線性代數(shù)：3-2矩陣的秩

1、2 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念定義：定義：在在 mn 矩陣矩陣 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)，位于這些行列交叉處的位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們?cè)趥€(gè)元素，不改變它們?cè)?A中所處中所處的位置次序而得的的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣階行列式，稱為矩陣 A 的的 k 階子式階子式顯然，顯然，mn 矩陣矩陣 A 的的 k 階子式共有階子式共有 個(gè)個(gè)kkmnC C概念辨析：概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素與元素a12相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的余子式余子式2123123

2、133aaMaa 相應(yīng)的相應(yīng)的代數(shù)余子式代數(shù)余子式矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子塊階子塊12132223aaaa矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子式階子式12132223aaaa21231 212123133( 1)aaAMaa 111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣稱為矩陣A 的的最高階非零子式最高階

3、非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱為稱為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 3 階子式階子式111213212223313233aaaaaaaaa矩陣矩陣 A 的的 2 階子式階子式 如果矩陣如果矩陣 A 中所有中所有 2 階子式都等于零，那么這個(gè)階子式都等于零，那么這個(gè) 3 階子式也階子式也等于零等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)

4、不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣稱為矩陣A 的的最高階非零子式最高階非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱為稱為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)l根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣 A 中任何一個(gè)中任何一個(gè) r +2 階子式（如果存在的話）都可以用階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來(lái)表階子式來(lái)表示示l如果矩陣如果矩陣 A 中所有中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零階子式也都等

5、于零 l事實(shí)上，所有高于事實(shí)上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都階的子式（如果存在的話）也都等于零等于零 因此矩陣因此矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù)規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零矩陣矩陣 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù)中非零子式的最高階數(shù) 顯然，顯然，n若矩陣若矩陣 A 中有某個(gè)中有某個(gè) s 階子式不等于零，則階子式不等于零，則 R(A) s ；若矩陣若矩陣 A 中所有中所有 t 階子式等于零，則階子式等于零，則 R(A) t n若若 A 為為 n 階矩陣，則階矩陣，則 A 的的 n 階子式只有一個(gè)，即階子

6、式只有一個(gè)，即|A| 當(dāng)當(dāng)|A|0 時(shí)，時(shí)， R(A) = n ;可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣滿秩矩陣當(dāng)當(dāng)|A| = 0 時(shí)，時(shí)， R(A) n ;不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣降秩矩陣n若若 A 為為 mn 矩陣，則矩陣，則 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 矩陣矩陣 A 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子式階子式TD 矩陣矩陣 AT 的一個(gè)的一個(gè) 2 階子式階子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 12132223aaaaD AT 的子式與的子式與 A 的子式對(duì)應(yīng)相等，

7、從而的子式對(duì)應(yīng)相等，從而 R(AT) = R(A) 112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa 12221323aaaa例：例：求矩陣求矩陣 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A21032031250004300000B 解：解：在在 A 中，中，2 階子式階子式 12023 A 的的 3 階子式只有一個(gè)，即階子式只有一個(gè)，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 例：例：求矩陣求矩陣 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（續(xù)）：解（續(xù)）：B 是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零

8、行有 3 行，因此行，因此其其 4 階子式全為零階子式全為零以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的 3 階子式階子式 213032240004 ，因此，因此 R(B) = 3 還存在其還存在其它它3 階非零階非零子式嗎？子式嗎？21032031250004300000B 例：例：求矩陣求矩陣 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（續(xù)）：解（續(xù)）：B 還有其它還有其它 3 階非零子式，例如階非零子式，例如203012800421203518003 2020156003 結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)2

9、1032031250004300000B 二、矩陣的秩的計(jì)算二、矩陣的秩的計(jì)算例：例：求矩陣求矩陣 A 的秩，其中的秩，其中 32050323612015316414A 分析：分析：在在 A 中，中，2 階子式階子式 2012016A 的的 3 階子式共有階子式共有 (個(gè)個(gè))，要從要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的334540C C 一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的 . .行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù). .一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般

10、的矩陣化為一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣. .兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？?jī)蓚€(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？定理：定理：若若 A B，則，則 R(A) = R(B) 證明思路：證明思路：1. 證明證明 A 經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)?B，則，則 R(A)R(B) 2. B 也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)橐部山?jīng)由一次初等行變換變?yōu)?A，則，則 R(B)R(A)，于，于是是 R(A) = R(B) 3. 經(jīng)過(guò)一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過(guò)有限次初等經(jīng)過(guò)一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過(guò)有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變行變換的矩陣的秩仍然不變4. 設(shè)

11、設(shè) A 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)初等列變換初等列變換變?yōu)樽優(yōu)?B，則則 AT 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)初等行變換初等行變換變?yōu)樽優(yōu)?BT ，從而，從而 R(AT) = R(BT) 又又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此，因此 R(A) = R(B) 第第 1 步：步： A 經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)?B，則，則R(A)R(B) 證明：證明：設(shè)設(shè) R(A) = r ，且，且 A 的某個(gè)的某個(gè) r 階子式階子式 D 0 n當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)，時(shí)，在在 B 中總能找到與中總能找到與 D 相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的 r 階子式階子式 D1 由于由于D1 = D 或或 D1 = D 或或 D1 = kD，

