n階導(dǎo)數(shù)計(jì)算解析舉2

1、n階導(dǎo)數(shù)計(jì)算解析舉例例題1：求y=x3/(1-x)的n階導(dǎo)數(shù)。解：先對y進(jìn)行變形，得：y=x3/(1-x)=-x 2(1-x)+x(1-x)+1(1-x)-1/(1-x)=-(x 2+x+1)+1/(1-x)=-(x 2+x+1)-1/(x-1)。求導(dǎo)有：y' =-(2x+1)+1/(x-1)2,y =-2-2/(x-1)y"'=6/(x-1)：由于1/(x-1)(n)=(-1) nn!/(x-1)所以 y(n)=(-1) n+1*n!/(x-1) n+1,n 匚n+13.求y=3x3*lnx的n階導(dǎo)數(shù)。解：法一，例推法對函數(shù)依次求導(dǎo)，得:y' =9x2lnx

2、+3x 2 y =18xlnx+9x+6x=18xlnx+15x y'''=18lnx+18+15=18lnx+33.,n >4.v (lnx) (n)=(-1) n+1(n-1)!x -n，y(n)=18*(-1) n-2(n-4)!x -(n-3)法二，n階導(dǎo)數(shù)展開公式法; y=3x3*lnx，y(n)=3 2 (0,n)C(n,r)(x3)(r) *(lnx) (n-r)=3C(n,0)(x 3)*(lnx) (n)+C(n,1)(x 3)*(lnx) (n-1) +C(n,2)(x 3) *(lnx) (n-2)+C(n,3)(x 3)*(lnx) (n-

3、3)=3(lnx) (n)x3+n(3x2)(lnx) (n-1) +C(n,2)(6x)(lnx)(n-2) +C(n,3)6(lnx) (n-3)又(Inx) (n)=(-1) n+1(n-1)!x -n,則:(Inx) (n-1)=(-1) n(n-2)!x -(n-1),(Inx) (n-2)=(-1) n-1(n-3)!x -(n-2),(Inx) (n-3)=(-1) n-2(n-4)!x -(n-3),代入上式得：y(n)=3(-1) n+x3(n-1)!x 川+3nx2(-1) n(n-2)!x -(n-1)+3n(n-1)x(-1) n-1(n-3)!x +n(n-1)(n-

4、2)(-1)n-2(n-4)!x -(n-3)y(n)=3(-1) n-2(n-4)!x 川-(n-1)(n-2)(n-3)x3+3n(n-2)(n-3)x3-3n(n-1)(n-3)x3+n(n-1)(n-2)x 3y(n)=18*(-1) n-2(n-4)!x -(n-3) ,n >4.求y=(cos3x) 2的n階導(dǎo)數(shù)。解：先對三角函數(shù)進(jìn)行降累，得：y=(cos3x) 2=(1+cos6x)/2=(1/2)cos6x+(1/2).而(cosx) m)=cosx+(n u /2),貝U:(coskx) (n) =kncoskx+(n u /2), 所以：y(n)=(1/2)*(6) ncos6x+(nit /2),n >1.求y=1/(x 2-5x+4)的n階導(dǎo)數(shù)。解：先對函數(shù)表達(dá)式分母進(jìn)行因式分解并裂項(xiàng)：y=1/(x 2-5x+4)=1/(x-1)(x-4)y=1/(x-1)-1/(x-4)由于1/(x-a)(n)=(-1