歷年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線試題匯總

1、圓錐曲線解答題解答題1.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓G的方程(2)求的面積(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為：.(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外； 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.2.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個點(diǎn)。 （I）求得取

2、值范圍； （II）當(dāng)四邊形的面積最大時，求對角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)分析：（I）這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得（）拋物線與圓相交于、四個點(diǎn)的充要條件是：方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點(diǎn) 設(shè)四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次

3、均值類似。 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時滿足題意。方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具體解法略。下面來處理點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：由三點(diǎn)共線，則得。以下略。3.（2009浙江理）（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時，求的最小值解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，（II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫

4、坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為14.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 （I）求與的值； （II）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)若是的切線，求的最小值解析（）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。則，當(dāng) 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得：，或，

5、而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：MN是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，5.（2009北京文）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為。（）求雙曲線C的方程；（）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值.【解析】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為， 由得（判別式）, ,點(diǎn)在圓上，.6.（2009北京理）（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（

6、）設(shè)直線是圓上動點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】（）同解法1.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.（且，從而當(dāng)時，方程和方程的判別式均大于零）.7.（2

7、009江蘇卷）（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式?！窘馕觥?必做題本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。 8.(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交

8、點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時

9、因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”. 當(dāng)時,. 當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點(diǎn)為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.9. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出

10、該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因?yàn)?所以, 即.當(dāng)m=0時,方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時, 方程表示的是圓當(dāng)且時,方程表示的是橢圓; 當(dāng)時,方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時, 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個交點(diǎn)A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時,切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜

11、上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且.(3)當(dāng)時,軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,因?yàn)榕c軌跡E只有一個公共點(diǎn)B1,由（2）知得,即有唯一解則=, 即, 由得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn),由 中,所以, B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,即當(dāng)時|A1B1|取得最大值,最大值為1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題,有幾個交點(diǎn)的

12、問題.10.（2009江蘇卷）（本小題滿分16分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得：化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：，即：因?yàn)橹本€被圓截得的

13、弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。故有：，化簡得：關(guān)于的方程有無窮多解，有：解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。11.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B 兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為（）求a,b的值；（）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運(yùn)用能力，第一問直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系

14、解決問題，注意特殊情況的處理。解：（）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時，其方程為到的距離為 故 ， 由 得 ，=（）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立。由 （）知C的方程為+=6. 設(shè) () C 成立的充要條件是， 且整理得 故 將 于是 , =, 代入解得，此時 于是=， 即 因此， 當(dāng)時， ； 當(dāng)時， 。（）當(dāng)垂直于軸時，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時的方程為.12.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌

15、跡方程；（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值解：（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，化簡可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，中點(diǎn)的軌跡方程為（）.xAxBD（2）曲線，即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑由圖可知，當(dāng)時，曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)；當(dāng)時，要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.13.（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）點(diǎn)在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.（I）證明: 點(diǎn)是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；（II）證明:構(gòu)成等比數(shù)列.解：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性

16、質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識?？疾榫C合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。解：（I）（方法一）由得代入橢圓,得.將代入上式,得從而因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P.(方法二)顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，若Q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得即故P與Q重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率切線方程為即。因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線。根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)。（II）的斜率為的斜率為由此得構(gòu)成等比數(shù)列。14.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓（ab0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心。橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+2相切，（）求a與b

17、；（）設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交與點(diǎn)p.求線段P垂直平分線與的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型。【思路】（1）由橢圓建立a、b等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.（2）依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了?！窘馕觥浚?）由于 又 b2=2,a2=3因此，.（2）由（1）知F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)分別為（-1，0），（1,0），由題意可設(shè)P（1，t）.（t0）.那么線段PF1中點(diǎn)為，設(shè)M(x、y)是所求軌跡上的任意點(diǎn).由于則消去參數(shù)t得,其軌跡為拋物線（除原點(diǎn)）15.（2009江西卷文）（本小題滿分14分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切

18、圓, 其中為橢圓的左頂點(diǎn).（1）求圓的半徑;（2）過點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，G證明：直線與圓相切解: （1）設(shè)，過圓心作于,交長軸于由得,即 (1)而點(diǎn)在橢圓上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為: (3)則,即 (4)解得將(3)代入得,則異于零的解為設(shè),，則則直線的斜率為：于是直線的方程為: 即則圓心到直線的距離故結(jié)論成立.16.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.(1) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(2) 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn)

