導數(shù)的概念及幾何意義基礎

1、導數(shù)的概念及幾何意義【學習目標】1 .知識與技能(1)理解導數(shù)的概念，知識瞬時變化率就是導數(shù)，能解釋具體函數(shù)在這一點的導數(shù)的 實際意義.(2)通過函數(shù)圖象直觀的理解導數(shù)的實際意義，理解曲線在某一點處切線的意義，會 求一些簡單的初等函數(shù)在某點的切線方程.2 .過程與方法經歷導數(shù)概念的形成過程，掌握通過逼近無限的數(shù)學研究方法；經歷由割線得到切線的形成過程，體會導數(shù)的思想及其內涵，完善對切線的理解和認識.3 .情感、態(tài)度與價值觀領悟導數(shù)的概念、切線的定義形成過程所體現(xiàn)的具體與抽象、特殊與一般、無限與有限、靜止到運動的形成過程，體會導學的思想及其內涵，完善對切線的理解和認識.【要點梳理】要點一：導數(shù)的

2、概念1.導數(shù)的概念設函數(shù)y=f(x),當自變量X從Xo變Xi時，函數(shù)值從f(Xo )變到f(Xi),函數(shù)值關于X的平均變化率為.-y f X -f Xo f Xo ；：x -f Xo一 =:_， :-=':-',.XX -XoL.X當Xi趨于X。，即3趨于o時，如果平均變化率趨于一個固定的值，那么這個值就是函數(shù)y=f (X)在Xo點的導數(shù)，通常用符號 f 丫欣示，記作y f XoX - f Xof (xo A ljm =ljm o.X-o X .X-o,%要點詮釋：(1)導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是 位移在這一時刻的瞬間變化率.(2

3、)對于不同的實際問題，平均變化率富于不同的實際意義.如位移運動中，位移S從時間ti到t2的平均變化率即為ti到t2這段時間的平均速度.(3)增量 也 可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于o. Axt o的意義：Ax與。之間距離要多近有多近，即| Ax -o |可以小于給定的任意小的正數(shù).(4) Axt o時，Ay在變化中都趨于 o,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù).即存在一個常數(shù)與-y = f (Xo .x) - f (Xo)無限接近.LX二 X(5)函數(shù)y=f (x)在Xo點的導數(shù)還可以用符號 y'|xj表示.要點二：導數(shù)的幾何意義f ,(X0淤示曲線y=f (x)在x=x0處的切

4、線的斜率，即f)=tana ( ct為切線的傾斜角)已知點P(xo, yo)是曲線y=f(x)上一定點，點Q(Xo+Ax,y0+Ay)是曲線y=f(x)上的動點，我們知道平均變化率型表示割線PQ的斜率.如圖所示：.x當點Q無限接近于點P,PT叫做曲線在點P處的切線.也就是：當 Axt 0時，害U線PQ斜率的極限，就是切線的斜率.即:k = lim ,J0 -x=ixm0f (%以)- f (x)x=f (x0) 要點詮釋：(1)曲線上一點切線的斜率值只與該點的位置有關.(2)關于切線有兩種不同的說法，求法也不同，具體求法與步驟參考類型二：曲線在點P處的切線：點P在曲線上，在點 P處作曲線的切線

5、(P是切點)，此時數(shù) 量唯一.如圖1 .曲線經過點P處的切線：點P位置不確定(在曲線上或曲線外)，過點P作曲線上任 意位置的切線(只要切線經過點P即可)，數(shù)量不唯一.如圖 2,無論點P在曲線上還是曲線外，過點P都可以作兩條直線11、12與曲線相切.圖2(3)直線與曲線相切直線和曲線有1個公共點；有別于直線和圓，如圖，直線 12與曲線C有唯一公共點M，但我們不能說直線12與曲 線C相切；而直線1 i盡管與曲線C相切，卻有不止一個公共點.這也是我們用割線的極限位置來定義切線，而不說與曲線只有一個公共點的直線叫做切線”的原因.在物理學中，如圖物體運動的規(guī)律是s=s(t),那么該物體在時刻to的瞬時速

