專(zhuān)題二：平行四邊形常用輔助線(xiàn)的作法精排版

1、專(zhuān)題講義 平行四邊形+幾何輔助線(xiàn)的作法一、知識(shí)點(diǎn)1四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3平行四邊形的性質(zhì)：性質(zhì)判定四邊形ABCD是平行四邊形 4、平行四邊形判定方法的選擇5、和平行四邊形有關(guān)的輔助線(xiàn)作法（1）利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1、如圖，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形. 求證: OE與AD互相平分.說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平

2、行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形.（2）利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖，在ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問(wèn)題. 求證: ED+FG=AC.（3）利用對(duì)角線(xiàn)互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖，已知AD是ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.說(shuō)明：本題通過(guò)利用對(duì)角線(xiàn)互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線(xiàn)應(yīng)思考這種方法.（4）連結(jié)對(duì)角線(xiàn)，

3、把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例4、如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，且,請(qǐng)你以為一個(gè)端點(diǎn)， 和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線(xiàn)段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段相等（只需證明一條線(xiàn)段即可）（5）平移對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例5、如右圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)O，如果， ，那么的取值范圍是（ ） A、 B、 C、 D、（6）過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例6、已知：如圖，四邊形為平行四邊形 求證：（7）延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例7、已知：如右上圖4，在正方形中，分別是、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：2、 課

4、堂練習(xí)：1、如圖，是平行四邊形的邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若平行四邊形的面積為，則圖中面積為的三角形有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 2、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè) _四邊形3、 如圖，AD，BC垂直相交于點(diǎn)O，ABCD，BC=8，AD=6， 則AB+CD的長(zhǎng)=_。4、已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a， P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，PDAB，PEBC，PF AC，點(diǎn)D、E、F分別在 BC、AC、AB上，猜想：PDPE+PF=_，并證明你的猜想5、平行四邊形ABCD中，分別是四條邊上的點(diǎn)，且, 試說(shuō)明：與相互平分6、如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD交于O，E、F分別為OB、OD的

5、中點(diǎn)，過(guò)O任作一直線(xiàn)分 別交AB、CD于G、H 試說(shuō)明：GFEHB7、如圖，已知，B是AD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn) 試說(shuō)明：DE8、如圖，E是梯形ABCD腰DC的中點(diǎn)試說(shuō)明：9、已知六邊形ABCDEF的6個(gè)內(nèi)角均為120°，CD2cm，BC8cm，AB8cm，AF=5cm，試求此六邊形的周長(zhǎng)10、已知是等腰三角形，AB=AC，D是BC邊上的任一點(diǎn)，且 ，垂足分別為E、F、H， 求 證：11、 已知：在中，；在中，；連結(jié)，取的中點(diǎn)， 連結(jié)和（1）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖，求證：且；（2）如果將圖8-中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么（1）中的結(jié)論是否仍成

6、立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明 圖圖-答案：例4、 連結(jié) 證明：連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O 四邊形為平行四邊形 即 四邊形為平行四邊形 例5、解：將線(xiàn)段沿方向平移，使得,則有四邊形為平行四邊形, 在中, , ，即 解得 故選A例6、證明：過(guò)分別作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F 則四邊形為平行四邊形 且, 例7、證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)四邊形為正方形 且, 又, ,則2、 課堂練習(xí)1、 C 2、平行 3、10 4、5、 分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGF的對(duì)角線(xiàn)，若能說(shuō)明四邊形HEGF是平行四邊形，根據(jù) 平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與GH相互平分。6、 分析：觀察圖形，G

7、F與EH為四邊形GEHF的對(duì)邊，若能說(shuō)明四邊形EHFG是平行四邊形，平行四 邊形具有對(duì)邊平行的性質(zhì)可得GFEH7、 分析：延長(zhǎng)CE至F，使EFCE，連結(jié)AF、BF，得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊形 的性質(zhì)證明DBCFBC即可。8、 分析：過(guò)點(diǎn)E作MNAB，交BC于N，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，則四邊形ABNM是平行四邊形， ABE與四邊形ABNM等底等高，所以SABES平行四邊形ABNM，接下來(lái)說(shuō)明 S梯形ABCDS平行四邊形ABNM即可。9、10、 證明：過(guò)D點(diǎn)作DGCH于G 又DEAB于E，CHAB于H 四邊形DGHE為矩形 DEGH EHDG BGDC 又ABAC BACB GDC

8、ACB 又DGCDFC90° CDDC（公共邊） CDGDCF（AAS） DFCG 又CHCGGH CHDFDG（等量代換）11、平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)

9、的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或三角形全等.第一類(lèi)：連結(jié)對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1，在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，且,請(qǐng)你以為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線(xiàn)段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段相等（只需證明一條線(xiàn)段即可）連結(jié) 證明：連結(jié),設(shè)交于點(diǎn)O四邊形為平行四邊形 即四邊形為平行四邊形 第二類(lèi)：平移對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2，在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)O，如果，那么的取值范圍是（ ）A B C D解：將線(xiàn)段沿方向平移，使得,則有四邊形為平行四邊形,在中, ,，即 解得 故選A第三類(lèi)：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3，四邊形為平行四邊形 求證： 證明：過(guò)分別作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F 則四邊形為平行四邊形 且, 第四類(lèi)：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4，在正方形中，分別是、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)四邊形為正方形 且, 又, ,則第五類(lèi)：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線(xiàn)型相似三角形。例5如左下圖5，在平行四邊形中，點(diǎn)為邊上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于，則有,第六類(lèi)：