2007年數(shù)一真題試題+答案

1、2007年全年碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：110小題,每小題4分,共40分,下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求,請將所選項前的字母填在答題.紙.指定位置上.(1)當(dāng)x 0時，與x等價的無窮小量是()(A)(B) ln .1 Jx(C),1 x 1 .(D)1 cosx答案：(B).1曲線yx(A) 0.答案：(D).ln(1ex)漸近線的條數(shù)為(B)1.(C)2.(D)3.(3)如圖,連續(xù)函數(shù)y f (x)在區(qū)間3,2,3上的圖形分別是直徑為的上、下半圓周，在區(qū)2的上、下半圓周，設(shè)F(x)的是()(A)F(3)3-F( 2).4(B)F(3)5 -F(2).4(

2、C)F( 3)3F(2).4(D)F( 3)5F( 2)4答案：(C).間 2,0 , 0,2上的圖形分別是直徑為設(shè)函數(shù)f (x)在x 0處連續(xù)，則下列命題錯誤.的是()(A)若limf(x)存在,則 f(0)0.(B)右limf(x) f(x)存在，則f(0)0.x 0xx 0x(C)若limf(x)存在，則f (0)存在.(D)右limf(x) f (x)存在，則f (0)存在x 0xx 0x答案：(D).(5)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,)上具有二階導(dǎo)數(shù),且 f (x)0,令 Unf(n) (n1,2,L ),則下列結(jié)論正確的是()(A)若u1u2 ,則un必收斂(B)若uU2 ,則 Un必發(fā)

3、散(C)若U1U2,則un必收斂(D)若U1U2 ,則 Un必發(fā)散答案：(D).設(shè)曲線L:f(x,y) 1( f (x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),過第n象限內(nèi)的點 M和第"象限內(nèi)的點N，為L上從點M到點N的一段弧，則下列積分小于零 的是()(A)f (x，y)dx.(B)f (x，y)dy.(C)f (x，y)ds.(D)fx (x，y)dx fy (x，y)dy答案：(B).(7)設(shè)向量組1, 2, 3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān).的是()(A)1 2， 23，31 (B)12，23，31(C)1 2 2， 22 3,321 (D)122，223，32答案：(A) 2 1110

4、0(8)設(shè)矩陣A121，B 010，則A與B()1 12000(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似答案：(B).(9) 某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0 p 1),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為()2 2 2 2 2 2(A) 3p(1 p) . (B)6p(1 p) .(C) 3p (1 p) .(D) 6p (1 p).答案：(C).(10) 設(shè)隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，fx(x), fY(y)分別表示X,Y的概率密度，則在Y y條件下，X的條件概率密度 fXY(x y)為()(A

5、) fx( X)(B)fY(y).(C)fx(x)fY(y).(D)fx(x)fY(y)答案：(A).二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙 指定位置上答案:(12)設(shè) f (u, v)為二元可微函數(shù),z f (xy, yx),則一Zx答案：fi(xy, yx)yxy 1f2(xy,yx)yx|n yx(13)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y4y 3y 2e2x的通解為y答案：非齊次線性微分方程的通解為 yC1ex C2e3x 2e2x(14)設(shè)曲面 ：x答案：乙(xy)ds(15)設(shè)距陣A答案：r A31.z 1,則o(xy)dsydS3-3 4 30,則A3的秩為

6、11(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù)，則這兩數(shù)之差的絕對值小于§的概率為3 答案：3.4三、解答題：1724小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本題滿分11分)求函數(shù)f (x,y) x22y2 x2y2,在區(qū)域 D (x,y) x22y 4,y0上的最大值和最小值.答案：函數(shù)在D上的最大值為f(0,2)8,最小值為f(0,0)0.(18) (本題滿分10分)計算曲面積分I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy其中 為曲面z1 x22邙0 z “的上側(cè).答案：I .(19) (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x),

7、 g(x)在 a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f (a)=證明：設(shè)(x) f(x)g(x),由題設(shè)f(x), g(x)存在相等的最大值,設(shè)X1(a,b), X2(a,b)使 f (xjmaxf (x)g(x2)maxg(x).若xx2,即f (x)與g(x)在同一點取得取大值，此時,取X1,有 f ()g()；若xX2 ,不妨設(shè)X1 X2 ,則(xj f(xjg(xj 0,(X2) f(X2) g(X2)0 ,且(x)在 a,b上連續(xù),則由零點定理得存在(a,b),使得()0,即f() g()；由題設(shè) f(a) = g(a), f(b) = g(b),則(a)0(b)

8、,結(jié)合()0,且(x)在 a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，應(yīng)用兩次使用羅爾定理知：存在 1 (a, ),2 ( ,b),使得(1)= 0,(2)0.在1, 2再由羅爾定理，存在 (1, 2),使 ()0.即f ( ) g ().(20) (本題滿分10分)設(shè)幕級數(shù)anxn在(，)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足y 2xy 4y 0,y(0) 0, y (0)1.n 02(I) 證明 an 2an,n 1,2,L .n 1(II) 求y(x)的表達式.答案：(I)證明：對yanxn ,求一階和二階導(dǎo)數(shù)n 0n 1nanx, y1n(n 1)an2代入2xy4y0,得 n(n 1)anxn 2

9、2xn 2nnn a“x1n ca“x 0 .0(II)(n2a21)an4a0 (2 2any xex.(n 1)(n2)an 2Xn 00 n 1,2,L ,從而 an 22n anxn 14anXnn 00.2an, n n 11,2,L .(21) (本題滿分11分)X2X30設(shè)線性方程組2x2ax30(1)與方程x-i 2x2X3a 1 (2)有公共解，求a得X14x22 aX30值及所有公共解1110答案：當(dāng)a 1時,(Ab)0100,所以方程組的通解為k(1,0, " , k為任意常數(shù)，此即為00000000當(dāng) a 2時，(Ab)11100110 ，此時方程組有唯一解0

10、0110000(0,1, 1)T,此即為方程組(1)與方程組與的公共解.的公共解.(22) (本題滿分11分)設(shè)3階實對稱矩陣 A的特征值11, 22, 32, 1 (1, 1,1)T是A的屬于1的一個特征向量.記B A5 4A3 E,其中E為3階單位矩陣(I) 驗證1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(II) 求矩陣B .答案：kk 1k 1(I)由A 11,可得A1A (A 1) A 1 L 1 , k是正整數(shù)，則B 1 (A54A3 E) 1 A5 14A3 1E 11 4 112 1,于是1是矩陣B的屬于特征值 12特征向量所以B的所有的特征向量為：對應(yīng)于 12的全體特

11、征向量為 k, 1,其中k1是非零任意常數(shù),對應(yīng)于231的全體特征向量為k2 2 k3 3,其中k2,k3是不冋時為零的任意常數(shù)2000 11(II) B P010 P 11 01 .0011 10(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(I) 求 P X 2Y ;(II) 求Z X Y的概率密度fz(z).答案：11x(I) P X 2Y o dx 02 (2 x y)dy2zz2,0z1,2(II) fz (z)z4z4,1z2,0,其他(24)(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為f (x;)f(x,y)2 x y,0 x 1,0 y 1,0, 其他，1(x 5x2)dx0 872412(1 )x 1,其中參數(shù)(01)未0,其他知，X1,X2,.Xn是來自總體 X的簡單隨機樣本，X是樣本均值(I)求參數(shù)的矩估計量$ ；2 2(II) 判斷4X是否為 的無偏估計