高考數(shù)學基本知識篇

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 基本知識篇一、集合與簡易邏輯1.研究集合問題，一定要抓住集合的代表元素，如：與及2.數(shù)形結合是解集合問題的常用方法，解題要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結合的思想方法解決；3.一個語句是否為命題，關鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問句都是命題，而祁使句、疑問句、感嘆句都不是命題；4.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價命題 ，逆命題與其否命題是等價命題 ，一真俱真，一假俱假，當一個命題的真假不易判斷時，可考慮判斷其等價命題的真假；5.判斷命題充要條件的三種方法：

2、（1）定義法；（2）利用集合間的包含關系判斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；（3）等價法：即利用等價關系判斷，對于條件或結論是不等關系（或否定式）的命題，一般運用等價法；6.（1）含n個元素的集合的子集個數(shù)為，真子集（非空子集）個數(shù)為1；（2） （3）二、函數(shù)1.復合函數(shù)的有關問題（1）復合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域為a，b,其復合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出即可；若已知fg(x)的定義域為a,b,求 f(x)的定義域，相當于xa,b時，求g(x)的值域（即 f(x)的定義域）；研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。（2）復合

3、函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；2.函數(shù)的奇偶性（1）若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(x)=;（2）若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則（可用于求參數(shù)）；（3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)0）; (4)若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性；（5）奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對稱性）(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心（對稱軸）的

4、對稱點仍在C2上，反之亦然；（3）曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);（4）曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;（5）若函數(shù)y=f(x)對xR時，f(a+x)=f(ax)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；（6）函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關于直線x=對稱；4.函數(shù)的周期性(1)y=f(x)對xR時，f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（2）

5、若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（3）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（5）y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(ab)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（6）y=f(x)對xR時，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；5.方程k=f(x)有解kD(D為f(x)的值域)；6.af(x) 恒成立af(x)max,; af(x) 恒成立af(x)min

6、;7.（1） (a>0,a1,b>0,nR+); (2) l og a N=( a>0,a1,b>0,b1);(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶; (4) a log a N= N ( a>0,a1,N>0 );8.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。9.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：（1）A中元素必須都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；10.對于反函數(shù)，應掌握以下一些結論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）定義域為非單元素集的偶

7、函數(shù)不存在反函數(shù);（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA).11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系；12.恒成立問題的處理方法：（1）分離參數(shù)法；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；13.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：(或（或）；14.掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)；函數(shù)(b a

8、c0)）定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性當b-ac>0時:分別在上單調(diào)遞減；當b-ac<0時:分別在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；圖象yxox=cy=axyo15實系數(shù)一元二次方程的兩根的分布問題：根的情況等價命題在上有兩根在上有兩根在和上各有一根充要條件注意：若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況，得出結果，在令和檢查端點的情況。三、數(shù)列1.由Sn求an，an= 注意驗證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨列出。一般已知條件中含an與Sn的關系的數(shù)列題均可考慮用上述公式；2.等差數(shù)列；3.等比數(shù)列； 4.首項為正（或為負）

9、的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項和的最大（或最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式解決；5.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，在用等比數(shù)列前n項和公式時，勿忘分類討論思想；6. 在等差數(shù)列中，；在等比數(shù)列中，;7. 當時，對等差數(shù)列有；對等比數(shù)列有；8.若an、bn是等差數(shù)列，則kan+pbn(k、p是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若an、bn是等比數(shù)列，則kan、anbn等也是等比數(shù)列；9. 若數(shù)列為等差（比）數(shù)列，則也是等差（比）數(shù)列；10. 在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（即）； 11.若一階線性遞歸數(shù)列an=kan1+b（k0,k1）,則總可以將其改寫變形成如下形式:(n2

10、)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項公式；四、三角函數(shù)1.三角函數(shù)符號規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.對于誘導公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括；3.記住同角三角函數(shù)的基本關系，熟練掌握三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題勿忘三內(nèi)角和等于1800，一般用正余弦定理實施邊角互化；5.正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點；正(余)切型函數(shù)的對稱中心是圖象和漸近線分別與軸的交點，但沒有對稱軸。6.（1）正弦平方差公式：sin2Asin2B=sin(A+B)