12、因此，因此 D1 0 ，從而，從而 R(B) r n當(dāng)當(dāng) 時(shí)，只需考慮時(shí)，只需考慮 這一特殊情形這一特殊情形ijrrABirkAB ijrkrAB 12rkrAB 1irr2, jrr12, rkr ijrkr 1,irr2, jrr D 1D 34313233313234142434142111213111213212223212243323rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAB12132223aaaa12132223aaaa424331233aaDaa 32334243aaaaD 323314243aaDaa 32334243aaDaa D 1D k返回返回 111121

13、3111213212223212223313233414243414243313233rkaaakakakaaaaaaaABaaaaaaaaaaaa 12132223aaaa12132223kakaaa12ppqqrrrrkrr第第 1 步：步： A 經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)?B，則，則R(A)R(B) 證明（續(xù)）：證明（續(xù)）：分兩種情形討論：分兩種情形討論：(1) D 中不包含中不包含 r1 中的元素中的元素 這時(shí)這時(shí) D 也是也是 B 的的 r 階非零子式，故階非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含中包含 r1 中的元素中的元素這時(shí)這時(shí) B 中與中與 D 相對(duì)應(yīng)

14、的相對(duì)應(yīng)的 r 階子式階子式 D1 為為121pqrkrrDr 2DkD121212pppqqqrkrrrrrrDkDkDrrr 若若p = 2，則，則 D2 = 0，D = D1 0 ，從而，從而 R(B) r ；若若p2，則，則 D1kD2 = D 0 ，因?yàn)檫@個(gè)等式對(duì)任意非零常數(shù)因?yàn)檫@個(gè)等式對(duì)任意非零常數(shù) k 都成立，都成立，所以所以 D1、D2 不同時(shí)等于零，不同時(shí)等于零，于是于是 B 中存在中存在 r 階非零子式階非零子式 D1 或或 D2，從而從而 R(B) r ，即即R(A)R(B) 定理：定理：若若 A B，則，則 R(A) = R(B) 應(yīng)用：應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩

15、，只要用初等行變換把根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩該矩陣的秩例：例：求矩陣求矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式32050323612015316414A 解：解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣有行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故個(gè)非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)

16、非零元所在的列的第一個(gè)非零元所在的列0161041004000B 0325326205161rA ，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、的第一、二、四列二、四列3205016414323610431120153000481641400000rA 00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，計(jì)算，計(jì)算 A0的前的前 3 行構(gòu)成的子式行構(gòu)成的子式3253256113266011216025205205 因此這就是因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式分析：分析：對(duì)對(duì) B 作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè)作初等行變換變?yōu)樾须A梯

17、形矩陣，設(shè) B 的行階梯的行階梯形矩陣為形矩陣為 ，則，則 就是就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從的行階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出中同時(shí)看出R(A)及及 R(B) 例：例：設(shè)設(shè) ，求矩陣，求矩陣 A 及矩陣及矩陣B = (A, b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：解：1221112211248020021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3矩陣的秩的性質(zhì)矩陣的秩的性質(zhì) 若若 A 為為 mn 矩陣，則矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，則，則 R(A)

18、 = R(B) 若若 P、Q 可逆，則可逆，則 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) B = b 為非零列向量時(shí)，有為非零列向量時(shí)，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，則，則 R(A)R(B)n 例：例：設(shè)設(shè) A 為為 n 階矩陣，階矩陣， 證明證明 R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，則，則R(B) = R(C) 附注：附注：n當(dāng)一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為當(dāng)一個(gè)

19、矩陣的秩等于它的列數(shù)時(shí)，這樣的矩陣稱為列滿秩列滿秩矩陣矩陣n特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣陣，也就是可逆矩陣n本題中，當(dāng)本題中，當(dāng) C = O，這時(shí)結(jié)論為：，這時(shí)結(jié)論為：設(shè)設(shè) AB = O，若，若 A 為列滿秩矩陣，則為列滿秩矩陣，則 B = O 例：例：設(shè)設(shè) A 為為 n 階矩陣，階矩陣， 證明證明 R(AE)R(AE)n 證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?(AE) (EA) = 2E，由性質(zhì)由性質(zhì)“R(AB)R(A)R(B) ”有有R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镽(EA) = R(AE)，所以

20、，所以R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，則，則R(B) = R(C) 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?R(A) = n， 所以所以 A 的行最簡(jiǎn)形矩陣為的行最簡(jiǎn)形矩陣為 ，設(shè)設(shè) m 階可逆矩陣階可逆矩陣 P ，滿足，滿足 于是于是因?yàn)橐驗(yàn)?R(C) = R(PC)，而，而 ，故，故R(B) = R(C) nm nEO nm nEPAO nEPCPABBOBO ( )BR BRO 10104011030001300000 11214011100001300000 行階梯形矩陣行階梯形矩陣：1. 可畫(huà)出一條階梯線，線的可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；下方全為零；2. 每個(gè)臺(tái)階只有一行；每個(gè)臺(tái)階只有一行；3. 階梯線的豎線后面是非零階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形