件表示第次試驗(yàn)成功，則，且相互獨(dú)立。隨機(jī)變量X取意味著前次試驗(yàn)未成功，但第次試驗(yàn)成功，因此有所求的分布律為X12概率0.7512. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ， 0， 其他，試求：（1）常數(shù)；（2）X的分布函數(shù)。解 （1）成為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)必須滿足二個(gè)條件，其一為；其二為，因此有，解得，其中舍去，即取。（2）分布函數(shù) = = 13. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求：（1）系數(shù)；（2）；（3）X的分布函數(shù)。解 （1）系數(shù)必須滿足，由于為偶函數(shù)，所以解得；（2）；（3） = = = = 14. 證明：函數(shù) （為正的常數(shù)）為某個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。證 由于，且，因此

20、滿足密度函數(shù)的二個(gè)條件，由此可得為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。 15. 求出與密度函數(shù) 對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)的表達(dá)式。解 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜合有 16. 設(shè)隨機(jī)變量X在上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解 X的密度函數(shù)為 ； 其他.方程有實(shí)根的充分必要條件為，即，因此所求得概率為。 17. 設(shè)某藥品的有效期X以天計(jì)，其概率密度為 ; 0， 其他.求：(1) X的分布函數(shù)；(2) 至少有200天有效期的概率。解 (1) = = (2) 。 18. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求X的密度函數(shù)，并計(jì)算和。解 由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，可得在的一切連續(xù)點(diǎn)處有，因此 所求概率；。 19. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函

21、數(shù)為，求(1) 常數(shù)；(2)；(3) 隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。解：(1)要使成為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，必須滿足，即 計(jì)算后得 解得 另外，可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，也滿足分布函數(shù)其余的幾條性質(zhì)。（2） （3）X的密度函數(shù)。 20. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（單位：min）服從的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 ，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10min，他就離開。（1）設(shè)某顧客某天去銀行，求他未等到服務(wù)就離開的概率；（2）設(shè)某顧客一個(gè)月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)的概率。解 （1）設(shè)隨機(jī)變量X表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間，依題意X服從的指數(shù)分布，且顧客等待時(shí)間超過10min就離開，因此，

22、顧客未等到服務(wù)就離開的概率為；（2）設(shè)Y表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù)，則Y服從的二項(xiàng)分布，所求概率為21. 設(shè)X服從，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解 查正態(tài)分布表可得（1）；（2）；（3）；（4） （5）。22. 設(shè)X服從，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解 當(dāng)時(shí)，借助于該性質(zhì)，再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可求得（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。23. 某廠生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布，合格品的規(guī)格規(guī)定為，求該廠滾珠的合格率。解 所求得概率為24. 某人上班所需的時(shí)間（單位：min

23、）已知上班時(shí)間為8：30，他每天7：50出門，求：（1）某天遲到的概率；（2）一周（以5天計(jì)）最多遲到一次的概率。解 （1）由題意知某人路上所花時(shí)間超過40分鐘，他就遲到了，因此所求概率為；（2）記Y為5天中某人遲到的次數(shù)，則Y服從的二項(xiàng)分布，5天中最多遲到一次的概率為。習(xí)題五解答1. 二維隨機(jī)變量只能取下列數(shù)組中的值：，且取這些組值的概率依次為，求這二維隨機(jī)變量的分布律。解 由題意可得的聯(lián)合分布律為XY01-100002002. 一口袋中有四個(gè)球，它們依次標(biāo)有數(shù)字。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時(shí)，袋中每個(gè)球被取到的可能性相同。以X、Y分別記第一、二次取到的球上

24、標(biāo)有的數(shù)字，求的分布律及。解 X可能的取值為，Y可能的取值為，相應(yīng)的，其概率為或?qū)懗蒟Y12310230。3. 箱子中裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品，每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取2次，定義隨機(jī)變量X、Y如下：X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。分別就下面兩種情況求出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。解 （1）在放回抽樣時(shí)，X可能取的值為，Y可能取的值也為，且或?qū)懗?XY0101（2）在無放回情形下，X、Y可能取的值也為0或1，但取相應(yīng)值的概率與有放回情形下不一樣，具體為或?qū)懗蒟Y01014

