最短路線和最速降線精編版

1、最短路線和最速降線、最短路線1 .問(wèn)題 設(shè)一輛汽車(chē)停止于 A處并垂直于 AB方向，此汽車(chē)可轉(zhuǎn)彎的最小圓半徑為R,求不倒車(chē)時(shí)由A移到B的最短路線。(1)討論AB >2R的情形。(2)簡(jiǎn)單討論 AB<2R的情形。2 .假設(shè)將汽車(chē)視為一個(gè)點(diǎn)，汽車(chē)行走的路線視為一條曲線。3 .建模(1)討論AB>2R的情形。以AB為Y軸正向，作一半 徑為R的圓F與X軸切于A點(diǎn)，問(wèn)題就是要找一條最短曲線連結(jié) AB ,在A點(diǎn)切于X軸正向，且任一點(diǎn)的曲率半徑不小于Ro直觀上不難猜測(cè)出最短路徑。 從B點(diǎn)向圓F做切線BC ,那么 由A點(diǎn)沿圓弧 AC移到C點(diǎn)，再沿直線移到 B點(diǎn)，這就是最短路 徑(如圖1所示)。

2、為了證明這一事實(shí)，作一條直線l通過(guò)圓r的中心O和C點(diǎn)。假設(shè)汽車(chē)沿某一條曲線 1由A點(diǎn)移到B點(diǎn)，因A、B分別在直線l兩側(cè)，口與l必有一交點(diǎn)G,71被分成弧AC和弧BC1兩段。因BC與l垂直，弧BC1的長(zhǎng)度必不小于線段 BC的長(zhǎng)度(當(dāng)且僅當(dāng)弧BG與線段BC重合時(shí)才可能相等)。設(shè)弧AC1的參數(shù)方程為x =x(s), y =y(s),x(0) =0, y(0) =0其中s為弧長(zhǎng)。在點(diǎn)(x(s), y(s)處，曲線的切線與 X軸的夾角記為e ,依條件有I ds| R當(dāng)s =0時(shí)，日=0,故sss-0 1- Rds - 0du £ 01 Rds,從而s EjR。研究曲線上的點(diǎn)與直線l的距離(在l

3、的右邊為正)J(s) = x(s)cos ： -(y(s) - R)sin ： , - - BOC因?yàn)閐x = cosudsds=sin9故ssx(s) = 0cosu(t)dt, y(s) =：0 sini(t)dt因此ssJ (s) = cos： 0 cos【(t)dt - sin 一：( 。sin1(dt) - R)s=0 cosO(t)二二)dt Rsin ;有恒t) Mt/R。當(dāng) 0 Mt WR(兀-a)時(shí),+ot <6(t)+a <-+a <ji o1RR故 cos(*t)二工)_cos(、：)s故當(dāng) 0 <s<R(n 0()時(shí)，J(s)之 Is- ：

4、)dt Rsin =Rsin(二)1 0這就是說(shuō)，當(dāng)汽車(chē)移動(dòng)距離不超過(guò)R(n -a)(就是弧AC的長(zhǎng)度)時(shí)，它不可能越過(guò)直線1。因此弧ACi的長(zhǎng)度至少為 R(n -a),并且只有當(dāng)弧 AG與AC完全重合時(shí)，它的長(zhǎng)度才能等于R(n口)?？偨Y(jié)上述討論，知曲線 口的長(zhǎng)度必不小于 R(n s)+Rtana,并且只有當(dāng)1與ACB 重合時(shí)才可能相等。因此 ACB是唯一的最短路徑。(2)若B點(diǎn)在圓內(nèi)，即AB<2R,則應(yīng)過(guò)A點(diǎn)作一半徑R的圓，其圓心在 BA延長(zhǎng)線上，再過(guò)B點(diǎn)作一圓，半徑為R,且與前圓切于點(diǎn) C,則最短路徑是弧 AC和弧CDB所 組成的曲線(如圖 2所示)。圖2最速降線1 .問(wèn)題 意大利科

