《高等代數(shù)(二次型與線性空間部分)》

1、數(shù)學(xué)系05級?高等代數(shù)二次型與線性空間局部試題及答案2006年3月27日，總分值：120分命題人：胡付高、判斷題在括號里打或“x ，每題2分，共20分1 假設(shè)向量組!, 2,L , s與向量組1, 2丄，t都線性無關(guān)，那么1, 2丄，s，1, 2丄，t也線性無關(guān)；X2. n維線性空間V中任何n個線性無關(guān)的向量都是 V的一組基；V3對n維線性空間V中任何非零向量，在V中一定存在n 1個向量1, 2,L , n 1，使得1, 1, 2,L , n1 作成 V 的一組基；V4三個子空間V1,V2,V3的和V V2 V3為直和的充要條件是 V, V2 V30 ;X5 把復(fù)數(shù)域看成實數(shù)域 R上的線性空間

2、，它與 R2是同構(gòu)的；V6 線性空間V的兩組基1, 2,L , n到1, 2,L , n的過渡矩陣是可逆的；V7 V的任意兩個子空間的交 V V2與并V V2都是V的子空間；X&集合W A A Pnn,A 0作成Pn n的子空間；X9 實對稱矩陣為半正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負；X10.設(shè)n元實二次型的正負慣性指數(shù)分別為s,t，那么必有s t n .V二、填空題每題2分，共20分1 .如果 dimymi，dim V2m2， dimyV2m3，那么 dimV1V2mm2m3 2 兩個有限維線性空間 V、V2同構(gòu)的充分必要條件是 dim V1 dimV2 3 兩個復(fù)對稱矩陣合同

3、的充分必要條件是它們的秩相等4. 設(shè)實二次型的秩為 r，負慣性指數(shù)為q，符號差為m，那么r、q、m的關(guān)系是r m 2q .5. 2 2級實對稱矩陣的所有可能的標準型是：0 0 10 10 10 10 1 000,00,0 0 0 1,0 1 , 0 1 .6 設(shè)基1, 2丄,n到基1, 2丄,n的過渡矩陣是 A，而基1, 2丄，n到基1, 2丄，n的過渡矩陣是B，那么1,1 12,L , n到1, 2,L , n的過渡矩陣是B A 7.為線性空間V的三個線性無關(guān)的向量，那么子空間L,)L(,&假設(shè) dim(VV2)dim V|dimV2，那么 VV29.設(shè)三維線性空間V的基2, 3的過

4、渡矩陣為A11 ，向量 在基13下的坐標為(1,2,3)，在在基2,3下的坐標為4,2,0.10. n元實二次型fX1,X2丄,Xn)(a2 21)x1(a 2)x22L a nXn正定的充分必要條件是常數(shù)a滿足a n .三、簡述以下定義共12分1. n級矩陣A、B合同：如果存在可逆矩陣 C,使得B C'AC2. 子空間的和 V V212|i Vj,i1,23生成子空間 L 1 ,2 ,3K1 k2 2k3 3kiP, i 1,2,34.子空間的直和：V V2中每個向量的分解式1 2(iVi,i1,2 是唯一的四、10分設(shè)可由1, 2丄，r線性表出，但不能由1 , 2,L,r 1線性表

5、出，證明：L( 1 ,2,L , r 1, r)L( 1,2,L , r1,).證明 只需證明向量組1, 2,l ,1 r 1 , r 與1 ,2,L ,r 1 ,等價:易知 1, 2,L可由與1, 2,L , r 1, r線性表示，另一方面，由于可由1,2,L ,r線性表出，故有k1 1k2 2 Lkrr ,且 kr0 ,否那么可1,2,L , r 1線性表出，矛盾，于是Lr1 Lkrkr 1kr1r 1kr，因而1 ,2 ,L , r 1 , r 可由1 ,2丄，r 1, 線性表出,故向量組1 , 2 ,L ,r 1,r與 1 ,2,L , r 1, 等價，最后不難得到結(jié)論.五、(1)討論

