二、常用函數(shù)的麥克勞林公式

1、蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二1二、常用函數(shù)的麥克勞林公式二、常用函數(shù)的麥克勞林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析理論分析近似計(jì)算近似計(jì)算 第三章 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二2問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出在理論分析和近似計(jì)算中，常希望能用一個(gè)簡(jiǎn)單我們已經(jīng)介紹了用線性函數(shù)（一次多項(xiàng)式）來(lái)近似0000 ( )()()()()f xf xfxxxo xx的函數(shù)來(lái)近似的表示一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)。表示函數(shù)的方法，)1ln(xy xy oxyxey xy 1oxy一、泰勒公式的建立一

2、、泰勒公式的建立蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二3思路思路: :nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 提出問(wèn)題提出問(wèn)題: :1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì).以直代曲近似存在不足：尋找高次多項(xiàng)式函數(shù)P(x),使得)()(xPxf 誤差)()()(xPxfxR 可估計(jì)。 設(shè) f (x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù),試找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式:來(lái)近似表達(dá) f(x),誤差 Rn(x) = f(x)-Pn(x)是比 (x-x0)n高階的無(wú)窮小,并給出誤差的具體表達(dá)式。蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二40 x)(xfy oxy

3、假設(shè)的理由假設(shè)的理由)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好近似程度越來(lái)越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x 分析分析: :假設(shè)假設(shè)).()(,),()(0)(0)(00 xfxPxfxPnnnn ),()(00 xfxPn ),()(00 xfxPn 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二5),(00 xfa nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 ),(101xfa)(! 202xfa ,)(!0)(xfannn

4、 ( )( )00()()0,1,2,kknPxfxkn由假設(shè)( )01()(0,1,2, ).!kkafxknk得( )nP x代入中得 多項(xiàng)式系數(shù)的確定多項(xiàng)式系數(shù)的確定下面定理表明，上式多項(xiàng)式即為要找的n次多項(xiàng)式。蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二6)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 證明證明: :),()()(xPxfxRnn由只需證明只需證明蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二7nnxnR)(1()(0110)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000

5、 xRxRxRxRnnnnn)(01之間與在xx蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二80)(1()()()(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR1022)(1()( nnxnnR)(102之間與在x),(00之間與也在之間與在xxxn)()(!1)()(010)1(之間與在xxxxnfxRnnn, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 則由上式得則由上式得蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二9注：注： 稱下式為 f(x) 按 (x-x0) 冪展開n次近似多項(xiàng)式 nkkknxxkxfxP000)()(!)()( 稱下式為 f(x) 按 (x-x0)

6、 冪展開 n 階泰勒公式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(.)(!1)()(10) 1(為拉格朗日余項(xiàng)其中nnnxxnfxR蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二10)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 帶佩亞諾型余項(xiàng)的n 階泰勒公式0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 1n01n01)(nnxx1nMxxnfxR)(!)(!1)()(蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二11)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf 帶拉氏余項(xiàng)的麥克勞林帶拉氏余項(xiàng)的麥克勞林( (Ma

7、claurin) )公式公式)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林公式麥克勞林公式 帶佩氏余項(xiàng)的麥克勞林帶佩氏余項(xiàng)的麥克勞林( (Maclaurin) )公式公式蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二12解解xnexf)()1(注意到代入公式，得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR!1! 2111, 1nex取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn二、常用函數(shù)的麥克

8、勞林公式二、常用函數(shù)的麥克勞林公式,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfk蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二13解解.)!12()1(! 5! 3sin212153mmmRmxxxxx 其中).10()!12(2) 12(sin)(122mmxmmxxR,sin, 1xxm得近似公式取其誤差) 10(6|! 3)23sin(332xxxR)sin( x)()(xfk2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二14! )2(2mxmxxfcos)(.備選例類似可得xcos1!22x!44x)(12

9、xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二15) 1()1 ()(.xxxf備選例)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二16) 1()1ln()(.xxxf備選例已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1)

10、1(n類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二17 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二18三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用

11、在近似計(jì)算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問(wèn)題的類型需解問(wèn)題的類型: :1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限,確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二19已知例例1. 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值,使誤差不超過(guò).106解解: :xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen)

12、10(由于, 30ee欲使) 1 (nR! ) 1(3n610由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二20說(shuō)明說(shuō)明: : 注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò),105 . 076總誤差為6105 . 076106105這時(shí)得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過(guò).106因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二21例例2. 用近似公式!21cos2

13、xx計(jì)算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: : 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二222. 2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解: :由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則用洛必塔法則不方便不方便 ! !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),11)

14、1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二2311)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(

15、121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二24內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng))(0nxxo當(dāng)00 x時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 . .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二252. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1

16、(x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù), xsin例如蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二264224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二2712! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin

17、!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項(xiàng)式逼近泰勒多項(xiàng)式逼近蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二28思考與練習(xí)思考與練習(xí) 計(jì)算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解: :原式作業(yè)作業(yè) P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二29xy xysin 播放播放關(guān)于公式的理解關(guān)于公式的理解蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月

18、15日星期二30 xy xysin 關(guān)于公式的理解關(guān)于公式的理解蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二31xy xysin ! 33xxy o關(guān)于公式的理解關(guān)于公式的理解蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二32xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 關(guān)于公式的理解關(guān)于公式的理解蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二33xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o關(guān)于公式的理解關(guān)于公式的理解蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二34xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o關(guān)于公式的理解關(guān)于公式的理解蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二35播放播放蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二36蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二37蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)2022年2月15日星期二