5、學(xué)家伽利略在1630年提出一個(gè)分析學(xué)的基本問(wèn)題 錯(cuò)直平面內(nèi)給定不在一條垂直線上的兩個(gè)點(diǎn)A,B,如圖3,求連接它們的光滑曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以最短時(shí)間從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)(摩擦力不計(jì))”。他說(shuō)這曲線是圓，可是這是一 個(gè)錯(cuò)誤的答案。瑞士數(shù)學(xué)家約翰伯努利在1696年再提出這個(gè)最速降線的圖3問(wèn)題(problem of brachistochrone ),征求解答。次年已有多位數(shù)學(xué)家得到正確答案,其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)和伯努利兄弟。牛頓用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程，約翰 伯努利用光學(xué)的辦法巧妙的也解出最速降線方程，雅各布伯努利用比較麻煩的辦法解決了這個(gè)問(wèn)題。這問(wèn)題的正確答案是連接兩

6、個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線或圓滾線。旋輪線與1673年荷蘭科學(xué)家惠更斯討論的擺線相同。因?yàn)殓姳頂[錘作一次完全擺 動(dòng)所用的時(shí)間相等，所以擺線(旋輪線)又稱(chēng)等時(shí)曲線。數(shù)學(xué)家十分關(guān)注最速降線問(wèn)題，大數(shù)學(xué)家歐拉也在1726年開(kāi)始發(fā)表有關(guān)的論著，在雅各布 伯努利方法的基礎(chǔ)上，1744年最先給了這類(lèi)問(wèn)題的普遍解法，并產(chǎn)生了變分法這一新數(shù)學(xué)分支?，F(xiàn)在來(lái)看，雅各布的方法是最有意義和價(jià)值的。2 .假設(shè) 質(zhì)點(diǎn)在滑動(dòng)過(guò)程中不考慮空氣阻力。3 .模型 盡管A, B兩點(diǎn)間的最短距離是連接它們的直線，但是沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度增長(zhǎng)較慢，如果沿一條陡峭的曲線下滑，雖然路徑加長(zhǎng)，但運(yùn)動(dòng)速度增長(zhǎng)很快。為了求這條運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的曲線，在圖

7、 3中將A點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0), B點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1 ),連接A, B的曲線記為y(x),于是曲線上的弧長(zhǎng)為 "+y'2dx.根據(jù)能量守恒7E律，質(zhì)點(diǎn)在曲線 y(x)上任一點(diǎn)的速度 兩足-則)二小即 其中m是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)重，g 是重力加速度。將上面 ds的關(guān)系代入，得到dt=處巴心,于是質(zhì)點(diǎn)沿曲線y(x)從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的時(shí)間可表示為y（x）在A, B兩個(gè)端點(diǎn)應(yīng)有(2)y(0)=0,y(x 1)-y1最速降線問(wèn)題歸結(jié)為求y（x）,在滿足（2）的條件下，使（1）的J（y（x）達(dá)到最小。4.求解 約翰伯努利設(shè)想質(zhì)點(diǎn)也像光線那樣按從A到B耗時(shí)最少的路徑滑行，根據(jù)光學(xué)原理（史奈爾折

8、射定律）得(3)sin ;c(吊數(shù))v(4)由能量守恒定律得v =.函由幾何關(guān)系得sin 二二cos :sec：1 tan2 :(5)由（3）、（4）、y(1 + y'2) =b其中b =(6)tan=(yb -y1)2,貝"=bsin2 Qdy = bsin 2中dQ1dx =( y )2dy = 2bsin2 中dQ 積分后得 b - yx=b(2 : - sin 2 :) c1 2由曲線過(guò)原點(diǎn)知，=0,x=y=0,于是c1 = 0,故x =：(2 : -sin2 )y = b(1 -cos2 :)2令a=b,e =2%則2x = a( - -sin -)y = a(1 - cos -)也可令y -cot Q則y=bsin2 ,dy = bsin 2 d ：,dx = dy = 2b sin2 d :. y上述解法讓我們見(jiàn)識(shí)了數(shù)學(xué)建模中的類(lèi)比想象能力是何等的寶貴?，F(xiàn)實(shí)世界各種現(xiàn)象 之間的模擬是一種重要的科研方法。約翰伯努利解決最速降線的方法非常奇妙，表現(xiàn)出 驚人的想象力，可以說(shuō)是一項(xiàng)水平極高的藝術(shù)工作。5,應(yīng)用 滑梯是兒童樂(lè)園中常見(jiàn)的玩具。有的滑梯的滑板是平直，還有一種滑梯是彎 曲的，它的滑