6、：取什么值時，二次型(X；X；x3)(X-x2X3)2是正定的.(2)證明當(dāng)3時，上述二次型是半正定的.(共14分)解(1)二次型可化為(1)x； (1)x；(21)X3 2X1X2 2X1X3 2X2X3，它對應(yīng)的矩陣是111111111由二次型是正定的它的矩陣的所有順序主子式全大于零，可得到1 0， ( 2) 0 ,(2)當(dāng)3 時，二次型可化為(論 x2)2 (x-i x3)2 (x2 x3)20，故二次型是半正定的.2(3) 0,它等價于3，即二次型是正定的3.2,負正慣性指數(shù)為0.注對(2)還可以用求二次型標準型的方法得到結(jié)論，求得它的正慣性指數(shù)為六、設(shè)A、B是兩個固定的n級矩陣，證明

7、：(1) W XX Pn n,AX XB 是 Pn n的一個子空間；(2) 當(dāng)A B是主對角元兩兩互異的對角矩陣時，W是什么樣的子空間，并求 W的維數(shù)及一組基(可以只寫結(jié)果，不必說明理由)(共14分)解(1)因為 0 W，故 W ，對 X,Y W，即 AX XB , AY YB ,得A(X Y) AX AY XB YB (X Y)B，于是 X Y W，設(shè) k P，又由A(kX) k(AX) k(XB) (kX)B，得到 kX W，因此 W Pn n的一個子空間；(2) W是所有n級對角矩陣作成的子空間，它的一組基可取為E11,E22,L ,Enn, dimW n .七、 設(shè) 1 (1, 1,3

8、,7) , 2 (2, 1,0,1), 3 ( 1,1,1,1), 4 (1,2,1,0)(1)分別寫出生成子空間 L( 1, 2)與L( 3, 4)的基和維數(shù)；(2 )求L( 1,2,3,4)的一組基和維數(shù)；(3 )求L( 1,2)L( 3, 4)的維數(shù).(共15分)解(1)1, 2為L( 1, 2)的一組基，3,4為 L( 3,4)的一組基，它們的維數(shù)都為2121 1121 1丄111 2010 3(2)由彳彳初等行變換uL( 1, 2, 3, 4)的一組基可取為301 1001 4711 0000 01, 2, 3，故它的維數(shù)為3 ；(3)注意到 L( 1, 2)L( 3, 4) L(

9、1, 2, 3, 4),由維數(shù)公式即得 L( 1, 2) L( 3, 4)的 維數(shù) 2 2 3 1 .八、補充題(共15分，此題得分可以計入總分)設(shè)Pxh表示數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項式及零多項式作成的線性空間，a P .(1)驗證 V1f(x) f(a) 0, f (x) Pxn 是 Pxn 的一個子空間；(2 )求V1的一組基及維數(shù)；(3)記V2 P，那么V2也是數(shù)域P上的一個子空間，試證明：Pxn V V2 證明 (1)因為 0 V1，所以 V，設(shè) f(x), g(x) V1, k P，那么 f(a) 0, g(a) 0,且f (x) g(x) Pxn ,因此 f(a) g(a) 0 ,

10、kf (a) 0，故 f (x) g(x) 7、, k f (x) %，即M是 Pxn的一個子空間；(2) 對f(x) Pxn , f (x) 一定可以表成形式f(x) C0 g(x a) g(x a)2 LCm(x a)n 1()2n 1假設(shè) f(x) V，那么 f(a) C00,即得 f (x) C1(x a) q(x a) L Cn1(x a)，注意到(x a),(x a)2,L ,(x a)n 1都屬于V，且線性無關(guān)，它們構(gòu)成了 V的一組基，dimV, n 1 ；(3) V2是一個一維子空間，1為它的一組基，由()式即得Pxn V1 V2，故Pxn V1 V2 , 又 dim(V1V2)dim PxnndimV1dimV2，故 P xnV1V2 n f(k)( a )注 對(2