25、. 對(duì)于第1題中的二維隨機(jī)變量的分布，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解 把第1題中的聯(lián)合分布律按行相加得X的邊緣分布律為X-102概率按列相加得Y的邊緣分布律為Y01概率5. 對(duì)于第3題中的二維隨機(jī)變量的分布律，分別在有放回和無放回兩種情況下，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解 在有放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率在無放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率6. 求在D上服從均勻分布的隨機(jī)變量的密度函數(shù)及分布函數(shù)，其中D為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域。解 區(qū)域D見圖5.2。易算得D的面積為，所以的密度函數(shù)y1-1 0 1 x 的分布函數(shù)

26、當(dāng)或時(shí)，； 圖5.2 當(dāng)時(shí), ； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜合有 7. 對(duì)于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。解 X的邊緣密度函數(shù)為= = Y的邊緣密度函數(shù)為 = = 8. 在第3題的兩種情況下，X與Y是否獨(dú)立，為什么？解 在有放回情況下，由于，而，即；容易驗(yàn)證，由獨(dú)立性定義知X與Y相互獨(dú)立。在無放回情況下，由于，而，易見，所以X與Y不相互獨(dú)立。9. 在第6題中，X與Y是否獨(dú)立，為什么？解 ，而，易見，所以X與Y不相互獨(dú)立。10. 設(shè)X、Y相互獨(dú)立且分別具有下列的分布律：X-2-100.5Y-0.513概率概率寫出表示的分布律的表格。解 由于X與Y相互獨(dú)立，因此例如

27、其余的聯(lián)合概率可同樣算得，具體結(jié)果為XY-0.513-2-100.511. 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X服從上的均勻分布，Y服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，求的聯(lián)合密度函數(shù)及。解. 由均勻分布的定義知 由指數(shù)分布的定義知 因?yàn)閄與Y獨(dú)立，易得的聯(lián)合密度函數(shù) y 0.2 x 圖5.3概率，其中區(qū)域見圖5.3，經(jīng)計(jì)算有。 12. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 求：（1）系數(shù)；（2）；（3）證明X與Y相互獨(dú)立。解 （1）必須滿足，即，經(jīng)計(jì)算得；（2）；（3）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) = 同理可求得Y的邊緣密度函數(shù)為 易見，因此X與Y相互獨(dú)立。13. 已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 （1）求常數(shù)；（2）分

28、別求關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；（3）X與Y是否獨(dú)立？解 （1）滿足，即解得；（2）X的邊緣密度函數(shù) = Y的邊緣密度函數(shù)為 = （3），而，易見，因此X與Y不相互獨(dú)立。14. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為XY01012且，（1） 求常數(shù)的值；（2）當(dāng)?。?）中的值時(shí)，X與Y是否獨(dú)立？為什么？解 （1）必須滿足，即，可推出，另外由條件概率定義及已知的條件得由此解得，結(jié)合可得到，即 （2）當(dāng)時(shí)，可求得，易見因此，X與Y不獨(dú)立。15. 對(duì)于第2題中的二維隨機(jī)變量的分布，求當(dāng)時(shí)X的條件分布律。解 易知，因此時(shí)X的條件分布律為X|Y=2123概率16. 對(duì)于第6題中的二維隨機(jī)變量的分布，求當(dāng)時(shí)Y的

29、條件密度函數(shù)。解 X的邊緣密度函數(shù)為（由第7題所求得） 由條件密度函數(shù)的定義知當(dāng)時(shí)Y的條件密度函數(shù)為 = 習(xí)題六解答1. 設(shè)X的分布律為X-2-0.5024概率求出：以下隨機(jī)變量的分布律。（1）；（2）；（3）。解 由X的分布律可列出下表概率-2-0.502401.524631.51-1-340.250416由此表可定出（1）的分布律為0246概率（2）的分布律為-3-113概率（3）的分布律為0416概率其中。2. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)的泊松分布，記隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量Y的分布律。解 由于X服從參數(shù)的泊松分布，因此而 ；。即Y的分布律為Y01概率3. 設(shè)X的密度函數(shù)為 求以下隨機(jī)變量的密度

30、函數(shù)：（1）；（2）；（3）。解 求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)可通過先求其分布函數(shù)，然后再求密度函數(shù)。如果為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則也可利用性質(zhì)求得。（1）解法一：設(shè)，則Y的分布函數(shù)= = 解法二：，而，則 = = （2）設(shè)，則，Y的密度函數(shù) = （3）設(shè)，由于X只取中的值，所以也為單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)，因此Y的密度函數(shù)為 = 4. 對(duì)圓片直徑進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量值X服從上的均勻分布，求圓面積Y的概率密度。解 圓面積，由于X均勻取中的值，所以X的密度函數(shù) 且為單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)，Y的密度函數(shù)為 = 5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解 ，所以，此時(shí)不為單調(diào)函數(shù)不能直接利用性

