圓錐曲線的方程

1、第八章圓錐曲線的方程1（2006年福建卷）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （ C ）（A）（B）（C）（D）2（2006年安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）A B C D解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D。3（2006年廣東卷）已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準(zhǔn)線的距離之比等于A. B. C. 2 D.43依題意可知 ，故選C.4（2006年陜西卷）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為 （D）（A）（B）（C）（D）25（

2、2006年上海春卷）拋物線的焦點坐標(biāo)為( B ) （A）. （B）. （C）. （D）.6（2006年上海春卷）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( A ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件.7（2006年全國卷II）已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是 (C )（A）2 （B）6 （C）4 （D）128（2006年全國卷II）已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為 (A )（A） (B) (C) (D)9（2006年四川卷）已知兩定點，如果動點滿足

3、，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于（B）（A） （B） （C） （D） 10（2006年四川卷）直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）（A） （B） （C） （D）11（2006年四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_;12（2006年天津卷）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ C ）A B C D 13（2006年湖北卷）設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點，若，且，則點的軌跡方程是（D） A. B

4、. C. D. 14解選D.由及分別在軸的正半軸和軸的正半軸上知，由點與點關(guān)于軸對稱知，=，則。15（2006年全國卷I）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則A B C D15一看帶參，馬上戒備：有沒有說哪個軸是實軸？沒說，至少沒有明說。分析一下，因為等號后為常數(shù)“+”，所以等號前為系數(shù)為“+”的對應(yīng)實軸。y2的系數(shù)為“+”，所以這個雙曲線是“立”著的。接下來排除C、D兩過于扯淡的選項 既然說是雙曲線，“x2”與“y2”的系數(shù)的符號就不能相同。在接下來是一個“坑兒”：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式是或（），題目中的雙曲線方程并不是標(biāo)準(zhǔn)形式，所以要變一下形兒，變成。由題意，半虛軸長的平方：半實軸長的平方 = 4。

5、即，所以。選A。當(dāng)然，我們也可以不算，只利用半虛軸比半實軸長即可直接把答案A圈出來這個題的形式我們見的真是太多了，總結(jié)起來八個字：“沒有坡度，只有陷阱”。也就是說，題目本身并不很難，但是它總在視覺上（不是知識上，是視覺上）給人挖“坑兒”。一般情況下，“坑兒”有三種： 不聲明曲線是站著的還是躺著的； 該寫在分母上的不往分母上寫； 該寫成平方形式的不寫成平方。仔細(xì)品味這個題，選擇支的選項并沒有出現(xiàn)“”或“”這樣的支項，也就是說第點并沒有考察；第點有所涉及，但似乎故意做了淡化，C、D選項幾乎是用眼睛掃一下就排除了；主要考察的還是第點。如果題目干項中將“”改成“（t為非零常數(shù)）”，同時支項中出現(xiàn)“2”

6、、“”這樣的干擾項，那就三點兼顧了。值得一提的是，在二次曲線中，還有一個“坑兒”需要引起注意：那就是“軸和半軸”、“距和半距”。例如：橢圓中，是半長軸而非長軸，是半焦距而非焦距。這些問題雖然很小，但同時也是眼高手低者們（包括我在內(nèi)）比較愛犯的通病。我個人認(rèn)為，這個題其實是用來考察非智力因素的：就看細(xì)心不細(xì)心。16（2006年全國卷I）拋物線上的點到直線距離的最小值是A B C D16拋物線上任意一點（，）到直線的距離。因為，所以恒成立。從而有，。選A。17（2006年全國卷I）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面

7、積為A B C D17我們普遍了解這樣一個事實：在周長一定的n邊形中，正n邊形面積最大?；蛟S這個東西有點超綱，但是請原諒，我一時半會想不出用教材上的辦法來解決此題。當(dāng)n = 3時，這個普遍了解的事實可以用橢圓的知識這樣來感性地解釋：設(shè)三角形ABC的周長l為定值，角A、B、C分別對應(yīng)三邊a、b、c。先固定B、C兩點，則b + c 是定值，這意味這點A在B、C為焦點的橢圓上（去除倆長軸端點），當(dāng)A為橢圓的短軸端點時，A到線段BC的距離最遠(yuǎn)，此時ABC為等腰三角形，滿足b = c。 假若，我們再固定A、C兩點，再次調(diào)整點B的位置。由 我們知道，時，ABC面積最大。所以：，即（a，b）?；蛘邠Q句話說，

8、在數(shù)軸上，點對應(yīng)的點被a、b分別對應(yīng)的兩個點“夾逼”著。無論是用代數(shù)語言還是幾何語言，我們都能得到結(jié)論：再次調(diào)整后。只要類似于、 的調(diào)整我們可以一直進(jìn)行，每進(jìn)行一次，三角形的三邊就“接近一次”，直到三邊長最接近。最接近的情況當(dāng)然是正三角形。（以上只是感性理解，并不代表證明。）按照我們所普遍了解的事實，調(diào)整3個邊盡可能的相等：7，7，6此時三角形面積為：。選B。18（2006年江西卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點，若4，則點A的坐標(biāo)是（B ）A（2，2） B. (1，2) C.（1，2）D.(2，2)解：F（1，0）設(shè)A（，y0）則（ ，y0），（1，y0），由 4

9、y02，故選B19（2006年江西卷）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ D ）A. 6 B.7 C.8 D.9解：設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F1（5，0）與F2（5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故選B20（2006年遼寧卷）曲線與曲線的(A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)準(zhǔn)線相同【解析】由知該方程表示焦點在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案

