選修導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本公式應(yīng)用

1、選修 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本公式應(yīng)用灣里一中 劉玉婷重難點(diǎn)歸納 1 深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解用定義求簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)的平均改變量，它是x的函數(shù)，而f(x0)表示一個(gè)數(shù)值，即f(x)=，知道導(dǎo)數(shù)的等價(jià)形式 2 求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是順利求導(dǎo)的關(guān)鍵 3 對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤 4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán) 必須正

2、確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系 典型題例示范講解 例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 命題意圖 本題3個(gè)小題分別考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法 這是導(dǎo)數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類型 知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 錯(cuò)解分析 本題難點(diǎn)在求導(dǎo)過程中符號(hào)判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯(cuò) 技巧與方法 先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)的式子特征，按照求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo) 1 / 7(2)解 y=3,=axbsin2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32

3、83;=32(avby)=32(avby)=32(avby)=3(axbsin2x)2(absin2x)(3)解法一 設(shè)y=f(),=,v=x2+1,則yx=yv·vx=f()·v·2x=f()··2x=解法二 y=f()=f()·()=f()·(x2+1)·(x2+1)=f()·(x2+1) ·2x=f()例2利用導(dǎo)數(shù)求和(1)Sn=1+2x+3x2+nxn1(x0,nN*)(2)Sn=C+2C+3C+nC,(nN*)命題意圖 培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識(shí)體系中知識(shí)點(diǎn)靈活融合的能力 知

4、識(shí)依托 通過對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維 由求導(dǎo)公式(xn)=nxn1,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù) 關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu) 錯(cuò)解分析 本題難點(diǎn)是考生易犯思維定勢(shì)的錯(cuò)誤，受此影響而不善于聯(lián)想 技巧與方法 第(1)題要分x=1和x1討論，等式兩邊都求導(dǎo) 解 (1)當(dāng)x=1時(shí)Sn=1+2+3+n=n(n+1);當(dāng)x1時(shí)，x+x2+x3+xn=,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得(x+x2+x3+xn)=()即Sn=1+2x+3x2+nxn1=(2)(1+x)n=1+Cx+Cx2+Cxn,兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得n(1+x)n1=C+2Cx+3Cx2+nCxn1,令x=1得，n

5、·2n1=C+2C+3C+nC,即Sn=C+2C+nC=n·2n1 例3 已知曲線C y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo) 解 由l過原點(diǎn)，知k=(x00),點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+22x023x0=0,x0=0或x0=由x0,知x0=y0=()33()2+2·=k=l方程y=x 切點(diǎn)(，)學(xué)生鞏固練習(xí) 1 y=esinxcos(sinx)，則y(0)等于( )A

6、 0B 1C 1D 22 經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線y=相切的方程是( )A x+y=0或+y=0B xy=0或+y=0C x+y=0或y=0D xy=0或y=03 若f(x0)=2, =_ 4 設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_ 5 已知曲線C1:y=x2與C2:y=(x2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程 6 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y= 7 有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開墻腳1 4 m時(shí)，梯子上端下滑的速度 8 求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(

7、x0,nN*) 參考答案 1 解析 y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1答案 B2 解析 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3, x0 (2)=15,對(duì)應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個(gè)切點(diǎn)A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切線過原點(diǎn)，故得切線 lA:y=x或lB:y= 答案 A3 解析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 f(x0)=(這時(shí))答案 14 解析 設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=x

8、g(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0·g(0)=g(0)=1·2·n=n！答案 n!5 解 設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,(x22)2)對(duì)于C1 y=2x,則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12對(duì)于C2 y=2(x2),與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224兩切線重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直線l方程為y=0或y=4x46 解 (1)注意到y(tǒng)0,兩端取對(duì)數(shù)，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x (2)兩端取對(duì)數(shù)，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),兩邊解x求導(dǎo)，得7 解 設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑s米,則s=5,當(dāng)下端移開1 4 m時(shí)，t0=,又s= (259t2)·(9·2t)=9t,所以s(t0)=9×=0 875(m/s)8 解 (1)當(dāng)x=1時(shí)，Sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n