6、度v就是s=s(t )在 t=to 時的導數(shù),即 v=s'(to )；如果物體運動的速度隨時間變化的規(guī)律是v=v(t )，那么物體在時刻to的瞬時加速度a就是v=v(t廬t=to時的導數(shù)，即 a=v'(to).要點詮釋：f'(Xo)表示函數(shù)f(x)在Xo處的瞬時變化率，而在很多物理量中都是借助變化率 來定義的.比如，瞬時角速度是角度 e(t2時間t的變化率；瞬時電流是電量 Q(t )對時間t的 變化率；瞬時功率是功 W(t閃時間t的變化率；瞬時電動勢是磁通量(t)對時間t的變化率.最常用的是瞬時速度與瞬時加速度.【典型例題】類型一：導數(shù)定義的應用1例1.用導數(shù)的7E乂，

7、求函數(shù) y = f (x)= 產在x=1處的導數(shù).x【思路點撥】三步法求函數(shù)在某點處的導數(shù)值.1【解析】先求增量:y = f(1：x) - f (1)：1、1 xJ x (1.1 . x) . 1 . x(1 .,1 x) , 1 X再求平均變化率:(1.1 x) , 1 X求極限，得導數(shù):.y 1f (1)0-=-2【總結升華】利用定義求函數(shù)的導數(shù)值，有三步，即三步求導法，具體步驟如下:(1)求函數(shù)的增量:y= f (% + Ax) f (x0)；(2)求平均變化率：y _ f (xo +/x) f (xo)Lx(3)求極限，得導數(shù):f(x0 - x) - f(x0)Lx【變式1】已知函數(shù)f

8、 (x )= - x2 + x的圖象上的一點A(-1, -2)及臨近一點B(-1+Ax,-2+Ay),貝U '= x【解析】 2+Ay =(1 +Ax)2 +(1+Ax),2.Ay_(T+&x)斗(1.x)+2_3 x.(一1)= f(1)=螞:；=螞'3一"x)=3【變式2】求函數(shù)f (x) =3x2在x=1處的導數(shù).【解析】Ay=f(1+Ax) f(1) = 3(1 + Ax)2-3=6Ax + 3(Ax)2,2y 6 x 3( x)=6 3 x ,LXLX臼(H6 A3 =) , 6P f'(1)=6 .，函數(shù)f(x)=3x2在x=1處的導數(shù)為6

9、 .【變式3】求函數(shù)f (x )= -x2 +x在x = -1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù).【解析】: Ay = f (x0 +Ax) - f (x0) = -(-1 +Ax)2 +(-1 +Ax) -2 =3Ax - (Ax)2,一 ，、23=3»(.兇=3-x ,(-1)=蚣？=雪(3 -') = 3 .4例2.已知函數(shù)f (x ) = = ,求f (x). x【解析】先求增量:44 x(2x x),.、2 一 2(x 二x)x2,.、2，x (x Lx)再求平均變化率:求極限，得導數(shù):【變式1】求函數(shù)1y = 丁在(0,十/)內的導函數(shù). y4(2 x：x)二

10、, 2,二72 .xx (xx)4(2 x x) 8x2 (x x)x3【總結升華】求導數(shù)的步驟和求導數(shù)值的步驟一樣，叫三步法求導. 舉一反三：x : =xx x ： =x xV x - x x _ ( x - x x)(，x 工 x x) x x x x x x x . x (、x . x x)x x x、. x ( , x . x x)-1, xqNX 、x ( , x , x， ：、x)-1lx ；x ( x 、x lx) x 2,x-x-32【變式 2】已知 f (x) = 7TT2 ,求 f '(x) , f'(2).【解析】. ：y = Jxx 2 - , x-2

11、,所以.：yx ：/x 2 一忑x 2(x x 2) - (x 2)lx( x lx 2 , x 2)一，、，.1(x) = yxmo.x-x 2、x 2 = 2、當 x=2時，f'(2) =2.224例3.若f '(%) = 2,則叫f(xo-k)-f(xo)2k【思路點撥】【解析】根據(jù)導數(shù)定義：f'(%) = limfXo+(一k) - f(xo)(這時增量 Ax=-k),所以 lim "一 f(x。)k 0 2k1 fxo (-k)-f(xo)=lim -k o 2-k1 .fxo (-k)-f(xo)二一一lim2 k)。-k1 9=-22二T.【思路