19、,直線分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過兩定點(diǎn).解： (1) 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設(shè),則,即代入得:,即的軌跡的方程為. (2) 在中令得,則不妨設(shè),于是直線的方程為:,直線的方程為:,則,則以為直徑的圓的方程為: ,令得:,而在上,則,于是,即以為直徑的圓過兩定點(diǎn).17.（2009天津卷文）（本小題滿分14分）已知橢圓（）的兩個焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且（求橢圓的離心率（）直線AB的斜率；（）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)H(m,n)()在的外接圓上，求的值。【答案】（1）（2）（3）【解析】 （1）解：由，得,從而，整理得，故離心率

20、（2）解：由（1）知，所以橢圓的方程可以寫為設(shè)直線AB的方程為即由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得依題意，而，有題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得(3)由（2）知，當(dāng)時，得A由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為直線的方程為，于是點(diǎn)滿足方程組由，解得，故當(dāng)時，同理可得【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力。18.(2009湖北卷理)（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）過

21、拋物線的對稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。（）當(dāng)時，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。20題。本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。（14分）解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有由消去x可得從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當(dāng)時，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線此時 可得證法1：證法2：()存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成

22、立證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過原點(diǎn)O，同理可證直線也經(jīng)過原點(diǎn)O又設(shè)則19.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。【解析】（I）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 4分（II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得 ， ，又 化簡得解得 所求直線的方程為 12分20.（2009全國卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線

23、與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 （I）求，的值； （II）上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。解:(I）設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 則，解得.又.（II）由(I）知橢圓的方程為.設(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè) 代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達(dá)定理有：.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。整理得。又在橢圓上，即.故將及代入解得,=,即.當(dāng);當(dāng).評析：處理解析幾何題，學(xué)生主要是在“算”上的功夫不夠。所謂“算”，主要講的是算理和算法。算法是解決問題采用的計算的方法,而算

24、理是采用這種算法的依據(jù)和原因,一個是表,一個是里,一個是現(xiàn)象,一個是本質(zhì)。有時候算理和算法并不是截然區(qū)分的。例如：三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半，還是分割成幾部分來算？在具體處理的時候，要根據(jù)具體問題及題意邊做邊調(diào)整，尋找合適的突破口和切入點(diǎn)。21.（2009湖南卷文）（本小題滿分13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。解:

25、（）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為（）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G， 由得. 由解得. 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，于?=，因?yàn)?，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即解得，此時也成立.故直線斜率的取值范圍是22.（2009福建卷理）（本小題滿分13分）已知A,B 分別為曲線C： +=1（y0,a>0）與x軸的左、右兩個交點(diǎn)，直線過點(diǎn)B,且與軸垂直，S為上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.(1)若

26、曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；（II）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。 19.【解析】解法一：()當(dāng)曲線C為半圓時，如圖，由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得BOT=60°或120°.(1)當(dāng)BOT=60°時, SAE=30°.又AB=2,故在SAE中,有 (2)當(dāng)BOT=120°時,同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上, ()假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線A

27、S的方程為.由設(shè)點(diǎn)故,從而.亦即由得由,可得即經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時,O,M,S三點(diǎn)共線. 故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.解法二:()同解法一.()假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為由設(shè)點(diǎn),則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.23.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直

28、線EF的斜率為定值，并求出這個定值。(22)解：（）由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 4分（）設(shè)直線方程：得，代入得設(shè)（，），（，）因?yàn)辄c(diǎn)（1，）在橢圓上，所以，。8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得，。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分24.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知，橢圓C過點(diǎn)A，兩個焦點(diǎn)為（1，0），（1，0）。（3） 求橢圓C的方程；（4） E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。（20）解：（

29、）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分25.（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別是7和1.（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解:()設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）設(shè)

30、，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時?；喌盟渣c(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時，方程變形為，其中當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓；26.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。（I） 求雙曲線C的方程；(II)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。解析：解法1（）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)（0，a）到漸近線，所以

31、所以由所以曲線的方程是（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設(shè)由將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入因?yàn)橛炙杂泟t由又S（1）=2，當(dāng)時，面積取到最小值，當(dāng)當(dāng)時，面積取到最大值所以面積范圍是解答2（）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)（0，a）到漸近線，由所以曲線的方程是.（）設(shè)直線AB的方程為由題意知由由將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）=以下同解答127.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分）已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。（I）求雙曲線C的方程； (II)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍

