數(shù)理統(tǒng)計考研復(fù)試題庫及答案

1、2 (1)未知函數(shù)u的導(dǎo)數(shù)最高階為2, u'',u',u均為一次，所以它是二階線性方程。(2) 為y最高階導(dǎo)數(shù)為1，而y2為二次，故它是一階非線性常微分方程。(3) 果y是未知函數(shù)，它是一階線性方程；如果將 x看著未知函數(shù)，它是一階非線 性方程。3. 提示：所滿足的方程為y - 2 y'+y=o4. 直接代入方程，并計算Jacobi行列式。2 25. 方程變形為 dy=2xdx=d(x )，故 y= x +C6微分方程求解時，都與一定的積分運算相聯(lián)系。因此，把求解一個微分方程的過程稱為一個微分方程。微分方程的解又稱為(一個)積分。7.把微分方程的通解用初等函數(shù)或

2、通過它們的積分來表達的方法。注意如果通解能歸結(jié)為初等函數(shù)的積分表達，但這個積分如果不能用初等函數(shù)表示出來，我們也認(rèn)為求解了這個微分方程，因為這個式子里沒有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。& y = f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解為兩個因式的乘積，其中一個因式僅含有x,另一因式僅含y,而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=O是可分離變量方程的主要特征，就像f(x,y)-樣，p,q分別都能分解成兩個因式和乘積。9(1)積分得x=-cosx+c(2)將方程變形為x2y2 dy=(y-1)dx 或y 2 一 dx 當(dāng),一 2，當(dāng)當(dāng)xy 0,y1時積分得y-1 x2x1F y+l ny 1+

3、 =c2xdycos x(3)方程變形為一.dx,當(dāng)y -1,si nx0時積分得1 y sin xy=Csi nx-1方程變形為exp(y)dy=exp(2x)dx,積分得1exp(y) = exp(2x) + C2、I y 1(5)當(dāng)y1時，求得通積分In =x+c|y 14 dy積分得y2222X方程化為 x ydx=(1- y )(1+x )dx 或 2 dx=1 x1 2x arctgx In y y =C當(dāng)x(y -1)0時，方程變形得1dx+ydyy2 1=o兩邊積分并化簡得2exp(-x )10.二元函數(shù)f(x,y)滿足f(rx,ry)=r m f(x,y),r.>0,則

4、稱f(x,y)為m次齊次函數(shù)。m=0則稱它為0次齊次函數(shù)。11.如果f(x,y)是0次齊次函數(shù)，則y ' = f(x,y)稱為齊次方程。如果p(x,y)和q(x,y)同為m次齊次函數(shù)，則 pdx+qdy=0為齊次方程。如果q 0則巴=-血dx q(x, y)f(x,y)，由p,q為m次齊次函數(shù)推知f(x,y)為0次齊次函數(shù)故y = f(x,y)為齊次方程。12.求解齊次方程經(jīng)常用變換dy dz=x + zdx dxy=zx.用函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)的公式得13.這是齊次方程。令y=zx,dydx=x蟲+乙將方程化為dxz+xdzdxdzdx3二分離變量得1 z(z21) dzz(z21)dx審積

5、分得xln|n|+ln(z+2)-ln|z|=ln|C|,或z21)C用z=yx代入得原來的變量。x2 + y2 = Cy.注意y=0方程的解。14.(1) 當(dāng)x 0時，方程化為 蟲=1 + 2 -令y=ux,則原方程化為xdu =1+u,當(dāng)1+u0dx xdx時,可分離變量得u+仁ex:;通解為y=cx 2 +xdx(2) 作變換y=ux,則原方程化為2udu= 于是u2 =ln|x|+C,代回原變量，得通積分：xy2 = x2 (ln|x|+C)15.這是齊次方程。令y=zx原方程化為u3dxdu=兩邊積分得x2 - In|z|=ln|cx|2z2用z=y代入得x1x2y= exp( )c

6、2yy=0也是原方程的解。16.變形為魚=A + Xdx 2y 2x，令 y=ux 得 2u 2 = -d 積分得-In|1-u 21=|n|x|-c,代原變量得1 u x通積分 x 2 - y 2 =cx17.方程右邊分子，分母兩條直線交點為(x0 , y 0)=(-2,1)作變換 u=x+2,v=y-1,原方程化為dv = 夂上,此為齊次方程，令v=uz,經(jīng)簡單計算得du 2u v22 z dz=史,積分得 厲=C z 1 u(z 1) u原方程通積分為y=x+c(x+y+1) 3+31918梟方程刪対務(wù)弓寺它的仔分母兩條宣線交點為"»2T= w + l 十於卩 _2別4斗并亠 亠，