11、sin(AB);（2）三角形的內(nèi)切圓半徑r=；（3）三角形的外接圓直徑2R=五、平面向量1.兩個向量平行的充要條件,設a=(x1,y1),b=(x2,y2),為實數(shù)。（1）向量式：ab(b0)a=b;（2）坐標式：ab(b0)x1y2x2y1=0;2.兩個向量垂直的充要條件, 設a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：ab(b0)ab=0; （2）坐標式：abx1x2+y1y2=0;3.設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;其幾何意義是ab等于a的長度與b在a的方向上的投影的乘積；4.設A（x1,x2）、B(x2,y2)，則SAOB；5.平面向量

12、數(shù)量積的坐標表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;（2）若a=(x,y),則a2=aa=x2+y2,;六、不等式1.掌握不等式性質(zhì)，注意使用條件；2.掌握幾類不等式（一元一次、二次、絕對值不等式、簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式）的解法，尤其注意用分類討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標根法，零點分區(qū)間法；3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b(a>0,b>0)時要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些變形，如；七、直線和圓的方程1.設三角形的三頂點是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,則ABC的重心G為（）；2.

13、直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0；3.兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件 ：A=C0且B=0且D2+E24AF>0；5.過圓x2+y2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2;6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;7.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；（2）作出可行域，寫出目標函數(shù)；（3）確定目標函數(shù)的最

14、優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解；八、圓錐曲線方程1.橢圓焦半徑公式：設P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；2.雙曲線焦半徑公式：設P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則:（1）當P點在右支上時，；（2）當P點在左支上時，；（e為離心率）；另：雙曲線（a>0,b>0）的漸近線方程為；3.拋物線焦半徑公式：設P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，則；y2=2px(p0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，則；4.涉及圓錐曲線的

15、問題勿忘用定義解題；5.共漸進線的雙曲線標準方程為為參數(shù)，0）；6.計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準距為p; 雙曲線（a>0，b>0）的焦點到漸進線的距離為b;8.中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設為Ax2+Bx21；9.拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結論：（

16、1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;10.過橢圓（a>b>0）左焦點的焦點弦為AB，則，過右焦點的弦；11.對于y2=2px(p0)拋物線上的點的坐標可設為（，y0）,以簡化計算;12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點，M(x0,y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p0)拋物線有KAB13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構成F(x,y)0，是求軌

17、跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關點法或轉(zhuǎn)移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（5）參數(shù)法：當動點P（x,y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消

18、去參數(shù)得普通方程。九、直線、平面、簡單幾何體1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影AB成，設BAC=,則coscos=cos；4.異面直線所成角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系；5.直

19、線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關鍵；6.二面角的求法（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面

20、積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。7.空間距離的求法（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算；（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；8.正棱錐的各側面與底面所成的角相等，記為，則S側cos=S底；9.已知:長方體的體對角線與

21、過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+FE=2；并且棱數(shù)E各頂點連著的棱數(shù)和的一半各面邊數(shù)和的一半；12.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：（1）計算線段AB的長，（2）計算球心角AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長；十、排列組合二項式定理和概率1.排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,

22、m、nN*),當m=n時為全排列=n(n-1)21;2.組合數(shù)公式：（mn）,；3.組合數(shù)性質(zhì)：；4.常用性質(zhì)：n.n!=(n+1)!-n!;即（1rn）;5.二項式定理：（1）掌握二項展開式的通項：（2）注意第r1項二項式系數(shù)與第r1系數(shù)的區(qū)別；6.二項式系數(shù)具有下列性質(zhì)：(1) 與首末兩端等距離的二項式系數(shù)相等；(2) 若n為偶數(shù)，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，中間兩項（第和1項）的二項式系數(shù)最大；（3）7.F(x)=(ax+b)n展開式的各項系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為；8.等可能事件的概率公式：（1）P（A）；（2）互斥事件分別發(fā)生的概率公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式為P(AB)P(A)P(B)；（4）獨立重復試驗概率公式Pn(k)=(5)如果事件A、B互斥，那么