歷年全國自考線性代數(shù)試題及答案

1、全國2010年7月高等教育自學(xué)考試試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣；R(A)表示矩陣A的秩；|A|表示A的行列式；E表示單位矩陣。1.設(shè)3階方陣A=1，2，3，其中i(i=1,2,3)為A的列向量，若|B|=|1+22，2，3|=6，則|A|=（ ）A.-12B.-6 C.6D.122計算行列式（ ）A.-180B.-120C.120D.1803設(shè)A=，則|2A*|=（ ）A.-8B.-4C.4D.84.設(shè)1，2，3，4都是3維向量，則必有A. 1，2，3，4線性無關(guān)B. 1，2，3，4線性相關(guān)C. 1可由2，3，4線性表示D. 1不可由2，3，4線性表示5若

2、A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，則R(A)=（ ）A2B 3C4D56設(shè)A、B為同階矩陣，且R(A)=R(B)，則（ ）AA與B相似B|A|=|B|CA與B等價DA與B合同7設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為2，l，0則|A+2E|=（ ）A0B2C3D248若A、B相似，則下列說法錯誤的是（ ）AA與B等價BA與B合同C|A|=|B|DA與B有相同特征9若向量=(1，-2，1)與= (2，3，t)正交，則t=（ ）A-2B0C2D410設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2，l，0，則（ ）AA正定BA半正定CA負定DA半負定二、填空題(本大題共10小題,每小題2分

3、，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1l.設(shè)A=,B=，則AB=_.12設(shè)A為3階方陣，且|A|=3，則|3A-l|=_.13三元方程x1+x2+x3=0的結(jié)構(gòu)解是_.14設(shè)=(-1，2，2)，則與反方向的單位向量是_15設(shè)A為5階方陣，且R(A)=3，則線性空間W=x|Ax=0的維數(shù)是_16設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2，l，則|5A-1|=_17若A、B為同階方陣，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，則R(AB)=_18二次型f(x1，x2，x3)=-2x1x2+-x2x3所對應(yīng)的矩陣是_.19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解1=，2=，且R(A)=2,則A

4、x=b的通解是_.20.設(shè)=，則A=T的非零特征值是_.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)21計算5階行列式D= 22.設(shè)矩陣X滿足方程X=求X.23.求非齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)解.24.求向量組1=（1，2，3，4），2=（0，-1，2，3），3=（2，3，8，11），4=（2，3，6，8）的秩.25.已知A=的一個特征向量=（1，1，-1）T，求a,b及所對應(yīng)的特征值，并寫出對應(yīng)于這個特征值的全部特征向量.26.用正交變換化二次型f(x1,x2,x3)=為標準形，并寫出所用的正交變換.四、證明題（本大題共1小題，6分）27設(shè)1，2，3是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.證

5、明1，1+2，2+3也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.全國2011年1月說明：本卷中，AT表示矩陣A轉(zhuǎn)置，det(A)表示方陣A的行列式，A-1表示方陣A的逆矩陣，(，)表示向量，的內(nèi)積，E表示單位矩陣一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無1設(shè)A是4階方陣，且det(A)=4，則det(4A)=( )A44B45C46D472已知A2+A+E=0，則矩陣A-1=( )AA+EBA-EC-A-ED-A+E3設(shè)矩陣A，B，C，X為同階方陣，且A，B可逆，AXB=C，則矩陣X=( )AA-1

6、CB- BCA-1B-1 CB-1A-1CDCB-1A-14設(shè)A是s×n 矩陣(sn)，則以下關(guān)于矩陣A的敘述正確的是( )AATA是s×s對稱矩 BATA=AAT C(ATA)T =AAT DAAT是s×s對稱矩陣5設(shè)1，2，3，4，5是四維向量，則( )Al，2，3，4，5一定線性無關(guān)Bl，2，3，4，5一定線性相關(guān)C5一定可以由1，2，3，4線性表出D1一定可以由2，3，4，5線性表出6設(shè)A是n階方陣，若對任意的n維向量X均滿足AX=0，則( )AA=0BA=EC秩(A)=nD0<秩(A)<n7設(shè)矩陣A與B相似，則以下結(jié)論不正確的是( )A秩(A