31、質(zhì)求出。須先求Y的分布函數(shù)。 . = 6. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解 的反函數(shù)，因此所求的Y的密度函數(shù)為 = 7. 設(shè)X服從，證明服從,其中為兩個(gè)常數(shù)且。證明 由于,所以，記，則當(dāng)時(shí)，為單增函數(shù)，其反函數(shù),因此Y的密度函數(shù)為，即證明了。8. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布，隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量函數(shù)Y的分布律。解 ，則 而 ；。因此所求分布律為Y-101概率09. 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律XY求以下隨機(jī)變量的分布律：（）；（）；（）；（）。解概率-210-1210123246369從而得到（1）概率（）-1012概率（）從聯(lián)合分布律可求得的邊緣分布律為

32、概率由此得的分布律為概率（）1236概率. 設(shè)隨機(jī)變量、相互獨(dú)立，,（） 記隨機(jī)變量，求的分布律；（） 記隨機(jī)變量，求的分布律。從而證實(shí)：即使、服從同樣的分布，與的分布并不一定相同，直觀地解釋這一結(jié)論。解（）由于，且與獨(dú)立，由分布可加性知，即,經(jīng)計(jì)算有概率（）由于概率因此概率 易見與的分布并不相同。直觀的解釋是的與的取值并不相同，這是因?yàn)榕c并不一定同時(shí)取同一值，因而導(dǎo)致它們的分布也不同。. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY（） 求的分布律；（） 求的分布律。解 （）隨機(jī)變量可能取到的值為，中的一個(gè)，且綜合有概率（）隨機(jī)變量可能取到的值為，中的一個(gè)，且同理可求得綜合有概率. 設(shè)二維隨機(jī)變量服從在

33、上的均勻分布，其中為直線，所圍成的區(qū)域，求的分布函數(shù)及密度函數(shù)。解 的聯(lián)合密度函數(shù)為-2 0 2 x 圖6.2 y 2 設(shè)，則的分布函數(shù) 其中區(qū)域，當(dāng)時(shí)，積分區(qū)域見圖6.2，此時(shí)-2 0 2 x y 2當(dāng)時(shí)，積分區(qū)域見圖6.3，此時(shí)-2 0 2 x y 2圖6.4圖6.3其中是區(qū)域限在中的那部分。當(dāng)時(shí)，積分區(qū)域見圖6.4，此時(shí)-2 0 2 x y 2圖6.5其中是區(qū)域限在中的那部分。當(dāng)時(shí)，積分區(qū)域見圖6.5，此時(shí)。綜合有 的密度函數(shù) 13. 設(shè)的密度函數(shù)為，用函數(shù)表達(dá)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。解 設(shè),則的分布函數(shù)。對(duì)積分變量作變換，得到于是 ，交換積分變量的次序得從而，的密度函數(shù)為，把與的地位對(duì)換，

34、同樣可得到的密度函數(shù)的另一種形式。習(xí)題七解答1. 設(shè)的分布律為， X-1012概率求（1），（2），（3），（4）。解 由隨機(jī)變量X的分布律，得X-1012-X+1210-1X21014P所以 另外，也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，求的值。解3. 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為0.4，試求的數(shù)學(xué)期望。解 所以 故 4. 國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種出口商品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量，它在2000，4000（單位：噸）上服從均勻分布。若每售出一噸，可得外匯3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使

35、平均收益最大？解 設(shè)隨機(jī)變量Y表示平均收益（單位：萬元），進(jìn)貨量為噸Y= 則要使得平均收益最大，所以得 （噸）5. 一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解 X的可能取值為0，1，2，3，有所以X的分布律為X0123Pr0.5040.3980.0920.0066. 設(shè)X的密度函數(shù)為，求（1）；（2）。解 （1） （2）注：求解（1）時(shí)利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，求解（2）時(shí)化簡(jiǎn)為可以看成為是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩。 7. 某商店經(jīng)銷商品的利潤(rùn)率