32、。28（本小題滿分14分）已知雙曲線C的方程為離心率頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）求雙曲線C的方程；（）如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若求AOB面積的取值范圍.解答一（）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線由 得 雙曲線C的方程為（）由（）知雙曲線C的兩條漸近線方程為設(shè)由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為將P點(diǎn)坐標(biāo)代入化簡得設(shè)AOB又記由當(dāng)時，AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時，AOB的面積取得最大值A(chǔ)OB面積的取值范圍是解答二（）同解答一 （）設(shè)直線AB的方程為由題意知 由 得A點(diǎn)的坐標(biāo)為 由 得B點(diǎn)的坐標(biāo)為 由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，

33、則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m）. =以下同解答一.29.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程?！窘馕觥浚↖）由已知得，解得 所求橢圓的方程為 4分（II）由（I）得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得設(shè)、， ，這與已知相矛盾。若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得 ， ，又 化簡得解得 所求直線的方程為 12分30.（2009全國卷文）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點(diǎn)。

34、（）求r的取值范圍（）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得（1）拋物線與圓相交于、四個點(diǎn)的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根即。解這個方程組得.（II） 設(shè)四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時滿足題意。法2：設(shè)四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。設(shè)，由及（）得由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值，即四邊

35、形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。31.（2009湖北卷文）（本小題滿分13分）如圖，過拋物線y22PX(P>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M1、N1 ()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、S2、，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力（滿分13分）（1） 證法1：由拋物線的定義得 2分如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x的交點(diǎn)為而即故證法2：依題意，焦點(diǎn)為準(zhǔn)線l的方程為設(shè)點(diǎn)M,N的坐

36、標(biāo)分別為直線MN的方程為，則有由 得于是，故（）成立，證明如下：證法1：設(shè)，則由拋物線的定義得，于是將與代入上式化簡可得，此式恒成立。故成立。證法2：如圖，設(shè)直線M的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的結(jié)論，得即，得證。32.（2009寧夏海南卷文）(本小題滿分12分)已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個項(xiàng)點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別是7和1（I） 求橢圓的方程（II） 若為橢圓的動點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，（e為橢圓C的離心率），求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（20）解：（）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以橢

37、圓C的方程為（）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由點(diǎn)P在橢圓C上得 代入式并化簡得所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.33.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和 （）求點(diǎn)P的軌跡C； （）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。 解（）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x>2時，由得 化簡得 當(dāng)時 由得 化簡得 故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)

38、部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)P在上時，由知. 當(dāng)點(diǎn)P在上時，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當(dāng)k，或k，即k-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點(diǎn)M（，），N（，）都在C 上，此時由知MF= 6 - NF= 6 - 從而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因?yàn)楫?dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。（2）當(dāng)時，直線L與軌跡C的兩個交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在

39、上，點(diǎn)上，則知， 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E 所以。而點(diǎn)A，E都在上，且 有（1）知若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段MN長度的最大值為35.（2009天津卷理）（本小題滿分14分） 以知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。（1） 求橢圓的離心率；（2） 求直線AB的斜率；（3） 設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分（I） 解：由/且，得，從而 整理，得，故離心率（II） 解：由（

40、I）得，所以橢圓的方程可寫為 設(shè)直線AB的方程為，即. 由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得.依題意，而 由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以 聯(lián)立解得，將代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知當(dāng)時，得，由已知得.線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組 ， 由解得故當(dāng)時，同理可得.解法二：由（II）可知當(dāng)時，得,由已知得由橢圓的對稱性可知B，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，且，所以四邊形為等腰梯形. 由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，解得m=c（舍），或.則，所以.

41、當(dāng)時同理可得 36.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理運(yùn)算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設(shè)、， . ,與題設(shè)矛盾。 直線l的斜率存在。 設(shè)直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設(shè)、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，。 。化簡得解

42、得37.（2009福建卷文）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)。 （I）求橢圓的方程； （）求線段MN的長度的最小值； （）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個數(shù)，若不存在，說明理由解法一：（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又由得故又當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立時，線段的長度取最小值（）由（）可知，當(dāng)取最小值時， 此時的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距