7、)=秩(B) BA與B等價CA與B有相同的特征值DA與B的特征向量一定相同8設(shè)，為矩陣A=的三個特征值，則=( )A10B20C24D309二次型f(x1，x2，x3)=的秩為( )A1B2C3D410設(shè)A，B是正定矩陣，則( )AAB一定是正定矩陣BA+B一定是正定矩陣C(AB)T一定是正定矩陣DA-B一定是負定矩陣二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)11設(shè)A=，k為正整數(shù)，則Ak= 12設(shè)2階可逆矩陣A的逆矩陣A-1=，則矩陣A=_13設(shè)同階方陣A，B的行列式分別為-3，5，則det（AB）=_.14設(shè)向量=(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量滿足2+

8、=3,則=_.15實數(shù)向量空間V=(x1, x2, , xn)|3 x1+ x2+ xn =0的維數(shù)是_16矩陣A=的秩=_.17設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的兩個解，則A（3）=_.18設(shè)方陣A有一個特征值為0，則det(A3)=_.19設(shè)P為正交矩陣，若（Px, Py）=8, 則（x, y）=_.20設(shè)f(x1，x2，x3)=是正定二次型，則t滿足_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算行列式22判斷矩陣A=是否可逆，若可逆，求其逆矩陣23求向量組=(1，2，-1，-2),=(2，5，-6，-5),=(3，1，1，1), =(-1，2，-7，-3)的一個最大線性無關(guān)組，

9、并將其余向量通過該最大線性無關(guān)組表示出來24求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系及其結(jié)構(gòu)解25求矩陣A=的特征值和特征向量26寫出下列二次型的矩陣，并判斷其是否是正定二次型f(x1，x2，x3)=四、證明題(本大題共1小題，6分)27設(shè)方陣A滿足(A+E)2=E，且B與A相似，證明：B2+2B=0全國2011年4月高等教育自學(xué)考試 說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式。1.下列等式中，正確的是（）A.B. C.D.2.設(shè)矩陣A=，那么矩陣A的列向量組的秩為（）A.3B.2C.1D.03.設(shè)向量=（-1，4），=（1，-2），=（3，-8），

10、若有常數(shù)a,b使a-b-=0,則（）A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量組=（1，2，0），=（2，4，0），=（3，6，0），=（4，9，0）的極大線性無關(guān)組為（）A.，B.， C.，D.，5.下列矩陣中，是初等矩陣的為（）A.B. C.D.6.設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，且C=，則C-1是（）A.B.C.D.7.設(shè)A為3階矩陣，A的秩r(A)=3，則矩陣A*的秩r(A*)=（）A.0 B.1 C.2D.38.設(shè)=3是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于（）A.B.C.D.9.設(shè)矩陣A=，則A的對應(yīng)于特征值=0的特征向量為（）A

11、.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0，-1）TD.（0，1，1）T10.下列矩陣中是正定矩陣的為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）11.行列式=_.12.設(shè)矩陣A=，B=（1，2，3），則BA= _.13.行列式中第4行各元素的代數(shù)余子式之和為_.14.設(shè)A，B為n階方陣，且AB=E，A-1B=B-1A=E，則A2+B2=_.15.設(shè)向量=（1，2，3，4），則的單位化向量為_.16.設(shè)3階方陣A的行列式|A|=，則|A3|=_.17.已知3維向量=（1，-3，3），=（1，0，-1）則+3=_.18.設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為0，且A的

12、秩為n-1，則齊次線性方程組Ax=0的通解為_.19.設(shè)1，2，n是n階矩陣A的n個特征值，則矩陣A的行列式|A|=_.20.二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩為_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.已知矩陣A=，B=，求：（1）ATB；（2）| ATB |.22.設(shè)A=，B=，C=，且滿足AXB=C，求矩陣X.23.求向量組=(1,2,1,0)T，=（1,1,1,2）T，=（3,4,3,4）T，=（4,5,6,4）T的秩與一個極大線性無關(guān)組.24.判斷線性方程組是否有解，有解時求出它的解.25.設(shè)向量=（1，1，0）T，=（-1，0，1）T，

13、（1）用施密特正交化方法將，化為正交的，；（2）求，使，兩兩正交.26.已知二次型f=，經(jīng)正交變換x=Py化成了標準形f=，求所用的正交矩陣P.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)A為5階反對稱矩陣，證明|A|=0.全國2011年7月高等教育自學(xué)考試1設(shè)，則=（）A-49B-7C7D492設(shè)A為3階方陣，且，則（）A-32B-8C8D323設(shè)A，B為n階方陣，且AT=-A，BT=B，則下列命題正確的是（）A（A+B）T=A+BB（AB）T=-ABCA2是對稱矩陣DB2+A是對稱陣4設(shè)A，B，X，Y都是n階方陣，則下面等式正確的是（）A若A2=0，則A=0B（AB）2=A2B2C若AX=AY，則X