36、的密度函數(shù)為，求,。解 （1） （2）故8. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 0 求、。解9. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY0100.30.210.40.1求、。解 關(guān)于X與Y的邊緣分布律分別為：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的密度函數(shù)分別為 求。解 ，所以，所以，X,Y相互獨(dú)立，所以。11. 設(shè)服從在A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線所圍成的區(qū)域，求（1）；（2）；（3）的值。y0 x解 先畫出A區(qū)域的圖-1 xAy-1-1-y 2 0 其他 0 其他 0 其他12. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 0 其他求。y10 1 x解 先畫出區(qū)域的圖

37、G 0 其他 0 其他 13. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且，求。解14. 設(shè)，求（1）；（2）。解：（1） （2） 15. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，求。 解 16. 驗(yàn)證：當(dāng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，按公式及按公式算得的值相等。這里，、依次表示的分布密度。 證明 17. 設(shè)的方差為2.5，利用契比曉夫不等式估計(jì)的值。 解 18. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)的值。解 所以 21. 在人壽保險(xiǎn)公司里有3000個(gè)同齡的人參加人壽保險(xiǎn)。在1年內(nèi)每人的死亡率為0.1%，參加保險(xiǎn)的人在1年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，死亡時(shí)家屬可以從保

38、險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。試用中心極限定理求保險(xiǎn)公司虧本的概率。解 設(shè)死亡人數(shù)為，保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng)，即。于是，由棣莫弗拉普拉斯定理，公司虧本的概率為習(xí)題九解答 1. 設(shè)是來自服從參數(shù)為的泊松分布的樣本，試寫出樣本的聯(lián)合分布律。 解 2. 設(shè)是來自上的均勻分布的樣本，未知（1）寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）指出下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是？為什么？（3）設(shè)樣本的一組觀察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,寫出樣本均值、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 解（1） 0 其他（2）和是，和不是。因?yàn)楹椭胁缓傮w中的唯一未知參數(shù)，而和中含有未知參數(shù)。（3）樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 3. 查表求，。解

39、，。 4. 設(shè)，求常數(shù)，使。 解 由t分布關(guān)于縱軸對(duì)稱，所以即為。由附表5.6可查得，所以。 5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，試證：（1）；（2）。證明：（1）獨(dú)立同分布于，由分布的定義，即。（2）易見，即，由分布的定義，即。 6. 設(shè)是獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量，且每一個(gè)都服從。（1）試給出常數(shù)，使得服從分布，并指出它的自由度；（2）試給出常數(shù)，使得服從t分布，并指出它的自由度。 解（1）易見，即為二個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)變量平方和，服從分布，即；自由度為2。（2）由于，則。又，與相互獨(dú)立，則即 即，自由度為3。 7. 設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，在下列三種情況下，分別求：（1）；（2）；（3），其

40、中。 解 （1） （2）（3），其中 8. 某市有100000個(gè)年滿18歲的居民，他們中10%年收入超過1萬，20%受過高等教育。今從中抽取1600人的隨機(jī)樣本，求：（1）樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率；（2）樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率。 解（1）引入新變量： 1，第個(gè)樣本居民年收入超過1萬 0，第個(gè)樣本居民年收入沒超過1萬其中易見：又因，故可以近似看成有放回抽樣，相互獨(dú)立。樣本中年收入超過1萬的比例即為，由于較大，可以使用漸近分布求解，即，所求概率即為（2）同（1）解法引入新變量： 1，第個(gè)樣本居民受過高等教育 0，第個(gè)樣本居民未受過高等教育其中答：（1）樣本

41、中不少于11%的人年收入超過1萬的概率為0.0918；（2）樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率為0.6826。習(xí)題十解答1. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，在下列情形下，試求總體參數(shù)的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)：（1），其中未知，；（2），其中未知，。解 （1），故的矩估計(jì)量有。另，X的分布律為，故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：令 解得的最大似然估計(jì)量。可以看出的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。（2），令，故的矩估計(jì)量。另，X的密度函數(shù)為 故似然函數(shù)為 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量?？梢钥闯龅木毓烙?jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。2. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，其中X服從參數(shù)為的泊松分布，其

42、中未知，求的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)，如得到一組樣本觀測(cè)值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解 ，故的矩估計(jì)量。由樣本觀測(cè)值可算得另，X的分布律為故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量，故的最大似然估計(jì)值。3. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，其中X服從區(qū)間的均勻分布，其中未知，求的矩估計(jì)。解 ，令，故的矩估計(jì)量。4. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為 其中未知，求的矩估計(jì)。解 ，令，故的矩估計(jì)量為。5. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為 其中未知，求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。解 ，令，故的矩估計(jì)量為，另，似然函數(shù) 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量為。6. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即，其