一、一階線性微分方程的概念與解的結(jié)構(gòu)

1、一、一階線性微分方程的概念一、一階線性微分方程的概念與解的結(jié)構(gòu)與解的結(jié)構(gòu)第六章微分方程初步第六章微分方程初步第三節(jié)一階線性微分方程第三節(jié)一階線性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程定義定義 一階微分方程的一般形一階微分方程的一般形式為式為F(x, y, y ) = 0.一、一階線性微分方程的概念與解的結(jié)構(gòu)一、一階線性微分方程的概念與解的結(jié)構(gòu)一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階微分方程的下列形式一階微分方程的下列形式)()(xQyxPy 稱為一階線性微分方程，簡稱稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程一階線性方程. . 其中其中P(x)、Q (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù)都是自變量的已

2、知連續(xù)函數(shù). . 左邊的每項中僅含左邊的每項中僅含 y 或或 y ，且均為且均為 y 或或 y 的一次項的一次項. . 它的特點它的特點是：右邊是已知函數(shù)，是：右邊是已知函數(shù)，稱為一階線性齊次微分方程，簡稱稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程線性齊次方程， 0，則稱方程，則稱方程 為一階線性非齊次微分為一階線性非齊次微分方程，簡稱方程，簡稱線性非齊次方程線性非齊次方程. 通常方程通常方程 稱為方程稱為方程 所對應的線性齊次方程所對應的線性齊次方程., 0)( yxPy若若 Q (x)若若 Q (x) 0，則方程成為，則方程成為1. .一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程的解法一階線性齊

3、次方程一階線性齊次方程0)( yxPy是可分離變量方程是可分離變量方程. .,d)(dxxPyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,lnd )(lnCxxPy 所以，方程的通解公式為所以，方程的通解公式為.ed)( xxPCy分離變量，得分離變量，得例例 6 求方程求方程 y + + (sin x)y = 0 的通解的通解.解解所給方程是一階線性齊次方程，且所給方程是一階線性齊次方程，且 P(x) = sin x， ,cosdsind )(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解為由通解公式即可得到方程的通解為.ecosxCy 則則例例 7求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy

4、= 0 滿足初始滿足初始條件條件 y|x=1 = e 的特解的特解. .解解將所給方程化為如下形式：將所給方程化為如下形式：, 021dd2 yxxxy這是一個線性齊次方程，這是一個線性齊次方程，,21)(2xxxP 且且則則 ,1lnd12d )(22xxxxxxxP由通解公式得該方程的通解由通解公式得該方程的通解,e12xCxy 將初始條件將初始條件 y(1) = e 代入通解，代入通解，.e12xxy 得得 C = 1. .故所求特解為故所求特解為2. .一階線性非齊次方程的解法一階線性非齊次方程的解法設(shè)設(shè) y = C(x)y1 是非齊次方程的解，是非齊次方程的解， 將將 y = C(x

5、)y1 ( (其中其中 y1 是齊次方程是齊次方程 y + + P (x) y = 0 的解的解) )及其導數(shù)及其導數(shù) y = C (x) y1 + + C(x) y 1 代入方程代入方程).()(xQyxPy 則有則有),()()()()(111xQyxCxPyxCyxC 即即),()()()(111xQyxPyxCyxC 因因 y1 是對應的線性齊次方程的解，是對應的線性齊次方程的解，因此有因此有, 0)(11 yxPy故故),()(1xQyxC 其中其中 y1 與與 Q(x) 均為已知函數(shù)，均為已知函數(shù)，,d)()(1CxyxQxC 代入代入 y = C (x)y1 中，得中，得.d)(

6、111xyxQyCyy 容易驗證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程容易驗證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程),()(xQyxPy 所以可以通過積分所以可以通過積分求得求得且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程)()(xQyxPy 的通解的通解在運算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為在運算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為,ed)(1 xxPy于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：.de )(ed)(d)( xxQCyxxPxxP上述討論中所用的方法，是將常數(shù)上述討論中所用的方法，是

7、將常數(shù) C 變?yōu)榇ㄗ優(yōu)榇ê瘮?shù)函數(shù) C(x)， 再通過確定再通過確定 C(x) 而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，稱為稱為常數(shù)變易法常數(shù)變易法. .例例 8 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常數(shù)變易法求解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy 這是一個線性非齊次方程，它所對應的線性齊次方這是一個線性非齊次方程，它所對應的線性齊次方程的通解為程的通解為,e2xCy 將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得設(shè)所給線性非齊次方程的解為設(shè)所給線性非齊次方程的解為,e )(2xxCy ,e21

8、e )(2xxxC 于是，有于是，有,ede21)(22CxxCxx 因此，原方程的通解為因此，原方程的通解為.eee )(22xxxCxCy 解法解法二二 運用通解公式求解運用通解公式求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy ,e21)(,21)( xxQxP 則則則則 ,2d21d )(xxxxP ,edee21de )(22d )(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得原方程的通解為代入通解公式，得原方程的通解為.eee )e(222xxxxCCy ,ee2d )(xxxP 例例 9 求解初值問題求解初值問題 . 1)(,cosyxyyx解解使用常數(shù)變

9、易法求解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,cos11xxyxy 則與其對應的線性齊次方程則與其對應的線性齊次方程01 yxy的通解為的通解為.xCy 設(shè)所給線性非齊次方程的通解為設(shè)所給線性非齊次方程的通解為.1)(xxCy 于是，有于是，有 .sindcos)(CxxxxC將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得,cos11)(xxxxC 因此，原方程的通解為因此，原方程的通解為.sin11)(sinxxxCxCxy 將初始條件將初始條件 y( ) = 1 代入，得代入，得 C = ，).sin(1xxy 所 以 ，所 以 ，所求的特解，即初值

10、問題的解為所求的特解，即初值問題的解為例例 10求方程求方程 y2dx + (x - - 2xy - - y2)dy = 0 的通解的通解.解解將原方程改寫為將原方程改寫為, 121dd2 xyyyx這是一個關(guān)于未知函數(shù)這是一個關(guān)于未知函數(shù) x = x(y) 的一階線性非齊次的一階線性非齊次方程，方程，,21)(2yyyP 其中其中它的自由項它的自由項 Q(y) = 1.代入一階線性非齊次方程的通解公式，有代入一階線性非齊次方程的通解公式，有 yCxyyyyyydeed21d2122),e1()e(e12112yyyCyCy 即所求通解為即所求通解為).e1(12yCyx 二、伯努利方程二、伯努利方程稱為伯努利方程。當稱為伯努利方程。當n=0或或1時，該方程是線性方時，該方程是線性方程；當程；當n0或或1時，該方程不是線性的，但是通過時，該方程不是線性的，但是通過變量替換，可以把它