拉普拉斯變換公式總結(jié)

1、拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的S域分析基本要求通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)深刻理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念：熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)、卷積定理的意義及它們的運(yùn)用。能根據(jù)時(shí)域電路模型畫出S域等效電路模型，并求其沖激響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性。理解全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。會判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。知識要點(diǎn)1. 拉普拉斯變換的定義及定義域（1） 定義單邊拉普拉斯變換：正變換逆變換 雙邊拉普拉斯變換：正變換 逆變換（2） 定義域若時(shí)，則在的全部范圍內(nèi)收斂，積分存在，即的拉普拉斯變換存在。就是的

2、單邊拉普拉斯變換的收斂域。與函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)。2. 拉普拉斯變換的性質(zhì)（1） 線性性若,為常數(shù)時(shí)，則（2） 原函數(shù)微分若則式中是r階導(dǎo)數(shù)在時(shí)刻的取值。（3） 原函數(shù)積分若，則式中（4） 延時(shí)性若，則（5） s域平移若，則（6） 尺度變換若，則（a0）（7） 初值定理（8） 終值定理（9） 卷積定理若，則有=3. 拉普拉斯逆變換（1） 部分分式展開法首先應(yīng)用海維賽展開定理將展開成部分分式，然后將各部分分式逐項(xiàng)進(jìn)行逆變換，最后疊加起來即得到原函數(shù)。（2）留數(shù)法留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在圍線中所有極點(diǎn)的留數(shù)運(yùn)算，即若為一階級點(diǎn)，則在極點(diǎn)處的留數(shù)若為k階級點(diǎn)，則4. 系統(tǒng)函數(shù)（

3、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）H（s）（1） 定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成變換對，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性式中，是幅頻響應(yīng)特性，是相頻響應(yīng)特性。（2） 零極點(diǎn)分布圖 式中，是系數(shù)；，為的零點(diǎn)；，為的極點(diǎn)。在s平面上，用“”表示零點(diǎn)，“”表示極點(diǎn)。將的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)畫在s平面上得到的圖稱為系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。對于實(shí)系統(tǒng)函數(shù)而言，其零極點(diǎn)要么位于實(shí)軸上，要么關(guān)于實(shí)軸成鏡像對稱分布。（3） 全通函數(shù)如果一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，而且零點(diǎn)與極點(diǎn)對于軸互為鏡像，那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)絡(luò)。全通網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻

4、特性是常數(shù)。（4） 最小相移函數(shù)如果系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)均位于s平面的左半平面或軸，則稱這種函數(shù)為最小相移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)。（5） 系統(tǒng)函數(shù)的求解方法由沖激響應(yīng)求得，即。對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行零狀態(tài)條件下的拉普拉斯變換，然后由獲得。根據(jù)s域電路模型，求得零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比，即為。5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性若系統(tǒng)對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。（1）穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域判決條件（充要條件） 若系統(tǒng)是因果的，則式可改寫為（2） 對于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定性的s域判決條件若系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)落于s左半平面，則該系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)函數(shù)有極點(diǎn)落于s右

5、半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點(diǎn)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定；若系統(tǒng)函數(shù)沒有極點(diǎn)落于s右半平面，但在虛軸上有一階極點(diǎn)，則該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。內(nèi)容摘要系統(tǒng)函數(shù)的定義由零極點(diǎn)的決定系統(tǒng)的時(shí)域特性由零極點(diǎn)的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性由零極點(diǎn)的分析系統(tǒng)的頻響特性拉氏變換的定義和收斂域典型信號的拉氏變換二單邊拉氏變換逆變換的求法部分分式展開法圍線積分法三拉氏變換的基本性質(zhì) 四用拉普拉斯變換法分析電路五系統(tǒng)函數(shù)一.拉普拉斯例題例題1：求拉氏變換例題2：求拉氏變換，拉氏變換的性質(zhì)例題3：拉氏變換的微分性質(zhì)例題4：系統(tǒng)函數(shù)，求解系統(tǒng)的響應(yīng)例題5：用拉氏變換法分析電路例4-1求下列函數(shù)的拉氏變換 分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換,為

6、了區(qū)別起見,本書以表示單邊拉氏變換,以 表示雙邊拉氏變換。若文字中未作說明,則指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研究的時(shí)間函數(shù),因此,它和傅里葉變換之間有一些差異,例如在時(shí)移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只討論時(shí)移定理。請注意本例各函數(shù)間的差異和時(shí)移定理的正確應(yīng)用。解答例4-2求三角脈沖函數(shù)如圖4-2（a）所示的象函數(shù)分析和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時(shí)，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方法求解。解答方法一：按定義式求解 方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解 方法三：利用微分性質(zhì)求解 方法四：利用卷積性質(zhì)求解 方法一：按定義式

7、求解方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解 由于于是 方法三：利用微分性質(zhì)求解分析 信號的波形僅由直線組成，信號導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時(shí)利用微分性質(zhì)比較簡單。 將微分兩次，所得波形如圖4-2（b）所示。顯然根據(jù)微分性質(zhì)由圖4-2（b）可以看出于是方法四：利用卷積性質(zhì)求解 可看作是圖4-2(c）所示的矩形脈沖自身的卷積于是，根據(jù)卷積性質(zhì)而圖4-2（c）所以例4-3應(yīng)用微分性質(zhì)求圖4-3（a）中 的象函數(shù)下面說明應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)注意的問題，圖4-3（b） 是的導(dǎo)數(shù) 的波形。圖4-3（a）解答說明（1）對于單邊拉氏變換, 故二者的象函數(shù)相同，即因而這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別

8、注意的問題。由圖4-3（b）知例4-4某線性時(shí)不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵(lì)信號作用于系統(tǒng)。為圖中所示的矩形脈沖時(shí)，求此時(shí)系統(tǒng)的輸出階躍響應(yīng)則例4-5電路如圖4-5（a）所示（1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài) 使系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)，解答（1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。系統(tǒng)沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)是一對拉氏變換的關(guān)系。對求逆變換可求得，這種方法比在時(shí)域求解微分方程簡便。利用s域模型圖4-5（b）可直寫出圖4-5（a）電路的系統(tǒng)函數(shù)沖激響應(yīng)（2）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模

9、型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。由圖4-5(b)可以寫出上式中第二項(xiàng)只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)，因此該項(xiàng)是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。依題意的要求，該項(xiàng)應(yīng)和相等，從而得故系統(tǒng)的起始狀態(tài)說明通過本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿足某些特定要求。本質(zhì)上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng)滿足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響應(yīng)為零。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)附錄A 拉普拉斯變換及反變換1.表A-1 拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性疊

10、加性2微分定理一般形式初始條件為0時(shí)3積分定理一般形式初始條件為0時(shí)4延遲定理（或稱域平移定理）5衰減定理（或稱域平移定理）6終值定理7初值定理8卷積定理2表A-2 常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號 拉氏變換E(s)時(shí)間函數(shù)e(t)Z變換E(z)11(t)1234t5 67891011121314153 用查表法進(jìn)行拉氏反變換用查表法進(jìn)行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進(jìn)行部分分式展開，然后逐項(xiàng)查表進(jìn)行反變換。設(shè)是的有理真分式 （）式中系數(shù)，都是實(shí)常數(shù)；是正整數(shù)。按代數(shù)定理可將展開為部分分式。分以下兩種情況討論。 無重根這時(shí)，F(xiàn)(s)可展開為n個(gè)簡單的部分分式之和的形式。 （F-1）式中，是特征方程A(s)0的根。為待定常數(shù)，稱為F(s)在處