一元二次不等式恒成立問題專項(xiàng)練習(xí)

1、一元二次不等式恒成立問題專項(xiàng)練習(xí)2例題：設(shè)函數(shù)f(x)=mx m* 1.(1)若對于一切實(shí)數(shù)x, f(x)<0包成立，求m的取值范圍；(2)對于xC 1,3 , f (x)< -m+ 5恒成立，求m的取值范圍.(3)對于任意 m 1,3 , f (x)<5恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.2解： (1)要使mx mx-1<0包成立，若m= 0,顯然1<0,滿足題意；F<0, 若m 0,則曾 2上=m +4n<0,即4<m<0. /. 4Vme 0.(2)方法一 要使f(x)< m 5在xC1,3上恒成立, 就要使mx 1)+3m- 6<

2、;0在x C 1,3上恒成立.令 g(x) = mx2 2+4m-6, x 1,3.當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，6. g(x) max= g(3) = 7m- 6<0,0<n<7 ；當(dāng)m= 0時(shí)，6<0包成立；當(dāng)廿0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)， , g(x) max= g(1) =m- 6<0,彳m m<6,n<0.綜上所述，m的取值范圍是8, 7 -方法二 當(dāng)xC1,3時(shí)，f (x)< -m+ 5包成立, 即當(dāng) xC1,3時(shí)，n(x2 x+1) 6<0包成立.x2- x+1= x-1 2+3>0, < 2

3、7 4又 mx2x+1) 6<0,x2-x+ 176V不在1,3上的最小值為"2卜467'一一 6 一 ,只需Ri即可.E66)綜上所述，m的取值范圍是18, 7.(3) 解 f (x)<5,即 mX mx- 1<-m+ 5,m(x2-x+ 1) -6<0.設(shè) g(m) = n(x2 x+ 1) -6.則g(m)是關(guān)于m的一次函數(shù)且斜率x2-x+1= x1 2+3> 0. <2) 4g(m在1,3上為增函數(shù)，要使g(m)<0在1,3上恒成立，只需g(n)max= g(3)<0 , 即 3(x2 x+1) 6<0, x2-x

4、 - 1<0,方程 x2 x1 =0 的兩根為 x1 = L_2但，x2= 1,.x2 x1<0的解集為即x的取值范圍為2f 則有;0,0,可得徭5,亦一4,所以me 5.練習(xí)：1 .當(dāng)xC(1,2)時(shí)，不等式x2+mx+ 4<0恒成立，則m的取值范圍是 解析：構(gòu)造函數(shù)f(x) =x2 + m桿4, x 1,2,則f(x)在1,2上的最大值為f(1)或f(2).由于當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式x2+ m計(jì)4<0恒成立.1 + RH 4<0, 即4 + 2RH 4<0,2 .若不等式x2+mx+ 1>0的解集為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.m> 2B

5、.RK-2C.mc 2或日> 2 D.-2<RK 2答案 D解析由題意，得A=n2 4<0, , -2<nK2.3 .當(dāng)不等式x2+x+k>0何成立時(shí)，k的取值范圍為答案小十°° ）解析由題意知A <0,即1 4k<0,得 k>：,即 kC 1, +00 .4G3 .若關(guān)于x的不等式x2-4x-mt>0對任意xC (0,1恒成立，則 m的最大值為()A.1 B.-1C.-3D.3答案 C解析 由已知可得me x2 4x對一切xC (0,1恒成立，又f (x) =x2 4x在(0,1上為減函數(shù)，. .f (x)min=f

6、(1) = 3,me - 3,；m的最大值為一3.4 .對任意a 1,1,函數(shù)f (x) =x2+(a 4)x + 4 2a的值恒大于零，則x的取值范圍是()A.1<x<3B.x<1 或 x>3C.1<x<2D.x<1 或 x>2答案 B解析 設(shè) g(a) = (x-2)a+(x2-4x + 4),g(a)>0包成立且 a - 1,1g 1x2- 3x + 2>0,? 12g 1 x -5x + 6>0'x<1 或 x>2, l.x<Mx>3x<1 或 x>3.5.對于任意實(shí)數(shù)x,不等

7、式（a 2）x22（a2）x 4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.( 8, 2) B.(8, 2C.(2,2)D.(2,2答案 D解析當(dāng)a2*0時(shí)，a 2<0,'a<2,：4 a2 24 a 24 <0,即:a2<4,解得2<a<2.當(dāng)a 2=0時(shí)，4<0包成立,綜上所述，2<a02.6.若不等式(a21)x2 (a1)x1<0的解集為 R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案_3, 1 1【5解析 當(dāng)a21 = 0時(shí)，a=1或a=1.若a=1,則原不等式為1<0,包成立，滿足題意若a=1,則原不等式為2x-1<0,1

8、一一一人，即x<2,不合題息，舍去.當(dāng)a21W0,即aw ± 1時(shí)，原不等式的解集為R的條件是-3解得-5<a<1.a2-1<0,.A= a 1 2+ 4 a2 1 <0,，E (3綜上，a的取值范圍是-5，1 .7.已知函數(shù) f(x)=x2+ax+ 3.(1)當(dāng)xCR時(shí)，f (x) > a恒成立，求a的取值范圍；(2)當(dāng)xC 2,2時(shí)，f (x) >a恒成立，求a的取值范圍.解 (1) f (x) > a恒成立，即x2+ax+3 a>0恒成立，必須且只需 A = a2-4(3 - a) < 0,即2a + 4a 12< 0,6<a<2,. a 的取值范圍為6,2.(2) f (x) = x2+ ax+ 3= 'x+ + 3 二.24當(dāng)< 2,即a>4時(shí)，f (X)min=f (-2) =- 23+7,由一2a+7>a,得不存在；當(dāng) 一 2 w c 2,即一4 w a=c 4 時(shí)，f (x)