10、A?！军c評】本題考查了橢圓和雙曲線方程及各參數(shù)的幾何意義，同時著重考查了審題能力即參數(shù)范圍對該題的影響。21（2006年遼寧卷）直線與曲線 的公共點的個數(shù)為(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】將代入得：，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D?！军c評】本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進(jìn)行了簡單的考查。22（2006年上海卷）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 23（2006年上海卷）若曲線|1與直線沒有公共點，則、分別應(yīng)滿足的條件是 =0,-11 24（ 200

11、6年浙江卷）若雙曲線上的點到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點距離的，則= ( C)(A) (B) (C) (D)25. ( 2006年湖南卷）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( A )A. B. C. D. 26(2006年山東卷）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為 (B)(A) (B) (C) (D)27(2006年山東卷）某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是 (C)(A)80 (B) 85 (C) 90 (D

12、)9528(2006年山東卷）已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 32 .29(2006年山東卷）雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=為C的一條漸近線.（1） 求雙曲線C的方程；（2） 過點P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當(dāng)，且時，求Q點的坐標(biāo).29.(1) ;(2) .30（2006年福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點。（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平

13、分線與軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍。30本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。滿分12分。解：（I）圓過點O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標(biāo)的取值范圍為31（2006年安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點，為坐標(biāo)原點。已知四邊形為平行四邊形，。OFxyPM第22題圖H（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（）當(dāng)時，經(jīng)過焦點

14、F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。解：四邊形是，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。（）當(dāng)時，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求。32 ( 2006年重慶卷)已知一列橢圓Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若橢圓C上有一點Pn使Pn到右準(zhǔn)線ln的距離d.是PnFn與PnCn的等差中項，其中Fn、Cn分別是Cn的左、右焦點.（）試證：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面積，試證：S1S1且SnSn+3 (n3).圖()圖證：（1）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有

15、設(shè) 因此，由題意應(yīng)滿足即即,從而對任意（）設(shè)點 得兩極，從而易知f(c)在（，）內(nèi)是增函數(shù)，而在（，1）內(nèi)是減函數(shù).現(xiàn)在由題設(shè)取是增數(shù)列.又易知故由前已證，知33（2006年上海春卷）學(xué)校科技小組在計算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗. 設(shè)計方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、 為頂點的拋物線的實線部分，降落點為. 觀測點同時跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時，觀測點測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？33. 解（1）設(shè)曲線方程為，由題意可知，.

16、 . 4分 曲線方程為. 6分 （2）設(shè)變軌點為，根據(jù)題意可知 得 ， 或（不合題意，舍去）. . 9分 得 或（不合題意，舍去）. 點的坐標(biāo)為， 11分 .答：當(dāng)觀測點測得距離分別為時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令. 14分34（2006年全國卷II）已知拋物線x24y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且（0）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為（）證明為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值21解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12

17、y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為(，)(，1) 4分所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時，S取得最小值435（2006年四川卷）已知兩定

18、點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點，如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知 故曲線的方程為 設(shè)，由題意建立方程組 消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有 解得又 依題意得 整理后得 或 但 故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點將點的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 得，但當(dāng)時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，點的坐標(biāo)為到的距離為 的面積36（2006年全國卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個

19、以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程；（）的最小值。36解：（I）根據(jù)題意，橢圓半焦距長為，半長軸長為，半短軸長，即橢圓的方程為。設(shè)點P坐標(biāo)為（，）（其中），則切線C的方程為：點A坐標(biāo)為：（，0），點B坐標(biāo)為（0，）點M坐標(biāo)為：（，）所以點M的軌跡方程為：（且）（II）等價于求函數(shù)（其中）的最小值當(dāng)時等號成立，此時即。因此，點M坐標(biāo)為（，）時，所求最小值為。37（2006年江蘇卷）已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點P、關(guān)于直線

20、yx的對稱點分別為、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（I）由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+，其半焦距。， ，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+；（II）點P（5，2）、（6，0）、（6，0）關(guān)于直線yx的對稱點分別為：、（0，-6）、（0，6）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-，由題意知半焦距， ，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-。點評：本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力38. （2006年湖北卷）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線.（）求橢圓的方程；（）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線、分別與橢圓相交于異于、的

21、點、，證明點在以為直徑的圓內(nèi).（此題不要求在答題卡上畫圖）38點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。解：（）依題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點在橢圓上，y0（4x02）. 又點M異于頂點A、B，2x00，0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2x12，2x2b0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點

22、F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點（1） 求點P的軌跡H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0b0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點坐標(biāo)為P（x，y），則1當(dāng)AB不垂直x軸時，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2當(dāng)AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2）因為，橢圓Q右準(zhǔn)線l方程是x，原點距l(xiāng)的距離為，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0q）則2sin（）當(dāng)q時，上式達(dá)到最大值。此時

23、a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1設(shè)橢圓Q：上的點 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S|y1|y2|y1y2|設(shè)直線m的方程為xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韋達(dá)定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk211，得4S2，當(dāng)t1，k0時取等號。因此，當(dāng)直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。40（2006年天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點連結(jié)交小圓于點設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點的坐標(biāo)；（2）設(shè)直

24、線交橢圓于、兩點，證明40；略41（2006年遼寧卷）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標(biāo)原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又

25、因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時,d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因為x-2y+2=0與無公共點,所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時,d有最小值,由題設(shè)得.【點評】本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,以及綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力.42（2006年北京卷）已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（）求的方程；（）若是上的不同兩點，是坐標(biāo)原點，求的最小值. 19（）；（）20。43（2006年上海卷）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由解（1）（2）44（ 2006年浙江卷）如圖，