12、點撥】(1)有一種錯誤的解法:根據(jù)導數(shù)的定義：f '(xo) = lim f (Xo -k) f(Xo)(這時增量Ax = k),所以lim f(Xo k) f(Xo)lim f(X。-刈-1。)1 2=1k p 2k2kp k2(2)在導數(shù)的定義中，增量 Ax的形式是多種多樣的，但不論 Ax選擇哪種形式， Ay也必須選擇與之相對應的形式.利用函數(shù)f (x)在x=x0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導數(shù)定義的形式.概念是解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質屬性, 把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題.舉一反三：【變式1】函數(shù)f(x)滿足f'(1) =

13、2 ,則當x無限趨近于0時, f(1 x)-f2x f(1 2x)-f(1)【答案】(1)Ximof(1 X) - f(1) 1f (1 X) - f(1) 1(2)2xf(1 2x) - f(1)=2limX Pxf (1 - 2x) - f (1)f '(1)=12x=2f '(1) = 4【變式2】若f'(%) =a(1)求 lim.jof Xo - x - f Xo X的值;f (XoX) - f(Xo - X)的值.1 11mof Xo - X -f XoX二-f '(Xo)f (Xo ：X) - f (Xo - X)2 嗯f (Xo , LX) -

14、f (Xo LX)二 lim，：x - (- x) 12f(Xo X -f(Xo - ；：X)=2 limx o2；x=2f '(Xo)-2a【變式3】設函數(shù)f(X)在點xo處可導，則的f(X0 h) - f (X0 -h)2h【答案】原式=limh 02hf(Xo h)-f(x)f (Xo) - f (Xo - h)二 1 lim f (X。h) - f (X。) lim f (X。-h) - f (X。)- 2 _h。 hh w hf '(x0) lim-h-0f(X。'h) 'f(X。)i= 2【f '(Xo)+f '(Xo)】=f 

15、9;(X。).類型二：求曲線的切線方程例4.求曲線y = X2+1在點P(1,2型的切線方程.【思路點撥】利用導數(shù)的幾何意義，曲線在點P (1,2)處的切線的斜率等于函數(shù) y=X2+1在X =1處的導數(shù)值，再利用直線的點斜式方程寫出切線方程. 【解析】先求切線的斜率 f'(1):22：y1+ X 11 - 1lim = - ljm = lim ( x+2 )=2 ,. X 0 : X X 0:：X.x 0由條件可知f(1)=2,由點斜式可得，過點 P的切線方程為：y2=2(x-1),即 y = 2x .【總結升華】求曲線 y = f (x )在x =x。處切線的步驟：(1)先求f

16、9;(x。),即曲線y=f(x)在P(x。，f(x。)處切線的斜率.(2)再求f (x0 ),則切線過點(x0, f (x0 )；(2)最后由點斜式寫出直線方程：y - f (x。)=f'(x0)(x-x0).特別的，如果y=f (x )在點(x。，f(x。)處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)時，由切線定義知：切線方程為:舉一反三21.、一【變式】求曲線 y=x +5上一點x = 2處的切線方程.x【答案】先求y'|X:y = (2 lx)2- 22 + = 4lx lx2 2 x 22(2：x)"=4 + Ax +-,x2(2 . ：x)y =lim2x)0 x=

17、lim(4,x 0-1、1:_x ) = 4 -=2(2 . ：x)4154再求y|x二心T5啜由點斜式得切線方程：9 15y- = (x-2 ),即 15x-4y + 8 = 0.【高清課堂：導數(shù)的幾何意義 385147例2】例5.求曲線f(x)=x3經過點P(1,1)的切線方程.【思路點撥】本題要分點P (1,1柱切點和P(1,1)不是切點兩類進行求解.【解析】第一步：先求導函數(shù).：yf(x-6)-f(x)y 二 1jm 一 二 lim - x0 -x .J0-x(x Lx)3 -x3冰=11mox3 3x2| x+3x x2+、x3)-x3Lx=1jmQ 3x2 +3xL x+3 x2