14、=YD若A+X=B，則X=B-A5設(shè)矩陣A=，則秩（A）=（）A1B2C3D46若方程組僅有零解，則k=（）A-2B-1C0D27實數(shù)向量空間V=（x1，x2，x3）|x1 +x3=0的維數(shù)是（）A0B1C2D38若方程組有無窮多解，則=（）A1B2C3D49設(shè)A=，則下列矩陣中與A相似的是（）ABCD10設(shè)實二次型，則f（）A正定B不定C負定D半正定11設(shè)A=(-1,1,2)T，B=(0,2,3)T,則|ABT|=_.12設(shè)三階矩陣，其中為A的列向量，且|A|=2，則_.13設(shè)，且秩(A)=3，則a,b,c應(yīng)滿足_.14矩陣的逆矩陣是_.15三元方程x1+x3=1的通解是_.16已知A相似于

15、，則|A-E|=_.17矩陣的特征值是_.18與矩陣相似的對角矩陣是_.19設(shè)A相似于，則A4_.20二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩陣是_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分21計算4階行列式D=.22設(shè)A=，而X滿足AX+E=A2+X，求X.23求向量組：的秩，并給出該向量組的一個極大無關(guān)組，同時將其余的向量表示成該極大無關(guān)組的線性組合.24當為何值時，齊次方程組有非零解？并求其全部非零解.25已知1,1,-1是三階實對稱矩陣A的三個特征值，向量、是A的對應(yīng)于的特征向量，求A的屬于的特征向量.26求正交變換Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)

16、=2x1x2+2x1x3-2x2x3為標準形.四、證明題（本大題6分）27設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān).接下來是答案 全國2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題 課程代碼：04184試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣（行列對換）；A*表示A的伴隨矩陣； A-1=（重要）求A-1 和A*時，可用這個公式，A*太復(fù)雜了自己看看r(A)表示矩陣A的秩；| A |表示A的行列式；E表示單位矩陣。 ,每一項都乘2一、單項選擇題 表示矩陣，矩陣乘矩陣還是矩陣；| |表示行列式，計算后為一個數(shù)值，行列式相乘為數(shù)值運算在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題

17、后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)3階方陣A=（1，2，3），其中i（i=1,2,3）為A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，則| A |=( C )A.-12B.-6 i（i=1,2,3）為A的列向量，3行1列C.6D.122.計算行列式=( A )=3*-2*10*3=-180A.-180B.-120C.120D.1803.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=( C )=23| A |=8*1/2=4A.B.2C.4D.84.設(shè)1，2，3，4都是3維向量，則必有( B ) n+1個n維向量線性相關(guān)A.1，2，3，4線性無關(guān)B.1，2，3，4線性相關(guān)

18、C.1可由2，3，4線性表示D.1不可由2，3，4線性表示5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)為2，則r(A)=( C )A.2B.3 n- r(A)=解向量的個數(shù)=2,n=6C.4D.56.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則( C ) A與B合同 r(A)=r(B) PTAP=B, P可逆A.A與B相似B.| A |=| B |C.A與B等價D.A與B合同7.設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則| A+2E |=( D )，| A |=所有特征值的積=0A.0B.2 A+2E的特征值為2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3

19、*2C.3D.248.若A、B相似，則下列說法錯誤的是( B )A.A與B等價B.A與B合同C.| A |=| B |D.A與B有相同特征值A(chǔ)、B相似A、B特征值相同| A |=| B | r(A)=r(B)；若AB，BC，則AC（代表等價）9.若向量=（1，-2,1）與=(2，3，t)正交，則t=( D ) , 即1*2-2*3+1*t=0，t=4A.-2B.0C.2D.410.設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則( B )，所有特征值都大于0，正定；A.A正定 B.A半正定 所有特征值都小于0，負定；C.A負定 D.A半負定 所有特征值都大于等于0，半正定；同理半負定；其他情況不

20、定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.設(shè)A=,B=，則AB=（A的每一行與B的每一列對應(yīng)相乘相加）= 下標依次為行列，如表示第二行第一列的元素。 A為三行兩列的矩陣即3×2的矩陣，B為2×3的矩陣，則AB為3×3的矩陣，對應(yīng)相乘放在對應(yīng)位置12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |= 33| A-1 |=27*=913.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_. 擴充為，再看答案14.設(shè)=（-1，2，2），則與反方向的單位向量是_跟高中單位向量相同_.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W=x | Ax=0的維數(shù)是_.16