18、=3x2第二步：驗證點P (1,1柱否在曲線上.由于f (1 ) = 1,所以P在曲線上.第三步：分類討論.若點P是切點，則切線的斜率為f'(1)=3,于是切線方程為 y-1=3(x-1),即y=3x 2;若點P不是切點，設切點為(x0, x03 ) (x0 #1 ).則切線的斜率為f'(x0 )=3%2,于是切線方程為：y-xo3 =3xo2(x-xo).由于切線經過點P(1,1),于是有1 %3 =3%2(1 %),整理得：2x03 3x02+1=2x03%2+%2+1=2x032婷x。21 =2x。2x01x°+1x 1221 ,、=(x0 1 )(2x0 x&

19、#176; 1 產(x0 1 )(2x0+1 尸0 ,解得 小 = 2 或 % =1 (舍去). 13131所以切線方程y+ = (x+),即 y = - x十一. 8 4244一 一 .、一.31綜上所述，所求切線方程為y =3x-2或y =3x+1.44【思路點撥】求曲線 f (x )經過點P(x0, y )的切線方程的一般步驟：(1)求導函數(shù)f '(x );(2)驗證點P是否在曲線上：計算 f(x0),觀察f (x0 )=y0是否成立；(3)分類討論：若f (飛尸y0,則P是切點，切線唯一，方程為 y f(飛戶f'(x0)(x x0)：若f )/y0,則P不是切點，求切點

20、：設切點坐標為(a, f(a),則切線方程yf (a)=f'(a)(xa),代入點P(x°, y°)坐標,求出a的值(注意a#x0),可得切線方程.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)f(x)=x33x,過點(2,2)作函數(shù)圖象的切線.求切線方程.【解析】先求導函數(shù)：f (x)=1 爭=3x2 - 3.再驗證：一一 _ 3f(2)=2 -32=2,所以點(2,2)在函數(shù)f(x)圖象上.最后討論:則切線方程為：(1 )當點(2,2晁切點時，切線的斜率為f '=9 ,9x-y-16= 0(2)當點(2,2)不是切點時，設切點坐標為(x0,£3x0).則切線的斜

21、率為f (xo) =3x2 -3 ( X0 #2),所以切線方程為,32y(比3x0 )= (3x0 3 y x x0).代入點(2,2)得：2(x3 3x0)=(3x2 3)(2x0)xo =整理得：x3 -3x； 4 =0= (x0 1)(x0 -2)2 =0二此時切線方程為 y = 2.綜上所述，所求白切線方程為 9x-y -16 = 0或y=2.1【變式2】已知曲線y = x(1)求曲線過點 A(1,0)的切線方程;1(2)求滿足斜率為 的曲線的切線方程.3解析y'= limQf (x x) - f (x)=則0-1x x xx2(1)由于點A不在曲線上，設切點坐標為1a,一

22、a則切線的斜率為y'|xF-二，切線方程為y-(xa)，1y = 4x 4將A(1,0)代入，得a = 2 .所以所求的切線方程為1:一所以斜率為的切線的切點為V3,3所以所求的切線方程為 丫 = 1*+友或丫 = _1*_友.3333【高清課堂：導數(shù)的幾何意義 385147例3】【變式 3】設函數(shù) f （x） =x3+2ax2 + bx+a, g（x）=x23x + 2 （其中 xw R , a,b 為常 數(shù)）.已知曲線y = f （x）與y = g （x）在點（2, 0）處有相同的切線l .求a, b的值，并寫出切線l的方程.【答案】f '(2) = l.mf (2+.：x) f(2)323(2 . ：x) 2a(2 . ：x) b(2. ：x) a -(2 8a 2b a)=lim |12 8a b 6lx (lx)29,(2)=肥干+ ；?既=12 8a b22(2 .：x) -3(2=x) 2 -(2 -3 2 2)lx=lim (1 lx) =1 .J0由條件可知：f (2) =0且 f'(2) =g&